解答二面角问题的两种路径

颜廷美

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，二面角的大小可用其平面角的大小来表示.因此，解答二面角问题的关键在于找到二面角的平面角，求得该平面角的大小.下面介绍两种求解二面角问题的路径.

一、运用向量法

有些问题中二面角的平面角不易找到或求得，此时，我们可根据几何图形的特点、位置建立合适的空间直角坐标系，求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量的夹角公式求得两个法向量的夹角的余弦值，即可求得二面角的大小.一般地，二面角与两个法向量的夹角或补角相等.

例1.如图1，已知在四面体C -ABO 中，OC⊥ OA，OC⊥ OB，∠AOB =120°，且 OA =OB = OC =2 ，D是AC 的中点，点E在AB 上，AB =3AE，求二面角O -AC -B 的余弦值.

解：如图1，取 AO ， BE 的中点F ， M ，连接 EF ， OM .则 OM∥EF ，OM =2EF =2.在△AOB 中，∠AOB=120°，OA = OB =2  ，则 AB2=     图 1OA2+ OB2- 2OA ·OBcos∠AOB =36， 所以 AB =6.因为AB =3AE，所以 AE =2，又因为 EF2=AE2+AF2-2AE ·AFcos∠OAB =22+（）2-2×2×  × =1，所以EF =1，所以AE2=EF2+AF2，即EF⊥AO ，因为OC⊥ OA ，OC⊥ OB ，OA ⋂ OB = O ，所以 OC⊥平面AOB ，因为EF⊂平面AOB，所以 OC⊥EF .又因为 EF⊥AO，OC⊥EF ，AO ⋂ OC = O ，所以 EF⊥平面AOC ，即 OM⊥平面AOC .以OA，OM，OC 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 O（0，0，0），A（2  ，0，0），B（-  ，3，0），C（0，0，2 ）.所以O A =（2  ，0，0），A C =（-2  ，0，2 ），B C =（  ，-3，2 ）.记平面ABC 的法向量为 n =（x，y，z），则n ⊥ A C ， n ⊥ B C ，所以取 x = 1，则，所以 同理求得平面 AOC 的法向量 e =（0，2，0），所以 cos < n， e >= n·e |n||e| = 155 ，所以二面角的余弦值为.

解答本题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为向量问题来求解.建立空间直角坐标系的原则是确保三条坐标轴两两相互垂直，并交于一点.在本题中，我们需添加辅助线，根据勾股定理、余弦定理、线面垂直的判定定理证明 OC ⊥ OA 、OB ⊥面AOC ，才能以 OA，OM，OC 为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

二、采用三垂线法

三垂线法是运用三垂线定理来解题的方法.三垂线定理：如果平面内的一条直线与一条斜線在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.运用三垂线法解题，需先在二面角的一个半平面内找到另一个半平面内某直线的射影，然后运用三垂线定理证明射影、斜线与二面角的棱垂直，这样便可确定二面角的平面角，再根据勾股定理、正余弦定理即可求得二面角的平面角的大小.

例2.如图2，已知 PA ⊥平面ABC ， AC ⊥ BC ，PA = AC = 1 ，BC = 2 ，求二面角 A - PB - C 的大小.

解：由 PA ⊥平面ABC ，AC ⊥ BC 可知， 平面PAC ⊥平面ABC.过A作AH ⊥ PC， 过 A 作 HF ⊥ PB ，则 AH ⊥平面PBC ，AF ⊥ PB ，所以∠AHF 就是二面角 A - PB - C 的平面角.又 AH = 21 PC = 22 ，AF = PA·AB PB = 32 ，sin ∠AHF = 63 ，所以∠AHF = arcsin 36 .

我们首先根据面面垂直的判定定理和性质定理证明 AH ⊥平面PBC ，将 AF 视作平面 PBC 的斜线，将 AH 视作射影将 PB 视作平面内一条直线，运用三垂线定理证明 AF ⊥ PB ，从而找到二面角的平面角，再根据正弦定理和和正弦函数的定义求得二面角的大小.

二面角问题对同学们的空间想象和逻辑思维能力的要求较高.在解答二面角问题时，同学们要根据几何图形寻找线线垂直、线面垂直等关系，运用直观想象能力，合理构建空间直角坐标系，构造三垂线，这样便可采用向量法、三垂线法来解题.

（作者单位：江苏省射阳县高级中学）