解析几何中的创新题型分类解析

王勇 张华丽

【摘 要】 解析几何中的创新题型大致分为四类：定义新的概念、创设新的情景、设置新的交汇、建模新的应用.本文结合相关高考模拟题予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

【关键词】 解析几何;创新题型;分类解析

新课程标准要求考生对“新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和探究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.”[1]随着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，强化学科素养和关键能力的考查，推出了一批新颖而又别致，具有创新意识和创新思维的新题.本文采撷解析几何中的创新题型并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

1 定义新的概念

例1 （2021·福州市模拟题）（多选）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A（-4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标可以是（  ）.

A.（2，0）    B.（0，2）C.（-2，0）  D.（0，-2）

答案：选AD.

点评 本题以“欧拉线”为载体，考查考生的信息迁移能力和运算求解能力，阅读并领悟“欧拉线”的实质是解决问题的关键.本题是多选题，是新高考标志性的新题型.

例2 （2021·青岛市模拟题）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆.[2]”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（4，0），点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（  ）.

A.C的方程为（x+4）2+y2=9

B.在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得|PD||PE|=12

C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

D.在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|

答案：选BC.

点评 本题以“阿波罗尼斯圆”为背景，考查圆的方程、直线与圆的位置关系，考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力，弘扬和传承魅力无穷的数学文化，激发学生学习数学的乐趣和内在动力.

例3 （2021·襄阳市模拟题）定义曲线a2x2+b2y2=1为椭圆x2a2+y2b2=1的“倒椭圆”.已知椭圆C1：x24+y2=1，它的“倒椭圆”C2：4x2+1y2=1的一个对称中心为;过“倒椭圆”C2上的点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于点B，则直线AB与椭圆C1的公共点个数为.

答案：（0，0）;1.

点评 本题给出“倒椭圆”的概念让学生领悟，在弄懂新概念的基础上，结合已有的数学知识和方法，即可顺利解决问题.本题是“双空题”，是新高考惯用的一种创新题型.

2 创设新的情景

例4 （2021·泉州市模拟题）圆锥曲线的光学性质（如图1，图2所示，其中F1，F2分别为椭圆（双曲线）的左、右焦点）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.

如图3，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C与双曲线C′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经过C′，C反射，又回到点F1，历时m秒;如图4，若将装置中的C′去掉，则该光线从点F1发出，经过C反射两次后又回到点F1，历时n秒.若C与C′的离心率之比为13，则mn=.

解析 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2.

在图3中，由椭圆的定义得BF1+BF2=2a1①，由双曲线的定义得AF2-AF1=2a2②，①-②得AF1+AB+BF1=2a1-2a2，所以△ABF1的周长为2a1-2a2.在图4中，光线从椭圆的一个焦点F1发出，经椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点F2，即直线ED过点F2，所以△EDF1的周长为4a1.

又C与C′焦点相同，离心率之比为13，所以a1=3a2.

注意到两次所用时间分别为m，n，光线速度相同，所以mn=2a1-2a24a1=6a2-2a212a2=13.

点评 本题给出的情景新颖别致，考查椭圆和双曲线的定义与光学性质，破解此题的关键是利用椭圆和双曲线的定义与光学性质，分别求出图3中光线经历的路程为2a1-2a2，图4中光线经历的路程为4a1.图5

例5 （2021·宜昌市模拟题）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆.如图5所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨進入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则（  ）.

A. e1>e2  B. e1<e2  C. e1=e2D. e1与e2的大小关系不能确定

答案：选A.

点评 本题以“嫦娥四号”探月卫星的运行轨道为载体，考查椭圆的几何性质，穿插考查不等式的基本性质，激发学生的爱国热情和民族自豪感.

3 设置新的交汇

例6 （2021·成都市模拟题）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x=a上，且满且PH=λPF1PF1+PF2PF2，λ∈R.若5HP+4HF2+3HF1=0，则双曲线C的离心率为（  ）.

A.3   B.4   C.5   D.6

答案：选C.

点评  本题是双曲线与平面向量的交汇综合题，根据条件可确定H在∠F1PF2的平分线上，结合点H在直线x=a上，可知H是△PF1F2的内心，由5HP+4HF2+3HF1=0，可求出F1F2∶PF1∶PF2=5∶4∶3，再利用双曲线的定义即可求解.

例7 （2021·武汉市模拟题）如图6，已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ.设直线PQ过点T（5，-2），则以PQ为底边的等腰△APQ的个数为（  ）.

A.1  B.2  C.3  D.4

答案：选A.

点评 本题是抛物线与函数相交汇的综合题，设出直线PQ的方程为x=my+n，由解析几何和平面几何知识得到关于m的方程m3+m2+3m-1=0，构造函数并结合函数的单调性和零点存在性定理可知，该方程有唯一实根，进而得到满足条件的等腰△APQ有且只有一个.

例8 （2021·江苏四校联考题）（多选）如图7，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD内一动点，则下列结论中正确的是（  ）.

A.若MN=2，则MN中点的轨迹长度为π

B.若N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分

C.若D1N与AB所成的角为60°，则N的轨迹为双曲线的一部分

D.若MN与平面ABCD所成的角为60°，则N的轨迹为椭圆

解析 对于A，连接DN，因为MN=2，MD=1，MD⊥DN，所以DN=3，则MN的中点到MD的中点的距离为32，所以MN的中点的轨迹是以MD的中点为圆心，32为半径且平行于平面ABCD的14圆周，其长度为14×2π×32=3π4，故A错误.

对于B，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，NB平面ABCD，所以NB⊥BB1，所以NB之长即为N到直线BB1的距离，在平面ABCD内，点N到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，所以点N的轨迹就是以B为焦点，DC为准线的抛物线的一部分，故B正确.

对于C，如图8，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），设N（x，y，0）（0<x<2，0<y<2），D1N=（x，y，-2），AB=（0，2，0），cos60°=DN·ABDN·AB=2yx2+y2+4×2=12，化简得3y2-x2=4（0<x<2，0<y<2），所以N的轨迹为双曲线的一部分，故C正确.

对于D，易知MN与平面ABCD所成的角为∠MND，所以∠MND=60°，则DN=33，所以点N的轨迹是以D为圆心，33为半径的14圆周，故D错误.故选BC.

点评  本题是立体几何与解析几何的交汇综合題，紧扣圆的定义、抛物线的定义，可判断A，B，D三个选项的正误，对于C选项，建立空间直角坐标系，利用向量的工具性得点N的坐标需满足的等式，即可判断C选项的正误.

4 建模新的应用

例9 （2021·南京市模拟题）如图9所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.

图10是图9的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为θ.焦点F到顶点的距离f与口径d的比值fd称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于0.5，那么馈源的方向角θ的正切值为.

解析 建立如图11所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px（p>0），则f=p2，又fd=0.5，所以d=p，因为A，B两点关于x轴对称，所以A，B的纵坐标分别为p2，-p2，则Ap8，p2，Bp8，-p2，直线BF的斜率k=p2p2-p8=43，由抛物线的对称性可知直线BF的倾斜角等于θ2，所以tanθ2=43，所以tanθ=2tanθ21-tan2θ2=831-169=-247.

点评 本题考查抛物线的几何性质、直线的斜率公式、二倍角公式.考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索.

例10 （2021·长沙市模拟题）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB，EF之间建造一个半椭圆形的主题公园，如图12所示，AB=2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，MN交OD于G.

（1）若OE=3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴的最大值;

（2）若椭圆的离心率为32，当OG为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？

分析 （1）建立恰当的平面直角坐标系，得椭圆方程为x2a2+y2=1（a>1），由题意求出直线EF的方程，把直线EF的方程与椭圆方程联立，利用直线EF与半椭圆至多有一个交点，得a所满足的不等式，解不等式得a的取值范围，从而得椭圆长半轴长的最大值;（2）求出椭圆方程，设G（m，0），根据题意设出直线MN的方程，联立直线MN的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出△OMN的面积，利用基本不等式，即可求出游乐区域△OMN面积的最大值及相应的OG的值.

答案：（1）椭圆长半轴长的最大值为263;

（2）当OG为102千米时，游乐区域△OMN的面积最大.

点评 本题是以半椭圆为背景的实际应用题，考查考生的数学建模能力和运算求解能力，是一道优秀的创新题.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.6.

[2] 杜志建.2022新高考优秀模拟试卷汇编45套·数学[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2021.6.

作者简介 王勇（1965—），男，湖北随州人，特级教师，正高级教师（三级教授）;主要研究高中数学教育与教学;国家级、省级学术期刊上发表论文1800余篇，在全国各地讲学200余场.

张华丽（1976—），女，湖北枣阳人，高级教师;主要研究高中数学教育与教学.