后进生使用画图解决分数乘除法问题的教学探讨

陈梓莹

一、问题的提出

《课程标准》中强调教师应当注重发展学生的几何直观的核心素养，引导学生借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明形象。因此在教学过程中，教师会根据题目特点引导学生使用画图的方法来帮助解决问题，画图对于学生解决问题确实有不同程度的帮助。班上大部分学生能掌握画图解决分数乘除问题的方法，但部分后进生的学习效果不佳。如果我们能根据学生落后的现象找到其落后的症状和原因，然后依此对症下药进行指导，是可以进步并且转化为优秀生。对此下面以测试题的方式进行实证研究。目的是找到后进生使用画图解题得分不理想的原因，再按照实际认知水平和数学能力制定合适的画图解题教学策略，实现班级内学生画图解题能力水平差异减少、整体提升的目标。研究对象为同一任教老师的两个水平相当班级中，在学校组织的规模较大的考试中总分都在本班后5名，同年級后10%范围内的学生。下面主要以戴再平教授的错因分析理论为基础进行质性分析。测试题总共分为3个部分，第1、2题是单位“1”已知，第3、4题是单位“1”未知，第5、6题考察对应量和对应分率关系。

二、画图解决分数乘法问题

第1、2题都是分数乘法中最基本的题型，本质都是给出一个数比另一个数多（少）多少，求另一个数是多少。学生需要先找出单位“1”，然后根据分数单位确定单位“1”的对应线段数，再根据“多”或“少”的关系画出另外一个量，最后综合图和题意列式解答。笔者分析学生第1、2题的答题情况，发现学生基本上都倾向用数量关系列式解答，并没有通过画图来解决问题。通过分析发现后进生不能正确作图的原因主要是：对量的概念和量的比较关系认知混乱。

1.学生对量的概念认知混乱

某学生作图部分出错但还是能借助数量关系列式正确地解决问题。线段图中单位“1”的份数是正确的，但是该生却标记多出部分为单位“1”，属于知识性错误。该生对单位“1”的概念理解不清，不知道单位“1”就是总量。这类学生具备从题目中辨别出单位“1”对应线段数的能力，但对具体的量以及关系还是不清晰。因此，我们在教学中应当再次强调，分数单位是单位“1”的线段数，另一个量是它的比较量，题目中多（少）的量是分率，这个数的分子也就是分数单位的个数，是比单位“1”“突”出来（“缩”进去）的段数。

2.对量的比较关系把握不到位

某学生能正确表示出单位“1”的份数，也能明白“少 5/6”是没有的意思，要用虚线表示，但是对于“少”的比较关系理解不到位，属于逻辑性错误。这类学生不理解量之间的比较关系，这里的少是与单位“1”相比较而言，单位“1”的分数单位为6，得知总共有6份，所以“少 5/6”就是比单位“1”少5份，应该是6-5=1（份），所以这个量是 1/6。或者从分数减法的角度来解释，比“1”少 5/6，即1- 5/6= 1/6。因为该生在这个知识点存在逻辑性错误，所以在完成第2题“多 5/6”时，也是犯同样的错误，没有弄清楚量之间的逻辑关系。这类学生已经大致上能够理解作图的步骤和注意点，但是对量的比较关系没有掌握，因此要多次强调，比较量就是和单位“1”作比较，“多”对应“+”，“少”对应“-”，根据比较关系得到的计算结果才是比较量。

三、使用画图解决分数除法问题

第3、4题和第1、2题是对照组，3、4题是单位“1”未知，1、2题是单位“1”已知，目的要让学生在做题中更容易地发现它们的异同点和作图规律，也为后面的教学讲解作铺垫。第5、6题是专门考察后进生使用画图解决“对应量对应分率=单位‘1’”问题的效果。

分析第3、4题的作答情况得知，大部分学生选择使用数量关系来列式解决，并且都能写出正确的数量关系，但因为无法判断出单位“1”未知要用除法而失分。而画图方面最大问题就是把上个月开支当作单位“1”，说明学生对量的认知不清，错因和分数乘法方面很相似。这两题应用数量关系解决比作图解决的效果更佳。

第5、6题比第3、4题难度要更大，但是后进生在此部分的画图完成度更高。因为需要处理的量少了，关系也简单了。学生只需通过画图找到“已看”和“未看”的对应分率和量，然后代入公式再计算结果即可。后进生作图的难点是要辨别出题目中“36页”对应哪一部分以及对应分数。通过分析发现学生存在对分数概念、对应量和对应分率不理解的问题。

四、改进的教学策略

通过分析发现，对于后进生来说使用画图解决分数乘除法的优势并不大，使用数量关系来引导列式求解更合适。因为后进生的分析、整理数据能力和画图表达能力相对欠缺，而且这部分学生对于分数的意义、辨别量以及量之间关系方面理解不到位，因此使用数量关系更符合他们的认知和能力水平。

但在解决“对应量对应分率=单位‘1’”问题时，使用画图解决的优势则大于列数量关系。因为学生通过画图标记出分率和对应量就可以直观展示对应关系，难度和能力要求相对较低。因此，在教学中先确保学生能理解分数的意义，并且知道要根据分数单位确定总线段数，然后引导学生在线段图中把对应分率表示出来，再根据题意找到对应量，最后代入公式计算。总体而言，教师要因材施教，依据后进生的认知和能力水平决定是否要引导学生使用画图解决问题，不断地反思实践再反思才可以找到更好的教学策略。

【本文系广东省中山市教育科研课题“利用画图提高农村小学生数学解题能力的实践研究”（课题立项号：B2018021）的阶段性研究成果】