利用数学语言构建数学模型

莫筱晖

【摘   要】数学语言是一种简洁而精确的抽象语言。构建数学模型是用数学语言进行概括和抽象的过程。利用数学语言构建数学模型，有助于学生通过文字、图形、符号等方式精确表征、合理应用、融会贯通。

【关键词】数学语言;数学模型

弗赖登塔尔说过：“当思想能被直观地描述时，马虎的语言是能被接受的。但是，一件事越抽象，离直观越远，就越需要用仔细的语言来描述。”数学语言是一种简洁而精确的抽象语言，它为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式，让人们能够清晰而有效地研究世界中的数学问题。

数学语言在构建数学模型中的作用尤为突出。笔者以人教版四年级下册《乘法分配律》新授课为例，谈谈用数学语言构建乘法分配律模型的过程，引导学生利用数学语言表征现实世界，构建数学模型并利用模型贯通知识等，从而加深对乘法分配律的理解与应用。

【课例回顾】

一、以形助数，探究问题——使用数学语言

数学语言是学生在课堂上最直接的思维表达方式，也是提升学生问题解决能力及抽象能力的有效方法。因此在课堂上，教师应适时激活学生的生活经验和知识经验，引导学生用规范的数学语言表达与解决问题。

1.数形结合，提取信息

师：前段时间很多同学参加了学校组织的“诗画校园”书画比赛，这是四、五年级现场书法比赛的座位分布图，你有什么发现？（教师课件呈现座位分布图，如图1）

生：我发现有很多人参加现场书法比赛。

生：我发现五年级参加的人数比四年级多。

生：我发现每一列的人数是一样的。

生：我发现每一列坐了12人。

生：我知道四年级的人数，也知道五年级的人数，总人数也可以知道。

……

师：同学们在这张座位表上发现了很多信息，那么你能不能用数学的表达方式表述这些信息，并且提出一个数学问题呢？

生：每一列坐12名学生，四年级坐了5列，五年级坐了6列。参加比赛的四、五年级学生一共有多少人？

师：我们在图中发现了不少信息，也能根据需要提取有用的信息，提出数学问题。（教师课件呈现图2）

（设计意图：座位分布图是常见的图式，学生相对来说比较熟悉。让学生根据图片找信息，其实就是培养学生提取信息的能力。而在信息提取中，学生通过优化，用“每列12人”“有多少列”这样的语言更为规范地表达并且提出数学问题。这个过程其实就是学生将日常语言转化为数学语言的过程。虽然仍是文字表述，但去除多余信息，提取有用信息后，就是数学语言的最初形态。）

2.探究问题，精炼语言

师：那么四、五年级究竟有多少名同学参加了现场书法比赛呢？请你用自己的方法来解决。

学生出示两种解题方法：①（5+6）×12 ;② 5×12+6×12。

师：虽然用这两种方法都求出了四、五年级学生参加现场书法比赛的人数，但是它们的思考方法一样吗？

生：第①种方法是先求出一共有多少列，然后乘以每列12人，就求出了总人数。第②种方法是先求出四年级有多少人，再求出五年級有多少人，最后求总人数。

师：是的，这位同学已经发现了两种方法的不同之处。那么谁能说得更清楚，更明白些呢？

生：第①种方法是先求出一共有几列，然后用列数乘一列的人数，再求出总人数。第②种方法是先分别求出四年级和五年级的学生数，再求总人数。

生：我可以用两个数量关系式来表示两种不同的方法。①（四年级5列+五年级6列）×一列12人=总人数;②四年级5列×一列12人+五年级6列×一列12人=总人数。

师：那么这两种方法有什么相同的地方吗？

生：它们都是求四、五年级学生参加现场书法比赛的总人数。

生：我们也可以这样想，5个12+6个12，那其实就是11个12，所以这两个算式肯定是相等的，（5+6）×12=5×12+6×12。

（设计意图：在分析两种方法的过程中，学生既能从具体的情境中区分不同的思考方法，也能从乘法的意义中找到两种方法的共同点，这样就能让学生在实际应用中逐渐构建乘法分配律的模型。同时，从文字语言的理解到数量关系式的转化，也说明学生在应用数学语言表征研究对象上有所进步。）

二、举例验证，构建模型——切换数学语言

在构建模型的过程中，教师要引导学生运用已有的知识及经验提出猜想，并通过举例、证明等方法来验证自己的猜想。在这个过程中学生运用不同的数学语言进行表达，提高了判断的准确性。

1.猜想验证，模型初显

师：像这样（5+6）×12=5×12+6×12的式子，你觉得还有吗？

（学生猜想另外的等式并且举例）

师：这几组式子中的每一组都相等吗？你能用自己的方式进行验证吗？

生：我对左右两边的式子都进行了计算，发现答案是一样的，所以左右两边是相等的。

生：我用（5+6）×12=5×12+6×12举例，左边是11个12，右边是5个12加6个12正好就是11个12，所以是相等的。

师：是的，有的同学通过计算、比较后发现左右两边的式子相等，也有的同学通过乘法的意义，发现了这一结果。

（设计意图：在这一环节中，教师鼓励学生大胆猜想，找到具有相同类型的式子，并在猜想后进行验证，由个例逐步推向共性。在这样的操作过程中，学生用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达。不断举例的过程也正是一步步构建乘法分配律的数学模型的过程。）

2.归纳小结，模型构建

师：观察同学们提到的这几组算式，大家有没有发现更多的联系呢？

生：我发现这些式子的左边都是用两个数的和去乘一个数，式子的右边正好是用这两个数分别去乘同一个数，再相加。

师：是的，这就是我们今天要研究的乘法分配律。你能用自己喜欢的方式来说明究竟什么是乘法分配律吗？

（学生以小组为单位进行探讨，之后交流汇报）

生：乘法分配律就是指一个数乘两个加数的和，可以把这个数与两个加数相乘再相加。

生：我们把算式中的数字用图形来替代，可以这样表示：☆×（□+○）=☆×□+☆×○。

生：因为前面学习过的运算定律都可以用字母表示，所以我们觉得乘法分配律也可以用字母来简洁地表示：a×（b+c）=a×b+a×c。

（设计意图：在本环节中，学生对运算规律有一定的想法，并能用文字进行解释，说明他们对乘法分配律的算理已有一定的了解。而以小组为单位对规律进行归纳总结，其实就是让学生将头脑中的想法通过数学语言进行表达，无论是文字表达，还是图形或者符号表达，都是学生用数学语言构建乘法分配律模型的过程。在这个过程中，学生既感受到数学语言的简洁与精确，也体会到数学模型的概括与抽象。）

三、融会贯通，拓展思维——应用数学语言

构建模型的目的是为了更好地应用，但如果只是对照模型进行“形”上的变化，就会流于表面。因此，在课堂中教师应当引导学生全方位、多角度思考问题，利用数学语言进行知识的迁移和内化，达到融会贯通的目的。

师：同学们，接下去我们以小组为单位，完成下面学习材料中的题目（如图3）。

（学生小组合作解题）

师：同学们发现什么了吗？

生：我们组在解答第1题的时候发现，可以用两种方法计算长方形的周长，可以是（5+3）×2，也可以是5×2+3×2，这和今天学习的乘法分配律其实是一样的。

生：我们组在研究第2题的时候发现，要求这块菜地的面积，可以先算原来的面积，再算新加的面积，也就是5×3+5×5。也可以先求出这块新菜地的长是3+5=8（米），再利用长×宽来求。

生：第2题的算法也就是5×3+5×5=（3+5）×5，这和乘法分配律也是一样的。

师：同学们观察得真仔细，第1题和第2题虽然是在求长方形的周长和面积，但大家都和今天学习的乘法分配律进行了联系。

（设计意图：通过对材料中的前两题求解和分析，学生能够感知到原先用来解决长方形周长和面积的方法也同样可以用乘法分配律来进行解释。在这一过程中，学生对于乘法分配律的理解进一步加深。而当他们对比两种方法，寻求其中的共同点时，借助了乘法分配律的模型，应用了数学语言，贯通了前后知识间的联系。）

教师接着出示第3题的解法（如图4）。

师：同学们，老师发现第3题大家都采用了这样的方法，这是我们三年级就已经学过的笔算乘法。这和我们今天学习的知识又有什么联系呢？

生：我们觉得这个竖式计算就是乘法分配律。

生：我们可以把竖式分开来看。先用12中个位的2去乘15，得到30，然后用十位中的1去乘15，得到15，加起来就是180，就是乘法分配律。

师：谁听明白这组同学的分析了？

生：他们的意思就是15×12=15×（2+10），这就体现了我們刚才学的乘法分配律。

（教师根据学生的回答，出示图5）

师：原来笔算乘法中也渗透了我们今天学习的乘法分配律的相关知识哦。

（设计意图：数学的学习不能脱离实际，乘法分配律的学习从解决实际问题中进行抽象，最后回到解决实际问题中去。在这个过程中，学生既要学着将日常语言转化成数学语言，也要将数学语言转化为日常语言。）

【课后反思】

一、在日常语言与数学语言的转换中精准表征

在数与代数的教学中，无论是数的运算还是数量关系，都具有结果的唯一性，这种唯一性要求教师在教学中对学生的语言进行规范，从模糊的日常语言进化到准确的数学语言。因此，教师应当激发学生潜在的生活经验和知识，让他们将生活中的数学信息提取出来，逐步用数学的语言进行表达。课堂上，教师创设了学生熟悉的“诗画校园”情境，让学生将生活中的数学信息提取出来，通过数学语言进行表达。而这种表达，也为后续乘法分配律模型的建立奠定了基础。

二、在不同数学语言转换中逐步建立数学模型

数学模型的建立，不是靠一个算式或一个具体例子，而是需要经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程。因此，在数学模型建立的过程中，教师需要引导学生根据已有的知识或者自身的经验，运用文字、图形、符号等多种数学语言进行猜想并验证。

在乘法分配律模型建立的过程中，学生从生活问题入手，通过文字语言初步感知乘法分配律模型的“形”;利用图形、符号等数学语言进行抽象概括，进一步感知乘法分配律模型的“质”。在这一过程中学生不断转换各种数学语言，提升了自主探究和实践的能力。

三、在数学语言模型的构建中融会贯通

乘法分配律在实际计算中运用非常广泛，无论是直接运用，还是逆运用以及变式运用，借助数学语言的表达，都让学生有更深的认识。在长方形周长、面积计算和笔算乘法的再认识中，学生能清楚地感知虽然在课堂中是第一次阐述这一定律，但其实在以往的学习中已经无形地接触到了相关的知识。而这种知识的迁移、贯通正是在数学语言的表述中逐渐丰满、立体起来的。

使用数学语言，能够让学生将问题转换成可以触碰感知的文字、图形和符号等，在不断转换中建立模型、应用模型。然而，数学语言的培养不是一两堂课就能完成的，只有让学生在学习过程中不断运用数学语言进行表达，才能让他们的思维真正有深度，让数学真正发挥它应有的价值。

参考文献：

[1]孙晓天，邢佳立.中国义务教育：基于核心素养的数学课程目标体系：孙晓天教授访谈录[J].教学月刊·小学版（数学），2021（11）.

（浙江省杭州市江南实验学校教育集团滨兴学校310056）