数学教学中学生认知与学科特征的 侧重与兼顾

【摘 要】义务教育数学课程标准要求教学内容的呈现应符合学生的认知规律，体现数学学科特征。“完全平方公式”教学案例说明，应结合学情选择教学的侧重点：对于基础一般的学情，教学的开展应偏重学生认知，通过直观感知贴近学生认知，通过适时的反思联系兼顾学科特征;对于基础较好的学情，教学的开展应偏重学科特征，通过理性探究体现学科特征，通过适时的巩固运用兼顾学生认知。

【关键词】学生认知;学科特征;完全平方公式教学

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）19-0037-03

【作者简介】石树伟，江苏省扬州市广陵区教育局教研室（江苏扬州，225000）教研员，正高级教师，江苏省特级教师。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求教学内容的呈现应“符合学生的认知规律，体现数学学科特征”[1]。符合学生认知规律，即教学内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索;体现数学学科特征，即体现数学内容的结构本质和应有的逻辑性、严谨性。

下面，笔者以“完全平方公式”的教学为例，讨论教学实践中如何达成“符合学生的认知规律，体现数学学科特征”的要求。

一、从两个引入方案看学生认知与学科特征的选择

（一）完全平方公式教学的两个引入方案

【方案一】直观发现贴近学生认知

（a+b）2、（a-b）2的几何意义是边长分别为（a+b）、（a-b）的两个正方形的面积。因此，在教学过程中，教师可以构造出两个正方形（见图1），引导学生分别用两种方法计算甲图大正方形和乙图阴影小正方形的面积，从而引入两个完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。

【方案二】特例探究体现学科特征

一般化的多项式乘法法则（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，当字母a、b、c、d有某些特殊关系时，会使公式变为特殊形式。如a=c、b=d时变为完全平方公式，a=c、b= -d时变为平方差公式，因此乘法公式是在一般化的多项式乘法基础上对“特例”的考查。依据以上对乘法公式的数学理解，完全平方公式的引入可以先复习多项式的乘法法则（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，然后引导学生探究它的特殊形式。完全放手让学生探究，学生的结论可能会多种多样，其中包括完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2;然后再利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2，得到（a-b）2=a2-2ab+b2。

（二）从两个引入方案看学生认知与学科特征的选择

方案一通过用两种方法计算正方形面积引入完全平方公式，非常直观、形象，而且有教师的适度引导——“计算面积”“两种方法”，符合学生的认知规律，因而大部分学生都能发现结论，从而快速进入教学主题。此教学方法的不足之处是不能让学生感悟完全平方公式与前后知识的联系，学生学到的是琐碎、零散、点状的知识，无法感受数学知识的整体性。

方案二通过引导学生在一般化的多项式乘法的基础上探究特例，引入完全平方公式。体现了从一般到特殊的思想，渗透“考查特例”是数学研究的“基本套路”，切合知识的发生发展过程和内在的逻辑线索，有利于学生把握知识的来龙去脉，学生学到的是有联系的、结构化的知识，体现了数学的学科特征。此教学方法的不足是从抽象的代数公式到抽象的代数公式，且让学生自主独立探究，对学生的抽象思维能力和创新意识要求较高，不少学生可能难以达成。

通過对以上两种引入方案的分析可以看出，数学教学无论是偏重学生认知还是偏重学科特征，两者之间不存在孰优孰劣的问题。教学时应结合学情选择适合的呈现方式，对于数学基础一般、抽象思维能力较弱的学生来说，教学方案的设计应偏重于符合学生的认知规律;对于数学基础较好、抽象思维能力较强的学生来说，教学方案的设计应偏重于体现数学学科特征。

二、从两个方案的完善看学生认知与学科特征的兼顾

（一）两个方案的完善

【完善后的方案一】直观发现贴近学生认知，反思追根体现学科特征。[2]

1.探索活动：（1）分别用两种方法计算甲图大正方形和乙图阴影小正方形的面积（见上页图1），你有什么发现？（2）你能证明（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2是正确的吗？（3）观察完全平方公式，你能说出这两个公式的结构特点吗？

2.公式应用：（1）用完全平方公式计算（5+3p）2，（2x-7y）2，（-2a-5）2;（2）简便计算982，（100 [12]）2……限于版面，略。

3.课堂小结：（1）完全平方公式有什么特征？如何用语言描述完全平方公式？（2）我们是如何发现完全平方公式的？又是如何证明的？（3）从证明过程看，完全平方公式与多项式乘法法则之间有什么关系？（4）继续研究多项式乘法法则的“特例”，你还有什么发现？

4.课堂检测：当堂训练，当堂反馈。

【完善后的方案二】特例探究体现学科特征，几何表示贴近学生认知。[2]

1.探索活动：（1）前面已经学习了多项式的乘法，你能说说运算法则和运算的依据是什么吗？（2）继续研究多项式乘法（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，你认为它有哪些特殊形式？你能得到哪些新的结论？（3）如何利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2？（4）完全平方公式有什么特征？请你用自己的语言表述。

2.公式应用：与方案一类似，略。

3.几何解释：如果a、b分别表示两个线段的长，则a2、b2分别表示两个相应正方形的面积，你能根据公式形式，自己构造图形表示完全平方公式吗？

4.课堂小结：（1）请你说说公式的结构特点及应用时应注意的问题;（2）今天我们是如何研究完全平方公式的？（3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？

（二）从两个方案的完善看学生认知与学科特征的兼顾

1.直观感知贴近学生认知，反思联系兼顾学科特征。

完善后的方案一通过用两种方法计算正方形面积，直观、形象地引入完全平方公式，符合学生的认知规律;在课堂小结时，引导学生回顾直观发现的结论的证明过程（利用多项式乘法法则推导），进而反思完全平方公式与多项式乘法的关系（特殊与一般的关系），从而体现学科特征。这样教学偏重于学生认知，同时又做到了学生认知与学科特征兼顾。

分析此方案可以看出，对于数学基础一般、抽象思维能力较弱的学生来说，设计教学方案时应以学生认知为重。可以通过学生容易接受的操作感知、联系实际等直观形象手段，呈现新知的发生、发展过程，待新知巩固后，再适时地引入一些反思性问题引导学生感悟新知与其他知识的联系，揭示新知本质及其蕴含的数学思想和方法，从而兼顾学科特征。

2.理性探究体现学科特征，巩固运用兼顾学生认知。

完善后的方案二通过对多项式乘法特例的探究引入完全平方公式，有利于学生充分感悟完全平方公式与多项式乘法之间特殊与一般的关系，体现了数学学科特征;在巩固应用时，引导学生自己构造图形直观、形象地表示完全平方公式，加强了学生对完全平方公式的多元理解，符合学生的认知规律。这样教学偏重于学科特征，同时又做到了学科特征与学生认知兼顾。

分析此方案可以看出，对于数学基础较好、抽象思维能力较强的学生来说，设计教学方案时应以学科特征为重。可以引导学生从新知的“生长点”出发，在一般观念（如一般到特殊、特殊到一般、简单到复杂、几何性质是关于组成要素或相关要素的恒定结论等）的指导下，主动探究新知、感悟知识联系，后通过对新知的巩固运用，引导学生直观感受新知的现实背景或实际应用，加深对新知的直观认识和理解，从而兼顾学生认知。

新课标强调“以生为本，以学定教”，数学教学应从学生的实际学情和未来发展出发，选择适合的教学方法。因此，学生认知和学科特征从根本上来说，应以学生认知为前提和基础，力求做到两者兼顾。

【参考文獻】

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：2.

[2]石树伟.数学课堂教学立意的“层次”“关系”及“提升”——由“完全平方公式”同课异构引发的思考[J].数学教育学报，2013（1）：74-76.