“小学数学探究性作业”的学习与思考

【摘   要】探究性作业的设计与实施是数学教育领域中的一个热点。刘善娜老师及其团队的相关研究不仅对一线教师做好这方面工作具有重要的借鉴意义，也可被看成教学研究的一个范例，特别是如何通过持续努力实现研究工作的不断深入，包括更好地突出努力促进学生思维发展这个基本目标。

【关键词】探究性作业;教学研究;思维发展

“小学数学探究性作业的设计与实施”是浙江省特级教师刘善娜的一项研究工作，已在同行间获得普遍的好评。笔者对此也有很大的兴趣，多次阅读她在这方面的一部著作《这样的数学作业有意思——小学数学探究性作业设计与实施》（以下简称《这样的数学作业有意思》）。近期又在《教学月刊·小学版》（数学）上看到了她的文章《单元整体视角下小学数学探究性作业的设计》[1]，发现她对探究性作业的设计有了更为系统、更为深入的研究，这自然激起了笔者更大的兴趣。笔者一直认为，与频繁地转换课题特别是对于时髦潮流的盲目追随相比较，应当更加重视研究工作的不断深入，包括带动更多教师一起从事教学研究。另外，一线教师也应十分重视理论学习，这样就能从更高层面做出更深入的分析思考。这也正是本文的主要论点，即以上述工作为背景提出笔者在这方面的一些具体想法，希望能发挥一定的促进作用。

一、聚焦《这样的数学作业有意思》

笔者对于我国小学教师群体有这样一个总体看法：如果说小学教师在课改初期普遍表现出缺乏独立思考这样一个弊病，那么这一情况现在已经有了很大变化，不仅教师的分析能力有了很大提高，而且有不少优秀教师提出了自己相对独立的教学主张或理论思想。刘善娜老师的研究工作具有独特之处：她在撰写《这样的数学作业有意思》这一著作时还只是一名普通教师，相关工作也未得到有关部门的鼓励和资助，只是反映了她为了解决日常教学中遇到的问题或困惑所做的努力，这其实也集中反映了一线教师的一种心态，即希望通过持续的努力包括积极的教学研究不断改进自己的教学，相关研究也具有密切联系教学实际的特点。由这一工作的实际发展路径就可清楚地看出，从“一日一题”“每周一题”与“数学日记”，逐渐发展成为对“数学探究性作业”的系统研究。[2]18

简言之，尽管这一著作不能说已经建立起“小学数学探究性作业”的系统理论，但还是可为一线教师实现专业成长提供一个范例，特别是，我们应当牢记教师的初心，并通过持续的努力改进教学和密切联系教学，积极地开展教学研究。

也正因为刘善娜老师的研究工作具有密切联系教学实践的特点，从而十分适合一线教师学习和借鉴。以下针对《这样的数学作业有意思》这一著作的主要部分做出简要述评。

（一）追寻：探究性作业的作用与适当定位

首先，我们不应将“探究性作业”混同于一般所说的“学生主动探究”，因为后者显然具有更广泛的含义，即不只局限于“作业”这样一个范围。“探究性作业”应被看成是“一般性作业”的必要补充，并有助于“作业功能的最大化”，包括如何能够解决现实中经常可以看到的这样一个现象，即学生不喜欢数学，教师也因无法逃脱“题海战术”而深感痛苦。[2]2-3，19

刘善娜老师在这方面的一个主要观点是“数学作业教学”应当同时做好两个方面的工作，或者说两个方面的必要互补。

1.常规性作业要“少而精”，特别应控制好作业的“量”。这里有一个很好的建议，就是教学中应给予学生一定的选择权。另外，刘善娜老师认为“不给学生布置任何家庭作业、努力实现作业的‘当堂清’”这一做法并不妥当，因为这关系到如何充分发挥作业的功能，使其既能帮助学生真正喜欢数学，又能让他们逐步学会自律、学会学习。[2]4，19

2.做好探究性作业的设计与实施，从而为学生提供更大的发展空间，努力提升他们的探究能力。刘善娜老师在这方面也有这样一个明确主张：“我们的孩子们只要能在每个单元的学习中做一两次有意思的探究性数学作业，就能在发展数学探究能力的同时，更加喜欢数学。”[2]69显然，这也直接涉及“探究性作业”与“常规性作业”之间的关系，因此，我们不应在这方面秉持任何一种绝对化的立场。

（二）设计：数学探究性作业的内涵

那么，我们究竟应如何从事小学数学探究性作业的设计呢？

从形式上看，相关内容似乎主要集中于这样一项工作，即不同学段有哪些“有探究空间的作业点和适合的作业类型”以及“对应的能力培养和学生的心理特点”，包括一个具体建议，即相关工作应当很好地突出相应的“核心词”。但在笔者看来，所有这些论题又都有深入探讨的必要。例如，所说的“五种作业类型”各有什么特殊的作用或功能？什么又应被看成具有特别的重要性？再者，尽管《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到的“核心概念”确有一定的针对性，但如果因此而认定存在如下对应关系，显然也只能说是一种简单化的认识：“三年级：数感与几何直观;四年级：空间观念;五年级：符号意识;六年级：模型思想。”[2]24-25，60-69

相对而言，我们应当特别重视这样三种能力的培养，即读画绘画能力、推理分析能力、错误利用能力。进而，笔者以为，关于“探究性作业”的三个具体要求“让每个孩子都有思考，有话说，并有兴趣”，可被看成是相关工作最有价值的一项内容，因为这或许就可被看成是实现前述目标的关键。

首先，就小学数学教学而言，“有兴趣”显然应当被看成是一个普遍性的要求。这也就如刘善娜老师在书中所指出的，探究性作业应当“扣住”孩子们“好胜+好奇+好玩+好动”的心理特征。但是，这个要求事实上也应被看成是数学作业特别是“探究性作業”的一个重要功能，即帮助学生逐步养成一种新的、更高层次的价值观念。大多数人之所以喜欢数学，包括由此而逐步养成对于“理性”的推崇，并不是因为数学容易，而是因为数学中有很多问题的求解并不容易，需要长时间的思考，往往还需经历一定的失败和痛苦，但最终能让人感受到更深层次的快乐，感受到思维的力量……

其次，促进学生思维的发展，或者说让每个孩子都“有思考”，这应当说也是全部数学教学工作都应满足的一个要求。我们应当通过这一渠道不仅使学生喜欢数学，也能喜欢思考、喜欢探究。

最后，让每个孩子都“有话说”，则清楚地表明“表达与交流”的重要性，这也让我们从更广泛的角度认识探究性作业的作用，包括很好地体现“过程性、差异性和选择性”这样三个特性。因此，我们不应唯一着眼于如何能够有效地解决问题，也应十分关注学生是否积极展开探究，尽管未必取得成功，甚至只是一些初步的想法和尝试，通过这一过程又有什么样的感受和收获：既可以是成功的经验，也包括失败的教训或纯粹的感受……不难想到，这事实上也就直接涉及我们应当如何去从事探究性作业的教学。

（三）落地：数学探究性作业的实施

按照作者的观点，我们在从事探究性作业的教学时应当特别重视以下这些问题。

1.布置的时机。“要考虑到有些内容适宜布置在新知学习之前，让孩子自发迁移探究，有些内容则必须布置在新知学习之后，让孩子通过对比、关联等途径给予理解深化。” [2]74， 83-91这就直接涉及这样一个认识，即数学作业应当在不同时机发挥不同的作用。如“新知学习前”的了解和铺垫，“新知学习后”的复习和巩固，特别是对于易混概念的清楚区分、学习难点的突破等。由于这一结论对于一般性作业包括“课堂练习”和“课外作业”显然是同样适用的，我们就应更深入地去思考这样一个问题：如果我们认定在各个阶段都应鼓励学生积极地进行探究，那么“探究性作业”在各个阶段究竟又有什么特殊的作用？

再者，“探究性作业”的布置是否也应与学习内容密切相关，特别是其中所涉及的思维过程应当是“横向的发展”，也即主要是一种扩展性的工作，还是“纵向的发展”，也即具有明显的不连续性？由于作者在书中提到的“新知可以由迁移顺取”和“新知能延伸拓展”这两个类别事实上都可被看成属于前一范围，我们自然又应提出这样一个问题：如果新知不能由“迁移”或“延伸”直接获得，那么我们是否仍应坚持探究性作业的应用，教师在此又应给学生哪些必要的帮助？

2.指导策略。作者在书中提到的“指导策略”，也即“探究的大致步骤”。为学生提供必要的帮助，即面对不同的问题应当怎样思考。一般适用于小学低、中年级的数学教学，能帮助学生很好地了解与适应数学家的思维方式与工作方式。但是，数学教学显然不应停留于单纯的“规范化”这样一个水平，而应帮助学生由“被动的适应”逐步转向真正的“理解与欣赏”，从而能更主动地进行学习，包括努力提升自己解决问题的能力，并真正喜欢数学，喜欢思考。显然，这事实上也为我们研究“指导策略”提供了新的着眼点，特别要思考相关教学究竟是集中于“解题策略”的学习，包括后者的“细化”，乃至解题活动的“程序化和算法化”，还是由具体的数学思想方法与解题策略转向一般性的思维策略，特别是努力提升学生的思维品质。

3.评价策略。不仅探究性作业的设计应为所有学生的积极探究提供合适的空间，教师在教学中也应善于发现学生的亮点并予以大力的表扬，从而让每个学生都能有切实的成就感，并因此爱上数学、爱上思考。另外，我们还应当努力做好“家校联手”的工作，调动各方面的力量。当然，相对于单纯的“外部激励”，教师应更加关注如何提升学生在这一方面的自觉性，包括清楚地认识数学探究的意义，以及如何对自己和他人的工作做出评价。正如书中所言：“我们让孩子做探究性数学作业，也应该让孩子感受到‘我所做的探究性作业，我所付出的努力，我所付出的思考，是为了让自己更加美好’。”[2] 92

4.关于“探究性作业”作用的再认识。笔者以为，我们在此应当特别重视“总结、反思与再认识”这样一项工作，包括跳出“探究性作业”，从更广泛的角度认识做好这方面工作的重要性。具体地说，除去有益于提升学生在这方面的自觉性以外，这也直接关系到数学本身的性质：“数学化一个重要的方面就是反思自己的活动，从而促使改变看问题的角度。”也正因为此，“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次”（弗赖登塔尔语）。

另外，就目前的论题而言，这显然也就更清楚地表明了这样一点：只要引导得法，“探究性作业”确实可发挥更大的作用，并真正成为全部数学教学工作的重要一环。

最后，笔者以为，对于作者在书中提及的以下事实我们应予以足够的重视：“三、四年级孩子的探究性作业趣味性强、个性十足……五、六年级……孩子们的探究性思考意味十足，但多样性递减，大多数时候都呈现出‘大同小异’的状态。”[2] 106这清楚地表明了这样一点：不同学段的“探究性作业”应有不同的重点与内涵。上述变化究竟是一种自然的发展，还是与不恰当的教学密切相关？建议读者可联系先前关于“指导策略”的分析对此做出自己的判断，包括通过教学实践做出必要的检验。

二、“单元整体视角下小学数学探究性作业的设计”之审思

前面已经提到，一线教师在从事教学研究时应当防止“东打一枪、西放一炮”的倾向，特别是避免盲目追随各种时髦的口号或理论主张。除此以外，还应注意纠正这样一个现象，即相关人员既缺乏埋头实干的决心与毅力，也不重视自身研究能力的提升，而只是热衷于现成工作的包装，如由素朴的教学思想迅速膨胀成覆盖各个学段和各门学科的“庞大理论”。也正是在这样的意义上，刘善娜老师带领其团队开展的这一项新研究“单元整体视角下小学数学探究性作业的设计”，就可被看成为一线教师提供了一个很好的范例，即我们如何能够实现教学研究工作的不断深化。

具体地说，以先前的工作为基础，刘善娜老师和她的团队选择了一个深入开展研究的很好的切入點。之所以说这是一个很好的选择，是因为“整体的视角”在很大程度上可被看成是数学教学“减负增效”的关键，包括作业设计上的“少而精”，以及我们应如何进行教学才能很好地发挥“作业”（这既指“探究性作业”，又包括“常规性作业”）的应有作用，特别是能真正做到“突出重点、以主带次，以发展代替重复，用深刻促成简约”。

另外，这一工作还有一个很好的特点，即整体规划下的合理分工。此话题中同时发表的六篇教研文章恰好覆盖了小学的六个年级，这在总体上体现了一些重要的认识，如应以“单元内容的分析”和“常见习题概总”作为“单元探究性作业设计”的直接基础，相关作业应很好地起到“联系前后”、促进学生认识的发展这样一个作用。

在笔者看来，这也清楚地表明了这样一点：为了促进教学研究的深入，除去积极的教学实践与认真总结和反思以外，我们也应十分重视理论（包括其他人的研究成果）的學习，从而努力拓宽自身的眼界，并能达到一定的深度。

刘善娜老师这一文章最基本的一个立足点，就是我们的全部工作包括教学实践与教学研究都不应脱离如何能够很好地落实数学教育目标这一思考，特别是除去数学基础知识与基本技能的学习以外，我们也应通过数学教学努力促进学生思维的发展，很好地提升他们的思维品质。对此由文中所提及的“指向思维发展的探究性作业”这一新的定位就可以清楚地看出。另外，笔者以为，也只有从同一角度进行分析，我们才能更好地理解她在这方面所提出的这样一些建议的重要性，也即教学中我们应当切实抓好这样一些环节：“画数学”“说数学”——思维过程的显性化;“做数学”——以做促思;“联数学”——“让思维能力在融会贯通中进阶”，实现思维的深刻化。以下从理论角度对此做出进一步的分析。

第一，对于“画数学”的强调显然与刘善娜老师在先前所从事的另一项“实践性研究”，即“把数学画出来”[3]具有直接的联系。依据所谓的“多元表征理论”，我们对此有更好的认识，包括为什么要同时强调“说数学”，乃至积极鼓励学生“动手实践”。

第二，所谓的“联数学”，则直接涉及由“局部性思考”向“整体性观念”的过渡。因为只有用联系的观点看待事物和现象，我们才可能超出各个具体对象建立起整体性的认识，从而达到相当的认识深度，包括建立结构性的认识。

第三，“做数学”可以被看成是特别重要的一个环节。当然，对于所说的“做”，我们应做广义的理解，即不应局限于简单意义上的“动手实践”，而应包括“做（数学）作业”或“（数学）问题解决”，以及更高层次的“数学应用”。但是，无论所涉及的究竟是哪种数学活动，我们都应当坚持这样一个立场，即不应“为做数学而做数学”，而应通过“做数学”努力促进学生积极地进行思考，从而实现认识的不断发展，特别是必要的优化。还应强调的是，如何真正做到“以做促思”，这或许也可被看成是数学教学的难点之一。

依据上述分析，相信读者也可以很好地理解笔者关于如何判断一堂数学课成功与否的建议：无论这是一堂什么样的数学课，所涉及的是什么内容，也无论教师在其中采取了什么样的教学方法或教学形式，如果相关教学未能促进学生积极、深入地进行思考，它就不能被看成是一堂真正的好课。进而，从同一角度我们也可以更好地理解刘善娜老师在文中提到的探究性作业的“三个特征”，即关于如何从事探究性作业教学的三个建议：（1）突出问题导向;（2）强调问题解决过程;（3）重视问题解决结果的呈现。所说的“问题导向”（“问题引领”）和“将内隐的思考过程显性化表达”显然都具有超出“探究性作业”这一特定论题的普遍意义，包括我们为什么应当特别重视“整体性观念”的指导。当然，在此也有进一步研究的必要。例如，如果我们所关注的仅仅是“问题解决结果的呈现”，就具有较大的局限性，甚至可被直接归属于“说数学”这样一个范围;与此相对照，我们在教学中应当更加强调“过程与结果”的回顾、总结与反思，包括必要的比较与分析，因为，正如前面所提及的，这不仅可以被看成是由单纯的“做”过渡到“思”、由“具体的数学思想或解题策略”上升到“一般性思维策略与思维品质”的关键，也十分有益于提升学生在这一方面的自觉性。

更一般地说，我们还应深入地思考这样一个问题：什么可以被看成是我们做好数学教学的关键？无论是所谓的“探究性作业”（更准确地说，应是“作业教学”）或“整体的视角”，包括“问题引领”，事实上都可被看成是数学教学最重要的一些环节或关键。而正如上述分析所表明的，即使我们仅仅关注“探究性作业的设计与实施”，也仍然可以由相关思考获得重要的启示，包括很好地弄清进一步工作的方向。当然，从更深入的角度看，所有这些又都离不开我们关于数学教育基本目标的思考，特别是数学教育应当努力促进学生思维的发展这样一个基本的立足点。由于后者正是“数学深度教学”的核心[4]，这也就可以被看成为深入开展各方面研究提供了重要的理论框架。不难想到，这事实上也可以被看成是充分发挥“整体的视角”指导作用的又一实例！

参考文献：

[1]刘善娜.单元整体视角下小学数学探究性作业的设计[J].教学月刊·小学版（数学），2021（10）.

[2]刘善娜.这样的数学作业有意思：小学数学探究性作业设计与实施[M].北京：教育科学出版社，2016.

[3]刘善娜.把数学画出来：小学画数学教学实践手册[M].北京：教育科学出版社，2019.

[4]郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

（南京大学哲学系   210093）