理解、转化、建构

来晓春

【摘   要】数学语言是由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组成的科学语言。“会用数学的语言表达现实世界”是数学核心素养之一，所以数学语言的培养应该是所有数学教育者的关注点。在教学中，教师可以借助情境设置、体验经历、模型建构等策略，帮助学生理解、转化、建构数学语言。

【关键词】数学语言;核心素养;发展

数学语言与数学教学、研究应用有着紧密的关系。数学是人们与世界进行沟通的主要桥梁之一，发展学生的数学语言对于提升学生的核心素养有着重要价值。数学语言可以通过符号、图形、文字等表现形式将复杂的数学规律、数学内涵、运算过程等表达出来，不同形式的数学语言具有不同的优势。

数学语言是数学思维的载体。数学抽象需要通过数学语言表现出来，各种数量关系也需要通过数学语言表达出来。在问题的思考、解决过程中，首先需要借助数学语言来反映各种数学原理和意义，然后建立解决问题的模型。在数学语言初步发展的小学阶段，有必要围绕教学中如何发展学生的数学语言素养进行探索。

一、设置情境，促进数学语言理解

学生在正式学习数学之前，很难用简洁、标准的语言去表达生活中的数学现象、数学关系。因此在数学教学初始，教师要创设贴近学生现实生活的情境，或用数形结合的方式帮助学生慢慢学习数学表达方式，掌握数学表达工具，逐步提升数学语言的表达能力。

（一）创设生活情境，感知数学语言

初入学校学习的小学生在很多方面并不是一张白纸，他们在生活中已积累一定的表达经验，也能用自己的生活语言表达各种现象和关系。因此在教学中，可以设置贴近学生生活的情境，唤起学生的经验，使学生在生活语言的表达中，感悟意思相同但形式不同的数学语言，在不知不觉中接纳新语言。

【案例1】人教版教材一年级上册“解决问题”

教师出示教材第97页例5图片，并提问：请同学们仔细观察，你们找到了哪些信息？

生：男生有9人，女生有6人。

生：前排有7人，后排有8人。

生：要求计算一共有多少小朋友在表演。

师：根据你们的发现，能列算式解决这个问题吗？

生：9+6=15（人）。

生：7+8=15（人）。

師：你们能不能用画图的方式来解释自己的计算方法？

（学生操作）

教师引导学生先观察情境，口头表达图片的内容，然后用9+6和7+8介绍问题解决的两种思路，用算式解释他们观察和思考的角度。之后，教师又通过追问“能不能用画图的方式来解释自己的计算方法”，引导学生进行多样的表达。学生有的用人形图，有的用三角形、圆形、正方形替代小朋友……在这个过程中，学生体会到数学学习既可以根据具体的情境列出算式，即抽象出计算方法，也可以根据抽象的算式用图形表达算式的意义，还可以借助图形进一步表达“拆小数、补大数”等凑整计算思路。学生不仅学会用规范的语言文字表达算式的意思，也学会用图形、符号表达自己的理解，这为学生数学语言的提升奠定了坚实的基础。

（二）数形结合，理解数学语言

我们通常所说的数形结合，其实就是让学生借助图形和符号这两种不同的数学语言进一步理解概念或者规律。常见的办法是用学生比较熟悉的物体和图形，帮助他们逐步理解一些抽象的数和关系，或者把抽象的数和关系用图形表示出来，让学生在数和形之间建立有效联系，理解多样的数学语言表达方式。

【案例2】人教版教材二年级上册“乘法的初步认识”

教师出示教材第48页例2图片，并提问：同学们，请观察图上的信息，你想到用哪些方法来解决这个问题？

生：我想到用乘法，可以用3×5来计算。

生：我想到用加法，可以用5+5+5来计算。

生：我也想到用乘法，不过我用5×3来计算。

师：这些不同的方法之间有没有相同的地方？

生：都是求3个5的和是多少。

师（小结）：是的。虽然算式不同，但它们背后的道理都是一样的。（借助课件再次回顾算理）

教师出示算式6×4并提问：你能用画图来表示这个算式的意思吗？

（学生画图，之后交流展示）

在学生能够借助图形理解算式的意义并能用算式来表示后，教师进行逆向设计，出示6×4，请学生用画图来表示。学生用画图表示算式意义的过程就是再一次丰富对乘法意义理解的过程。在这样的过程中，学生对数学语言更加熟悉，对数学语言表达的工具更加了解。这一过程就是培养学生学会“用数学的语言表达现实世界”的过程。

二、借助体验，实现数学语言转化

对于不同数学语言之间的转化，教师要给学生提供充足的时间去经历和体验，以积累运用不同语言表达同一事物或者同一意义的经验。教师可以通过设计有趣的活动，提升学生的学习动力，促使学生用不同的方式表达理解，在活动中积累、感悟数学语言，并在不同的数学语言之间主动求联。

（一）任务驱动，表达数学语言

任务驱动最主要的特征就是为学生提供体验实践和感悟问题的情境，教师通过设置合理的任务，驱动学生学习。学生往往会主动调用自身知识存储来解决问题，并用精准的语言进行表达。这是发展学生数学语言所追求的理想状态。

【案例3】人教版教材五年级上册“平面图形面积复习”

教师出示图1，请学生计算这些图形的面积。学生快速口答后，教师追问：你们怎么能算得这么快？

我们通常提倡在复习课始，以具体的、有思考性的任务，驱动学生进入学习状态，这节课也不例外。以几次简单的图形面积计算迅速唤醒学生的原有知识储备，让学生在反馈计算结果的过程中表达长方形、平行四边形、三角形和梯形的计算方法，为学生数学语言的发展提供机会。学生有的用语言文字表达，有的用符号公式表达，将文字语言和符号语言建立起对应关系。任务驱动，不仅可以在不知不觉中唤起学生对知识的回顾，还可以让学生主动用不同语言对应同一知识。

（二）合作讨论，转化数学语言

在日常教学中，学生或根据要求使用某种数学语言进行表达，或根据自己的喜好进行表达，但要切实提升学生数学语言的转化能力，还需要教师在教学中多安排有任务的合作讨论，以此促进学生树立数学语言转化的意识。如在异质的小组合作学习中，面对同一问题，组内常常会出现不同的数学语言表达方式。学生在相对放松的探讨环境中，对不同的数学语言表达自主地进行分析思考，自觉地进行不同语言之间的求联比较。

【案例4】人教版教材四年级上册“寻找宝藏实践活动”

“寻找宝藏实践活动”共分三个环节。第一环节：在教师的引导下，用已经学过的方位知识在教室里“寻宝”。第二环节：采用小组合作探究的形式，在会场内“寻宝”。第三环节：同样采用小组合作探究的形式，到校园里“寻宝”。以下内容选自该课的第二环节。

教师在大屏幕上出示提示内容（如图2），并提出活动要求：请你根据锦囊中提供的线索寻找宝物。学生先在小组内讨论交流“寻宝”的方法，然后两人一组到会场中“寻找宝物”，最后教师请学生分别在组内及班内介绍自己的寻宝过程。

学生根据方位提示，首先需要共同商讨宝物可能会在哪里，并利用文字语言进行转换、推理与判断。接着需要去指定地点寻找宝物，把图表文字转化成真实的寻宝过程。最后需要运用方位语言对寻宝过程进行介绍。这个活动让学生不断在文字语言、方位语言、生活语言之间进行自主转换，在空间观念发展的同时，提高了数学语言表达能力。

三、依托建构，增强数学语言应用

（一）模型建构，抽象数学语言

数学源于生活又高于生活。教师要善于设置生活场景，引导学生在生活场景中观察、思考、发现数学关系，用不同的数学语言表达问题解决过程中的思维，并通过不断抽象，用简洁的数学语言建构解决问题的模型。

【案例5】人教版教材四年级下册“解决两积之和问题”

教师出示问题，学生独立解决后，教师在屏幕上呈现问题解决的过程、结果以及每一道题目中的数量关系（如图3）。

师：刚才解决了这些問题，谁能说说你是怎么思考的？

生：买苹果的钱+买梨的钱就是一共的价钱。

生：师傅加工的零件+徒弟加工的零件就是一共的零件。

生：小明行的路程+小红行的路程就是两家相距的路程。

生：红长方形的面积+黄长方形的面积就是总面积。

师：这些方法之间有没有什么相同的地方？同桌可以交流一下。

生：它们都是先算乘法，再算加法。

生：它们都是把两部分加起来。

生：它们都是先算出两个数的积，再算两个数的和。

生：这几道题都可以写成a×b+c×d=n的形式。

……

师：像这样先算两个数的积，再求和的问题，我们称之为两积之和问题。

在上面的教学环节中，学生经历了两次模型建构的过程。首先是针对四道不同类型的问题，学生用算式将自己的思维过程表达出来。其次是当四类问题的结构都分别提炼表达之后，教师引导学生寻找它们之间的共性，鼓励学生继续建构“两积之和”模型。建模的过程本身就是逐步抽象的过程，当学生能够用a×b+c×d=n这样的数学语言建立问题的模型结构时，其对两积之和问题本质的理解以及数学语言的应用水平都已经达到一个新的高度。

（二）模型应用，互译数学语言

美国数学家Sylvester曾说过，“数学就像音乐一样，要想弹奏出完美的乐曲需要运用不同的音乐符号，而数学思维就是运用数学符号组成的数学语言，这些数学符号可以是流传至今的，也可以是后人重新定义的”。因此，教师不仅要在模型建构过程中让学生体验数学语言的转化关系，也可以在模型应用的过程中让学生感悟由不同数学符号组成的数学语言所体现的数学思维之美。

【案例6】人教版教材三年级上册“用乘除法解决问题”

教师出示图4，并提问：请同学们观察一下，这两种方法有什么相同或不同的地方？

生：一个用乘法，一个用除法。

生：一个用一格大小乘几格求总数，另一个用总数除以一格大小求格数。

……

（课件移动，把正方形图落下来变成线段图，如图5）

师：请你们想一想，这里的一格还可以表示什么？

生：一支钢笔的价格。

生：一包牛奶的价格。

……

师：你们能根据这两幅图来编写两道题目吗？

（学生编题）

教师首先让学生根据图4的要求对图形进行说理、推理，逐渐抽象出“先求一格大小，再求几格大小”的模型，通过迁移学习再得到“先求一格大小，再求有几格”的模型。接着引导学生想象，每一格可以表示怎样的每份数，不断丰富每份数的表征，直至将图形表达的关系抽象成图5中的文字表述，并尝试让学生进行编题，从而有效迁移应用模型。通过这样的拓展练习，学生找到了图式模型背后的数量关系，并用不同情境的语言表述这类问题，从而真正掌握了这类问题的本质。

数学语言不仅是认识世界、表达对世界理解的重要工具，更是课堂中师生对话沟通的载体。当学生能用数学语言来表达自己思维、理解不同数学语言之间妙处的时候，思维的碰撞就如同完美乐曲的弹奏。当然，这样的期盼有待于我们在日常课堂中研究落实。

（浙江省杭州市高新技术产业开发区滨江教育研究院 310053）