离散马尔可夫跳变系统的降维观测器设计

2022-04-07周子龙李晓航

电光与控制 2022年4期

周子龙，李晓航

(上海工程技术大学电子电气工程学院，上海 201000)

0 引言

马尔可夫跳变系统(Markovian Jump System,MJS)由若干个子系统和模态组成，这些子系统和模态受马尔可夫链控制，广泛应用于描述复杂的实际控制系统[1-3]。虽然在形式上，MJS可以看作单模态系统到多模态系统的推广，然而MJS独特的系统结构，导致研究过程所使用的方法与传统方法有较大区别[4-5]。在实际系统中，由于系统的部分状态变量可以直接由测量得到，此时只要对剩余的状态变量设置观测器即可。而降维观测器可以使观测器结构更为简单，计算量也相应减少，而且可以避免直接测量得到的系统状态因重构而产生的重构误差[6-7]。因而，研究MJS的降维观测器是具有现实意义的。

目前，MJS在稳定性分析、观测器设计等方面取得了很多有吸引力的成果。文献[8]针对连续MJS设计了一种降维滑模观测器，有效避免了滑模面切换的问题；文献[9]针对一类具有不确定状态转移概率的延迟MJSs设计了全维的自适应观测器，在无需提前获知执行器或传感器故障的前提下实现了执行器和传感器故障的同时估计。然而文献[8-9]都不能同时消除系统未知输入及测量噪声的影响。文献[10]针对离散时间MJS设计基于事件触发的全维观测器，并证明了H∞稳定性，然而只讨论了状态转移概率矩阵完全已知的情况。事实上，很多关于MJS的研究都是假设其状态转移矩阵是精确已知的[11-12]。

综上所述，本文研究了仅知道部分转移概率边界的情况下离散MJS的降维观测器设计。在降维观测器设计过程中，首先构造虚拟输出对测量噪声进行解耦，之后对系统进行线性变换实现未知输入的解耦。该观测器具有以下优点：其一，可以同时对系统中的未知输入和测量噪声解耦；其二，考虑部分已知转移概率的MJS，更具有一般性。在此基础上，关注降维观测器在有限时间内随机稳定，并且利用代数重构的思想实现了在离散MJS中的未知输入的估计。

1 系统描述

有如下的线性离散系统

(1)

式中：x(k)∈Rn，是系统状态；u(k)∈Rm，是已知输入；y(k)∈Rp，是可测输出；d(k)∈Rq，是未知输入；ω(k)∈Rr，是测量噪声；A，B，C，D，E为适当维数的矩阵。不失一般性，假设D和E满秩；n>p≥q+r。

定义1

(2)

为式(1)系统的Rosen-brock矩阵。当复数z满足秩条件rank(R(z))

定义2若式(1)系统中所有的不变零点均在z平面单位圆内，则称式(1)系统为最小相系统。其等价描述为：对任何满足|z|≥1的z∈C，有

rank(R(z))=n+q。

(3)

考虑如下的具有未知输入和测量噪声的线性离散时间马尔可夫跳变系统

(4)

式中,Ai，Bi，Ci，Di，Ei为适当维数的矩阵。

{r(k),k≥0}是在有限集R={1,2,…,N}内的离散时间状态的马尔可夫过程，具有如下状态转移概率

Pr(r(k+1)=j|r(k)=i)=πi j

(5)

假设系统的一部分转移概率是可量测的，对于已知的转移概率只能获取其取值范围，πi j∈[πli j,πui j]，πli j和πui j已知。因此,转移概率矩阵Π的形式为

(6)

(7)

定义3对于uk≡0，dk≡0，以及任意初始条件x0∈Rn和r0∈R，有

(8)

式中，E表示数学期望，则式(1)系统是随机稳定的。

定义4对于下面的离散时间马尔可夫跳变系统数学模型

x(k+1)=A(r(k),k)x(k)+B(r(k),k)u(k)

(9)

如果uk≡0存在常数c1，c2，N以及正定矩阵R有

xT(0)Rx(0)≤c1⟹E{xT(k)Rx(k)}≤c2∀k∈{1,…,N}

(10)

成立，则系统相对于(c1,c2,N,R)为有限时间随机稳定。

假设1 式(4)系统满足

(11)

(12)

2 降维观测器设计

(13)

(14)

引理1[13]假设1成立，当且仅当

(15)

引理2[13]假设2成立，当且仅当

rank[Ri(z)]=n+rank(Di)

(16)

(17)

引理3[14]式(4)系统同时满足引理1和引理2，则存在

(18)

使得

(19)

证明。

由引理1可知rank(Di)=q，可以得到一个中间变量

(20)

则可以得出

(21)

由引理1可知，存在非奇异矩阵

(22)

有

(23)

则

(24)

定义矩阵

(25)

得

(26)

(27)

令

(28)

(29)

(30)

(31)

3 主要结论

以下的定理1可以保证式(4)系统有限时间随机稳定，并且给出观测器增益矩阵Li的值。

定理1如果存在对称正定矩阵Xi，非奇异矩阵Wi，矩阵Yi和正标量δ>0，θ>0，使得以下矩阵不等式

(32)

(33)

minδ>0

(34)

(35)

(36)

证明选取李雅普诺夫函数V(e(k),r(k))=eT(k)Pie(k)，可以得到

(37)

将式(31)代入式(37)得

ΔV(e(k))=

(38)

由式(38)可知，只需证明

(39)

(40)

成立即可。分别对式(39)和式(40)使用舒尔补引理得

(41)

(42)

(43)

由上述可知

ΔV(e(k))≤(α+β)‖e(k)‖2

(44)

式中：

(45)

(46)

其中，inf表示集合的下确界。

由式(44)可知

(47)

由定义3可知，此时误差系统是随机稳定的。且由式(32)～(35)可知ΔV(e(k))<0，因此存在一个大于零的常数θ，使

ΔV(e(k),r(k))<θV(e(k),r(k))

(48)

成立。

不等式(48)可以按不同时刻写成

(49)

进行递推，可知

E{V(e(k),r(k))}<(θ+1)E{V(e(k-1),r(k-1))}<

(θ+1)2E{V(e(k-2),r(k-2))}<…<(θ+1)kV(e(0),r(0))

(50)

由式(50)左边有

E{V(e(k),r(k))}=E{eT(k)Pr(k)e(k)}=

(51)

式中，R为正定矩阵，再由式(50)右边有

(θ+1)kV(e(0),r(0))=(θ+1)keT(0)Pr(0)e(0)=

(52)

由式(51)和式(52)可得

(53)

(54)

式中：c1和c2为常数；λmin表示矩阵特征值的最小值。则由定义4可知误差系统有限时间内随机稳定，证明完成。

4 未知输入估计

定理2在假设1和假设2成立的前提下

(55)

是未知输入d(k)的渐近估计。

(56)

(57)

(58)

由式(58)得，未知输入重构误差为

(59)

5 仿真

为了证明所提方法的有效性，考虑如下具有两个模态的数值马尔可夫跳变系统，相关参数如下：

根据定理1，可以求得

未知输入为d(k)=0.2sink+0.2cosk，测量噪声为ω(k)=0.2sink，初始状态向量x0=[-0.501 1]T，图1所示为系统的状态估计效果。

图1 系统状态及其估计值Fig.1 Actual states and their estimations

图1给出了系统的状态真实值以及观测器的估计值，图2为未知输入估计。由图1可以看出，由于文献[15]所设计的观测器无法同时解耦未知输入与测量噪声，因此其估计的状态与系统真实状态存在一定的误差。通过式(58)可以得出基于代数重构的思想实现的未知输入估计，如图2所示。从图2可以看出，所提出的方法可以较为精确地估计系统的未知输入。