活跃在椭圆中的“AP⊥AQ”

【摘 要】 新高考背景下，数学运算作为高中数学六大核心素养之一，也是学生的薄弱之处，提高运算能力，关键在于提升学生对运算的理解，理清算法，本文通過对椭圆的含有条件“AP⊥AQ”的各类问题进行整理，旨在通过整理归类，引导如何实施运算，把控运算方法，提升我们的运算求解能力.

【关键词】 对称性;整体;垂直;换元

条件“AP⊥AQ”常出现在解析几何试题中，当然椭圆也不例外，而且往往作为题目中的核心条件，如何处理这个条件是能否顺利解决问题的关键.笔者尝试整理归类，呈现出以椭圆中不同位置的“AP⊥AQ”作为条件带来的定值问题，并分析算理，优化算法，给出相应解析和评析，以期提高我们的运算能力.

1 “AP⊥AQ”中的点A在椭圆上，关注对称性与特殊化

图1

例1 如图1，已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点.当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由.解析 根据本题构图过程分析，从点A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点，产生了两个动点，动因是直线旋转，基于此，可设出直线AM：y=k（x+2），与椭圆联立y=k（x+2），x24+y2=1，化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0.所以（x+2）[（1+4k2）x-（2-8k2）]=0，所以xM=2-8k21+4k2，yM=4k1+4k2，同样方法直线AN与椭圆联立y=-1k（x+2），x24+y2=1，化简得：（k2+4）x2+16x+16-4k2=0，所以（x+2）[（k2+4）x-（2k2-8）]=0，所以xN=2k2-8k2+4，yN=-4kk2+4， kMN=yM-yNxM-xN=4k1+4k2--4kk2+42-8k21+4k2-2k2-8k2+4=5k4-4k2，所以直线MN的方程为y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2，化简得y=3k4k2+4x+65，所以直线MN过x轴上的一定点P-65，0.

如果我们注意到本题构图的对称性，关注整体，通过对式子结构的把握、变量代换、特殊化等手段优化了算法[1]，使得运算有了依据，得到优化解法：

联立方程组y=k（x+2），x24+y2=1，因椭圆和直线交于点A（-2，0），化简方程时保留因子x+2整体不变，得x2+4[k（x+2）]2=4，即（x+2）[（4k2+1）x+（8k2-2）]=0，所以xM=2-8k21+4k2，yM=4k1+4k2.同理，将xM=2-8k21+4k2中的k替换成-1k，即可得到点N的坐标：xN=2k2-8k2+4，同理得yN=-4kk2+4，令k=1，得x=-65，猜测所求定点的坐标为P-65，0，一般地，验证kPM=4k1+4k2-02-8k21+4k2--65=5k4-4k2=kPN，所以直线MN恒过定点-65，0.

2 “AP⊥AQ”中的点A在坐标原点处，关注调整条件先后顺序与换元思想

例2 已知椭圆C：x29+y23=1，设G，H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH.是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程;若不存在，请说明理由. 解析 根据椭圆对称性可知，若存在这样的定圆，定圆的圆心必在原点O，所以问题就转化成原点O到动直线GH的距离是定值即可.设点O到动直线GH的距离为d，在直角三角形△GOH中，由面积变换可得OG·OH=d·OG2+OH2，所以1d2=1OG2+1OH2.如果直接设直线与椭圆联立，求两点G，H坐标，再求其长度，较为复杂，考虑到问题设问直接与OG与OH的长有关，且OG⊥OH，且本题动因是直线旋转，故可以引入角度作为变量，可设G（OGcosθ，OGsinθ），HOHcosθ+π2，OHsinθ+π2，因为两点G，H在椭圆C上，所以（OGcosθ）29+（OGsinθ）23=1，OHcosθ+π229+OHsinθ+π223=1，所以cos2θ9+sin2θ3=1OG2，sin2θ9+cos2θ3=1OH2，所以1OG2+1OH2=49，则d2=94，所以满足条件的定圆方程为：x2+y2=94.3 “AP⊥AQ”中的点A在椭圆内（异于原点），设而不求，整体代换

例3 已知椭圆C：x24+3y24=1，过点P（-1，-1）作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.

解析 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x21+3y21=4，x22+3y22=4，

对于同结构的方程，两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0，

因为线段MN的中点在x轴上，所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1-x2）=0.

若x1+x2=0，则N（-x1，-y1）.

因为PM⊥PN，所以PM·PN=0，得x21+y21=2.

又因为x21+3y21=4，所以解得x1=±1，所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）.

所以直线MN的方程为y=-x.

若x1-x2=0，则N（x1，-y1），因为PM⊥PN，所以PM·PN=0，得y21=（x1+1）2+1.

又因为x21+3y21=4，所以解得x1=-12或-1，

经检验：x=-12满足条件，x=-1不满足条件.

综上，直线MN的方程为x+y=0或x=-12.

4 “AP⊥AQ”中的点A在椭圆外，动静转化，以静制动

例4 （上海交大自主招生试题）对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹.

解析 不妨将椭圆固定，两条垂直的直线可以视为过椭圆外某點向椭圆所作的两条切线，设m，n都是椭圆x2a2+y2b2=1的切线，且m⊥n，m，n交于点M，先求动点M的轨迹.

设M（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1，①的两条互相垂直的切线的交点，k为过M点所作椭圆的切线的斜率，则这切线的方程为y-y0=k（x-x0）.②

由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0.③

由题意可得：Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化简得：（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.

当a2≠x20时，设此方程的两根为k1，k2，则k1·k2=-1，即b2-y20a2-x20=-1，故得x20+y20=a2+b2，用x，y替换x0，y0，化简得x2+y2=a2+b2.

当k不存在或k=0时，易求得点M点坐标为（±a，±b），这些点显然满足x2+y2=a2+b2，则点M的轨迹是x2+y2=a2+b2，即点M的轨迹是以原点为圆心，a2+b2为半径的圆.

由此可知，若椭圆与这两条互相垂直的直线相切，那么椭圆的中心与这两条直线交点的距离是一个定值，即无论椭圆如何滑动都与两条直线相切，则椭圆中心的轨迹是以两条直线的交点为圆心的一个圆.

如今，数学运算能力作为高中主要核心素养之一，也是学生的软肋之处，众多学生认为运算就是死算，把问题都归结为自己计算不行，其实不然，学生在解决问题时算不下去，算不出来，往往是因为缺少一定的运算观察能力导致的.因此，培养学生的运算观察能力，不失为一条提升学生数学运算素养的有效途径[2].

学生真正的问题是不会算，如果我们能善于整理总结，从一类问题中提炼出解决问题的思维路径，引导学生关注算理算法，长此以往，让学生会算、敢算、势必提升学生的运算能力.

参考文献

[1] 胡寅年.两道高考椭圆试题的解析与引申[J].数学通讯（上半月），2021（04）：2125.

[2] 张劲.提高运算观察能力，提升数学运算素养[J].中小学数学（高中版），2021，（78）：2125.

作者简介 周志国（1980—），男，江苏盱眙人，中学高级教师，淮安市学科带头人，淮安市劳动模范，高考命题专家;主要研究中学数学教育教学和命题;在省级以上刊物发表论文40余篇.