基于改进fal函数的无人直升机姿态自抗扰研究

华桑暾， 邱亚峰， 陈 成

(南京理工大学机械工程学院，南京 210000)

0 引言

无人直升机具有体积小、灵活性高等特点，在军事、农业等方面应用广泛，但无论在哪个领域，都要求其具有超高的可控性、稳定性，姿态控制作为飞行控制的关键一环，直接影响着无人直升机性能的好坏，为了提高无人直升机的可控品质，需要研究一种抗干扰能力强的控制方法。

目前常见的姿态控制方法有许多种。其中：PID控制对经常变化的环境需不停地调整增益[1]，在直升机姿态控制方面，往往难以取得理想的效果；反步控制将复杂的系统分解为多个系统并分别设计Lyapunov函数，可以实现对非线性系统的控制[2]，但随着系统阶数增加，控制的复杂性也迅速增加；模糊控制虽不依赖于精确模型，但其设计缺乏系统性，在复杂系统的控制上显得力不从心[3]。上述控制都或多或少存在缺点，自抗扰控制(ADRC)算法具有天然的解耦性，将系统的内扰与外扰进行实时估计并补偿，且不依赖于具体模型，对于直升机控制有着较好的控制能力。

文献[4]针对无人直升机系统航向通道扰动大等问题，将ADRC用于航向通道，验证了ADRC具有对扰动抑制能力强、控制精度高等优点；文献[5]严格证明了控制闭环系统的稳定性和收敛性，并通过数值仿真验证了自抗扰控制效果优于滑模控制。文献[6]推导了另一种控制函数fsun()，进一步升华了ADRC的理论深度。

本文首先建立了无人直升机的动力学模型，并提出一种基于改进fal函数的自抗扰控制方法，最后通过Simulink进行仿真，研究改进ADRC的性能，并验证了其对无人直升机姿态控制的良好性能。

1 无人直升机建模

1.1 动力学方程建立

直升机在飞行过程中，可以分解为空间平动和绕质心的定点转动。假设直升机为一刚体，并忽略弹性变形的影响，其动力学方程可由牛顿第二定律导出，向量形式为[7]

(1)

式中:F为外力;m为直升机的质量;M为外力矩;v为直升机质心的运动速度;H为动量矩。

将v和H按机体坐标系分解，可得到三轴的线运动方程为

(2)

式中:Fx,Fy,Fz为外力在Ox,Oy,Oz轴上的投影之和;u,v,w分别为3个轴的线速度;p,q,r分别为3个轴的角速度;φ,θ,ψ分别表示横滚角、俯仰角、偏航角。角运动方程为

(3)

式中:Mx,My,Mz为外力矩在Ox,Oy,Oz轴上的投影之和;Ixx,Iyy,Izz为直升机对Ox,Oy,Oz轴的转动惯量;Ixz为直升机对Ox和Oz轴的惯性积，绕机体轴正方向转动的力矩为正。

机体角速度和欧拉角角速度之间的关系为

(4)

综上，得到直升机的非线性动力学方程为

(5)

1.2 全面运动小扰动方程

对无人直升机的全量运动方程进行线性化处理，在平衡点处按泰勒级数展开，建立起直升机的小扰动线性化全面运动方程[8]为

(6)

式中，状态变量为

ΔX=[ΔφΔθΔψΔuΔvΔwΔpΔqΔr]

(7)

控制变量为

U=[ΔδcΔδaΔδeΔδr]

(8)

式中，δc,δa,δe,δr分别为直升机的总距操纵量，横向、纵向周期变距以及尾桨桨距。将参数代入矩阵A,B，即可得到无人直升机线性化模型。

2 fal函数的改进

非线性函数是非线性误差反馈律的重要组成部分，传统的非线性函数主要为fal函数，具有一定的滤波效果，其描述如下

(9)

图1所示为fal函数和改进fal函数的小误差响应。图1(a)为当线性区间δ=0.2，α分别取0.01,0.05,0.1,0.25,0.5,1时的fal函数图像。图2为α=0.25时，δ分别取0.01，0.05，0.1，0.25，0.5，1时的fal函数图像。可以看到：α的取值决定了fal函数的线性程度，α越小，非线性程度越强;δ决定了函数的线性区间，δ越大，线性区间越大。

图2 α=0.25，δ响应曲线Fig.2 δ response curve when α=0.25

从图1(a)可以发现，|e|=δ时函数虽然连续，但是并不光滑，导数的突变可能会导致系统性能变差；从式(9)看，当|e|>1时，若α取值较大，则最后的系统增益仍可能很大，不符合自抗扰控制“大误差，小增益”的要求[9]。因此，针对以上问题，并根据fal函数遵循的原则，提出改进fal函数原则：1)在原点处连续且平滑； 2)在|e|=δ处可导、连续；3)在误差较大时保持小的系统增益。

图1 fal函数和改进fal函数小误差响应曲线Fig.1 Small error response curves of fal-function and the improved fal-function

综上，设计的改进fal函数描述如下。

当|e|≤δ时，fal函数改写为

fal′(e,α,δ,λ)=k1sine+k2e2+k3e3

(10)

式中，k1，k2，k3为函数增益。

当δ<|e|<1时，fal函数保持不变，即

fal′(e,α,δ,λ)=|e|αsgn(e)。

(11)

当|e|>1时，引入限制量λ，

fal′(e,α,δ,λ)=|e|α/λsgn(e)。

(12)

为保证在|e|=δ处可导且连续，需满足函数值与导数均相同，即

(13)

求解得到

(14)

综上所述，fal函数可写为

(15)

图1(b)为改进fal函数在δ=0.2，λ=1时，α分别取0.01,0.05,0.1,0.25,0.5时的图像。可以看到，在|e|≤δ时，改进fal函数仍具有快速收敛的特性，在δ<|e|≤1时，工作在非线性区间，与传统fal函数相比，改进fal函数在|e|=δ处连续且可导，在|e|>1时，如图3所示，改进fal函数限制系统增益能力更强，更符合自抗扰控制“小误差，大增益；大误差，小增益”的要求。

图3 fal函数和改进fal函数大误差响应曲线Fig.3 Large error response curves of fal-function and the improved fal-function

图4为α=0.25，δ=0.1时的函数误差增益曲线，可以看到，传统fal函数增益在|e|≤δ时在线性区间，因此函数增益不变，该特点虽解决了函数增益不会突增的问题，但也将函数增益限制在了一个较小的区间。对于改进fal函数,当误差极小时

(16)

结合图4可以看到，改进fal函数在|e|≤δ时，函数增益更大，也没有出现突增，增益控制效果将会更优。

图4 误差增益曲线Fig.4 Error gain curve

3 基于改进ADRC的姿态控制系统设计

直升机作为一个多输入-多输出(MIMO)系统，具有非线性、强耦合性等特点，其控制问题较其他方面更难，而自抗扰控制具有天然的解耦性，非常适合于直升机的控制。

对于一个多输入-多输出系统

(17)

(18)

x=[x1x2…xm]T，f=[f1f2…fm]T，u=[u1u2…um]T，令U=Bu，则系统变成

(19)

进一步地

(20)

自抗扰控制器包括3个部分：跟踪微分器(TD)、扩张状态观测器(ESO)、非线性状态误差反馈控制律(NLSEF)[10]，图5为其控制器结构图。

图5 二阶自抗扰控制器结构图Fig.5 Structure diagram of second-order active disturbance rejection controller

3.1 跟踪微分器

跟踪微分器是为了减少因突变引起的系统大幅度超调,它能够对信号起到一个缓冲作用，实现对信号的快速跟踪，跟踪微分器的离散形式如下

(21)

式中:h为采样周期;v(k)为第k时刻的输入信号;r为决定跟踪快慢的参数，其取值依据系统的承受能力而定;fhan(·)函数为最速控制综合函数，描述如下

(22)

(23)

上述微分器可以快速实现对输入信号v及其微分信号的快速跟踪。

3.2 扩张状态观测器

ESO将内扰和外扰结合在一起成为一个新扰动，在原系统状态的基础上扩张出一个新状态，原系统变为线性系统[9]，通过之前改写的fal函数，新的非线性扩张观测器表示为

(24)

式中:β0i>0(i=1,2,3)；α1,α2为可调参数，常取α1=0.5，α2=0.25。

3.3 非线性状态误差反馈控制律

通过得到的误差信号及其微分信号，将这两个信号进行适当的组合，其中，非线性误差反馈控制律采用以下方式

(25)

扰动补偿形成控制量

u=u0-z3/b0

(26)

式中：v1，v2为跟踪微分器输出；z1，z2，z3为ESO输出；β1，β2分别为比例增益和微分增益；α1,α2常取值为0<α1<1<α2；δ为改进fal函数的近似线性区间；b0为补偿因子。

4 仿真与结果分析

为了验证改进ADRC的控制效果，在Matlab/Simu-link中建立无人直升机的数学模型，并与传统ADRC和PID控制进行比较，无人直升机的参数如表1所示，改进的ADRC参数如表2所示。为保证实验的严谨性，传统ADRC控制参数与改进ADRC参数设置相同。

表1 某无人直升机参数Table 1 Parameters of an unmanned helicopter

表2 改进ADRC参数Table 2 Improved ADRC parameters

设计3组仿真实验，第1组是在无干扰的情况下横滚角、俯仰角、偏航角的跟踪实验。设定姿态角变化幅值为10°、频率为0.1 Hz的方波为跟踪目标，姿态角初始值为0°，仿真结果如图6所示。

图6 方波信号跟踪仿真

第2组是在白噪声干扰下抗干扰的实验，直升机在飞行过程中易受到外界干扰，以横滚角为例，在对横滚通道估计前加入均值为0、方差为3的高斯白噪声来模拟直升机飞行中受到的总外扰，仿真结果如图7所示。

图7 白噪声干扰下横滚角抗干扰仿真Fig.7 Anti-jamming simulation of roll angle under interference of white noise

第3组是模拟直升机在飞行过程中受阵风影响，角度突变，以横滚角为例，在对横滚通道估计前加入幅值为6°的阶跃干扰，仿真结果如图8所示。

图8 阶跃干扰下横滚角抗干扰仿真Fig.8 Anti-jamming simulation of roll angle understep interference

在跟踪性能实验仿真中，传统ADRC和改进的ADRC跟踪效果远好于PID控制，改进ADRC依旧具有良好的跟踪快速性以及低超调性。

通过白噪声干扰下的抗干扰实验仿真可以明显看到,改进ADRC横滚角波动范围小于传统ADRC，因为改进fal函数在接近0时收敛性更强，因此缩短了调节的时间。在阶跃干扰下的抗干扰实验仿真中，可以看到改进ADRC在大误差下保持系统稳定的能力更强，能更快地使系统回到稳态。该仿真验证了采用改进fal函数的ADRC控制比采用传统fal函数的ADRC控制具有更强的抗干扰性。

5 结论

本文首先建立无人直升机的动力学模型，并针对fal函数拐点处不平滑、误差过大时增益较大等问题，提出了改进fal函数。将改进fal函数应用于自抗扰控制，重新设计了ADRC的非线性误差反馈律。通过Matlab/Simulink仿真得到改进ADRC在无人直升机姿态控制方面的快速性、超调量依旧效果良好，而抗干扰性能优于传统ADRC。