求数列和的两种常用技巧

祁晓莉

解答数列求和问题的技巧有很多种，如错位相减、裂项相消、分组求和、倒序相加等.每种求和方法的特点、适用情形都不相同.本文重点谈一谈求数列的和的两种技巧：错位相减、裂项相消.

一、错位相减

若一个数列的通项公式为一个等差数列、一个等比数列通项公式的乘积，则可采用错位相减的方法来求数列的和.在解题时，需首先写出数列的和式，设其为 Sn ，然后在和式的左右同时乘以等比数列的公比 q，再将两式作差，得 Sn - qSn，化简所得的结果，即可求得数列的和.在作差时，需将其中一个和式错开一位，以便使q 的指数幂相同的项相减，这样有利于提升运算的效率.

例1.已知等差数列an的首项为1，等比数列bn的首项为1，公比 q >0.若 a3+ b3= 21，a5+ b5= 13.（1）求和的通项公式;（2）求数列的前 n 项和.

解：（1）略;

（2）由（1）可得

仔细观察的通项公式，可发现该式由等差数列、等比数列的通项公式的乘积构成.求得等比数列的公比，便可通过错位相减来求得数列的和.

二、裂项相消

有些数列的通项公式为分式，我们很难快速求得数列的和，可将数列的通项公式裂为两项之差的形式，如等.在求和时，中间的部分项便可相互抵消，这样就能顺利求得数列的和.在运用裂项相消法求和时，要注意三点：①根据通项公式的特点寻找裂项的规律;②要确保裂开的前后项的绝对值相同，符号相反;③重新组合后，前面剩下的项数与后面剩下的相同.

例2.

分析：仔细观察可发现，数列的通项公式为

解：

在运用裂项相消法求数列的和时，需先仔细观察数列的通项公式，明晰其规律和特征，对其进行合理的裂项，这样便能为求和创造有利的条件.

例3.

解：

，

因此，

我們将，再将各项相加，便能使中间的部分项相互抵消，从而求得数列的和.

求解数列求和问题，需重点研究数列的通项公式、和式，可对其进行适当的变形，如在和式的左右同乘以公比、将通项公式裂项，以明晰其中的规律和特点，为求和铺平道路.

（作者单位：甘肃省平凉市灵台县第一中学）