例谈求函数解析式的技巧

陈翠

函数的解析式是表示函数的一种重要方式，通常用含有参数和变量的式子来表示.函数不同，其解析式中的参数、变量也不相同，因此求函数的解析式的关键是辨别函数的类型，求得参数的取值.本文主要谈一谈求函数解析式的幾个技巧.

一、巧用代入法

有些题目中告知了函数的类型，给出了相关点的坐标，或给出了函数的图象，此时，我们可运用代入法来求函数的解析式.可根据题意先设出函数的解析式，如二次函数为 y =ax2+bx +c，指数函数为 y =ax，对数函数为 y =logax，然后将已给出点的坐标代入函数解析式中，求得参数的值，便可求得函数的解析式.

例1.已知函数 y =f x的图象如图所示，求函数 y =f x的解析式.

解：由图可知，该函数为分段函数，且两段函数均为一次函数，函数的定义域为0≤ x ≤2，函数的最高

点为 è（æ）1， ø（ö），且经过点0，0和0，2，

设函数的解析式分别为y =k1x +a，y =k2x +b，

将点 è（æ）1， ø（ö），0，0代入 y =k1x +a，

可得 k1= ，a =0，

则当0≤ x ≤1 时，函数的解析式为y = x，将 è（æ）1， ø（ö），0，2代入y =k2x +b，

可得k2= -，b =3，

则当1 <x ≤2时，函数的解析式为y =3 - x，

所以 y =  x-

即 y =  - x -10≤ x ≤2.

此类问题一般较为简单，只需仔细研究函数的图象，明确函数的定义域和类型，将几个点的坐标代入设出的函数解析式中，求得参数的值，即可求得函数的解析式.翠

二、配凑

若遇到由 y =f（g（x））求函数 f（x）的解析式问题，则可通过配凑来求解.首先将 f（g（x））的表达式配凑成为gx的倍数或平方，由于 y =f（g（x））中的gx与函数 y =f（x）中的 x 的意义相同，所以可将gx替换成 x ，便可求得函数fx的解析式.

例2.已知fè（æ）x - ø（ö）=x2+  +1 ，求函数 f x的

解析式.

解：fè（æ）x - ø（ö）=x2-2+  +3 = è（æ）x - ø（ö）2+ 3，令 t =x -  ，

所以 f t=t2+ 3，

由于 x ≠0，所以 t ≠0，

所以函数的解析式为 f x=x2+ 3，x ≠0.

在运用配凑法求函数的解析式时，要注意根据gx的值域求得函数 f x的定义域.而gx的值域需根据其定义域求得.

三、赋值

对于题目中含有多个变量或抽象函数的解析式问题，通常采用赋值法进行求解.利用赋值法求函数的解析式，需根据问题的实际情况对变量进行赋值，如令x=0、1、2等，从而使得抽象问题具体化.将赋值后自变量的值代入已知关系式进行计算，即可得到函数的解析式.

例3.已知 f 0=1，对于任意x，y∈ R，均有 f（x -y）=f x-2x -y +1成立，求 f x的解析式.

解：令 x =0，由fx -y=f x-2x -y +1可得 f-y=y2-y +1，

令x =-y，由 f-y=y2-y +1得 f x=x2+x +1，

所以函数 f x的解析式为 f x=x2+x+1 .

要求得函数的解析式，需消掉其中的一个变量，于是首先令 y =0，可得到只含有变量y 的式子，再令 x =-y，便可得到函数fx的解析式.

求函数的解析式问题一般较为简单，常以选择题、填空题的形式出现，解题的关键在于分析函数的图象，辨别函数的类型，明确已知关系式与 f x，确定函数的定义域，再灵活运用代入法、通过赋值、配凑，求得函数的解析式.

（作者单位：北京师范大学盐城附属学校）