丢番图方程的算法研究及其推广

司 标，庞晓丽

（保定学院 数据科学与软件工程学院，河北 保定 071000）

丢番图方程即不定方程，通过改变方程中未知元的个数以及元的次数而得到不同的答案，是由古希腊丢番图所命名，内容主要是：当丢番图方程的元、次数不同时，探讨各个元的整数解或有理数解，在对大量的不定方程研究之后，给出了方程的特殊解.中国古代也有不定方程的相关研究，比如孙子定理.近现代，对于丢番图方程中椭圆曲线方程的研究推动了密码学的发展.

丢番图方程形式众多，如二元多次不定方程（例如Pell方程）、三元二次不定方程（解为勾股数）、三元n次不定方程（即费马大定理）；在数学史上很多有趣的题目中也蕴含着丢番图方程，如勾股数、四平方数和定理、丢番图生平等.本文主要研究二元不定方程Pell方程：x3±a=Dy2.

对于Pell方程x3±1=Dy2（D＞0，因子无平方数，且模6不为1），Nagell证明了当仅模6为5时，方程x3±1=Dy2除平凡解：x=-1，y=0，再无其他解，而之后Ljunggren又给出了此方程只有一组整数解的证明，但两人的证明方法复杂，并不是用的初等方法，在1952年Ljunggren用初等解法给出了x3±1=2y2的解[1].

20世纪80年代，柯召、孙琦研究了方程x3±1=Dy2，D＞6，因子无平方数，且因子模6不为1时，除平凡解外，所有的非平凡整数解均已解决[2]，曹玉书在1988年给出了x3±27=Dy2，D＞0，因子无平方数，且模6不为1，何时有解，并求所有非平凡整数解[3].

本文用另外一种证明方法给出x3±27=Dy2所有非平凡整数解，并给出x3±729=Dy2的所有非平凡整数解.

1 引理和结论

此引理为引用柯召给出x3±1=Dy2（D＞0，因子无平方数，且因子模6不为1）的所有解的结果，方便证明中应用

本文给出了

的全部非平凡整数解，这里D＞0，因子无平方数，且因子模6不为1.

1.1 引理[1-2]

引理 1[2]方程（1），D 不是 2或 3的倍数，整数解：x=-1，y=0；x=0，y=1；x=2，y=3.

引理 2[2]方程（1），D 为 2 的倍数，整数解：x=-1，y=0；x=0，y=1；x=23，y=78.

引理3[2]方程（1），D为3的倍数，整数解：x=-1，y=0.

引理 4[2]方程（1＇）整数解：x=1，y=0.

1.2 结论

以下定理为本文得出的结论，即式（2）（2＇）（3）（3＇）的所有非平凡整数解

定理 1 方程（2）的非平凡整数解：当 D=3 时，x=0，y=3；当 D=6 时，x=3，y=3；当 D=6 时，x=69，y=234；当 D=11 时，x=8，y=7.

定理2 方程（2＇）的非平凡整数解：D=2时，x=5，y=7.

定理 3[4]方程（3）的非平凡整数解：当时 D=33 时，x=24，y=21；当 D=1 时，x=0，y=27；当 D=1 时，x=18，y=81；当 D=2 时，x=9，y=27；当 D=2 时，x=207，y=2 106；当 D=74 时，x=65，y=61.

定理 4[4]方程（3＇）的非平凡整数解：当 D=47 时，x=56，y=61；当 D=6 时，x=15，y=21.

2 定理证明

2.1 定理1证明

1）若3整除x

a）当 3 不整除 D 时，可令 x=3x1，y=9y1，则（2）式变为，化简为：，由引理3得该方程无非平凡整数解.

b）当 3 整除 D 时，可令 x=3x1，y=3y1，D=3D1，则（2）式变为，化简为：

由引理 1[2]和引理 2[2]知，方程（4）恰有 4 组非平凡整数解：（D1，x1，y1）=（1，0，1），（1，2，3），（2，1，1），（2，23，78），所以（2）有 4 组解：当 D=3 时，x=0，y=3；当 D=6 时，x=3，y=3；当 D=6 时，x=69，y=234.

2）若 3不整除 x时，则（2）式可化为

易知（x+3）与（x2-3x+9）互素，且 3不整除（x2-3x+9），由（5）式知必存在二正整数 a、b满足 a、b互素，且

由（5＇）式得

从而得到：

又由于 D＞0，3 不整除 b，知（6＇）式中的 i只能等于 0 或 3，于是得到：b=7，Da2=11，D=11，a=1，x=Da2-3=8，y=ab=7，所以方程（2）有一组解：当 D=11时，x=8，y=7，定理 1证完.

2.2定理2证明

1）若3整除x

a）当 3 不整除 D 时，可令 x=3x1，y=9y1，则（2＇）式变为，化简为：，由引理4[2]得该方程无非平凡整数解.

b）当 3 整除 D 时，可令 x=3x1，y=3y1，D=3D1，则（2＇）式变为，化简为，由引理4[2]得该方程无非平凡整数解.

2）若 3 不整除 x时，则（2＇）式可化为

易知（x-3）与（x2+3x+9）互素，且 3不整除（x2+3x+9），由（7）式知必存在二正整数 a、b满足 a、b互素，且

由（7＇）式得

从而得到：

又由于 D＞0，3 不整除 b，知（8＇）式中的 i只能等于 0 或 3，于是得到：b=7，Da2=2，D=2，a=1，x=Da2+3=5，y=ab=7，所以方程（2＇）有一组解：当 D=2 时，x=5，y=7；定理 2 证完.

2.3 定理4证明

1）若3整除x

a）当 3 不整除 D 时，可令 x=3x1，y=9y1，则（3＇）式变为，化简为：，再令x1=3x2，y1=3y2，带入得：，化简得：，由引理 4[2]知，方程无非平凡整数解.

b）当 3 整除 D 时，可令 x=3x1，y=3y1，D=3D1，则（3＇）式变为，化简为：

由定理 2 知，方程（9）恰有一组解：（D1，x1，y1）=（2，5，7），所以（3＇）有一组解：当 D=6 时，x=15，y=21.

2）若 3 不整除 x时，则（3＇）式可化为

易知（x-9）与（x2+9x+81）互素，且 3不整除（x2+9x+81），由（10）式知必存在二正整数 a、b满足 a、b互素，且

由（10＇）式得

从而得到：

又由于 D＞0，3 不整除 b，知（11＇）式中的 i只能等于 0 或 5，于是得到：b=61，Da2=47，D=47，a=1，x=Da2+9=56，y=ab=61，所以方程（3＇）有一组解：当 D=47 时，x=56，y=61；定理 4 证完.

定理3同定理1类似，略.

本文给出了丢番图方程中一类方程的一种特殊解，丢番图方程是在整系数下求出整数解，因为没有特定方法，求一般解比较困难，对于Pell方程x3±a=Dy2中，本文给出a为3的0次方，3的三次方以及3的六次方的三种情况，求出非平凡整数解，完善了丢番图方程.