不仅“为了生活”

郜舒竹

长期以来，数学课程内容表现出的特点是“高度的抽象性、严谨的逻辑性与准确性、广泛的应用性”，这使得数学成为枯燥、难学与难教的同义语。针对此，人们对数学课程与教学的认识逐渐出现了“生活化”的倾向。教科书与课堂教学中充满了与物质生活息息相关的内容，“为了生活”而学的说法愈发盛行。熟悉的生活情境对于学生的认知是必要的，但并非是充分的。在“素养导向、育人为本”理念的指导下，数学课程与教学还需要让学生体验并感悟精神生活的“人文性（Humanity）”。而對“美（Beauty）”的鉴赏与创造，是人文性的重要方面。

在数学发展的历史中，很多的研究及其成果并非为了满足物质生活的需求与应用，而是数学家对美的鉴赏与创造，是精神世界的追求与获得，是人心智中情感的力量。如果说数学的“逻辑（Logic）”强调概念、判断和推理，是对“真（Truth）”的追求，那么对美的鉴赏与创造则指向人“情感（Sensibility）”的愉悦。不仅如此，它还对数学研究过程与结果的选择、评价、生成具有导向作用，对唤起进一步研究的动机有促进作用。20世纪英国数学大师戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）在《一位数学家的辩白》一书中说：“一个数学家，就像一个画家或诗人，是‘模式（Pattern）’的制造者。这样的模式之所以能够持久，因为它是由‘想法（Idea）’构成的模式……数学的模式，就像图画和诗歌，必须是美的。想法，就像图画中的颜色或诗歌中的文字，必须以和谐的方式‘契合（Fitting Together）’。”

哈代把数学的美视为“想法的契合”，这与苏格兰哲学之父弗兰西斯·哈奇森 （Francis Hutcheson，1694—1746）所描绘的美的标准相近，哈奇森认为一切的美都蕴含着“异中之同（Uniformity amidst Variety）”。繁杂中的一致、运动与变化中的不变等，都可以认为是“异中之同”，就像衣服穿在人身上如果很合适，那么身体与衣服二者就是和谐的契合，就显得美，因为身体与衣服的相关部分存在着诸多的异中之同。

当然，哈代所说的契合的对象是非物质的，是心智中已有或生成的想法。那么这样和谐的契合具体会表现为什么形式？大卫·威尔（David Well）对一些数学家的调查结果显示，普遍认同的数学美的表现形式是简单（Simplicity）、清晰（Brevity）和意外（Unexpected）。

比如，用加的想法计算“1+3+5”，得到的结果是“9”，而用乘的想法知道“9=[3×3]”。两个想法建立起联系，成为一个模式：1+3+5=[3×3]。这就是两个想法的契合。如果画出包含9个小方格的正方形，方格总数是[3×3]（如图1）。自下而上看，方格总数是“1+3+5”，与[3×3]在一张图中完美地契合，给人带来简单、清晰和意外的感觉，同时人们还会产生进一步探究连续奇数求和的动机。关于数学美的表现形式的认识与表述存在着主观的差异性，比如还有“意外的简单和必然（Unexpected Simplicity and Inevitability）”，以及“最小的完备和最大的适用（Minimal completeness/Maximal applicability）”等说法。

总之，对数学之美的鉴赏不仅是视觉的感受，更是思维与情感相互作用的过程与结果，给人带来的是情感的体验、愉悦和满足，会进一步促进思维活动的发展。学数学不仅是为了掌握生活的技能，更是为了体验精神世界的人文性。将美的元素融入数学课程内容与教学，让学生有机会鉴赏、创造数学的美，努力实现数学教学过程中“智育”与“美育”的融合，这应成为新时代数学课程与教学的目标之一。

（首都师范大学初等教育学院   100048）