“正多边形与圆”关系的探究与思考

陈莉

“正多边形与圆”是人教版九年级上册第二十四章第三节的教学内容，教材中有一道练习题：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明理由；如果不是，举出反例。

案例呈现

近期，笔者观摩了两节“正多边形与圆”相关教学内容的校级公开课，现就呈现探究这道习题的两个教学片段。

教学片段1：教师出示练习题，学生独立思考后回答。

生1：各边相等的圆内接多边形是正多边形，因为各边相等可以推出弧相等，由弧相等可以推出圆周角相等，即这个内接多边形的各角也相等，所以它是一个正多边形。

（师生对学生1的回答表示认同）

生2：各角相等的圆内接多边形也是正多边形，因为正多边形各角相等，对于外接圆而言就是圆周角相等，由圆周角相等也可以推出弧相等，由弧相等则可进一步推出弦相等，所以多边形各边相等，因此它是一个正多边形。

师：对这个问题，同学们有不同的意见吗？

生3：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形，它的各角都是直角，但它不是正多边形。

师：矩形是同学们熟悉的平面几何图形，本节课我们复习正多边形定义时，就已给出判断：矩形不是正多边形。通过这个反例，说明了各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形。

教学片段2：学生对“各边相等的圆内接多边形是正多边形”这一结论的判断与教学片段1相同，这里重点呈现“各角相等的圆内接多边形是正多边形吗”的讨论。

师：各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？

（学生纷纷表示“是”，教师请学生说明理由）

生1：（该生的判断和理由与教学片段1中的学生2一致）。

教师追问：那矩形呢？它各角相等，各边也相等吗？

生2：首先，矩形是个反例。其次，即使这个图形不是矩形，它也可能各角相等但不是正多边形，比如一个正多边形的一个顶点往左移一点或往右移一点，它的角度没有改变，但它的各边就不相等了。

（教师肯定了生2不仅想到特殊的反例矩形，还想寻找一般的反例，并试图画出生2所说的一般反例图形，但没有成功）。

生3：如果顶点移动，这个角的度数没有发生改变，但左右相邻两个角的度数改变了，这个多边形就不满足各角相等的条件了。

师：目前看来只有矩形能证明这个命题为假命题。

发现问题、提出问题

结合这两个教学片段及课下的调研，笔者了解到，对“各角相等的圆内接多边形是正多边形”这一问题，教师的预设是学生举出矩形作为反例说明结论错误即可。但课堂教学是一个动态的、不断建构生成的过程，往往会生发出一些值得思考、有价值的问题。在这两节课中，学生的表现超出了教师的預设，不仅类比“各边相等”的思路进行“各角相等”条件下的推理，还思考除矩形之外的其他反例图形。学生的活跃思维不禁促使笔者思考如下问题：各边相等、各角相等，由圆的知识可以推出弧相等，为什么由“各边相等”能得到圆内接正多边形的结论，而“各角相等”却不能得到？学生思维的漏洞在哪里？“各角都相等的圆内接多边形是正多边形”的反例只有矩形吗？还有没有其他的反例？

分析问题、解决问题

学生错误原因的分析。这道习题一般是在探究了“正多边形与圆”的关系后让学生练习，借助圆的知识对正多边形进行判定，进一步体会“正多边形与圆”的关系的内在规律。以正五边形为例，在探究正多边形与圆的关系过程中，学生经历了由弧相等推弦相等、圆周角相等，从而得出多边形各边相等、各角相等，对圆中弧、弦、圆周角之间的相互转化，学生已经有了一定的基础。既然能由各边相等推弧相等，从而得到正多边形的结论，那么由各角相等推弧相等，得到正多边形的结论，是学生经验的迁移，学生认为合理且正确。尽管用矩形的反例，说明了“各角相等的圆内接多边形是正多边形”这一结论错误，但学生并不知道自己推理中的漏洞在哪里。

教学反思

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要让学生“发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力”。教师经常鼓励学生在学习中发现问题，提出问题，其实，教师自己在教学中发现问题、提出问题和解决问题也很重要，有问题驱动的教学，引导学生的思考才会更深入。主动研究与学习，能让教师的知识如源头活水常备常新，在教学中游刃有余，更好地指导学生。如果教师自身就是“求索者”“好奇心的激发者”，那他也一定可以成为学生善于发现与提出问题、分析与解决问题的“引领者”。

责任编辑/杨亮亮