由几个错误看懂初中几何解题

黄志强

摘要：学生的常见错误有以下几个，一是对条件的分析不全面，二是不善于从全局出发处理条件，三是错用滥用三角形全等。分析几何题主要有两种方法：综合法，分析法。

关键词：条件分析;综合法;分析法

笔者执教初三数学也有好几年，久而久之也就明白了学生在解题方面有哪些困惑，让我印象最深的是学生对几何题的一筹莫展。有些同学由于学习不得法，甚至有放弃学习几何的念头，有些同学虽然能学得下去，但在解题时往往抓不住解题思路，胡写乱写。针对学生出现的问题，我总结了一套几何题的解题策略。现对学生学习几何出现的问题进行分析并提出解题策略，希望能有抛砖引玉的作用。

一、学生常出现的几个错误

案例分析：学生对条件逐个分析，是很多学生的选择的方法，这里学生由第一个和第二个条件得出了DA=DC这一个关键结果，但是离证明四边形AECD是菱形还差一步，就是证出四边形AECD是平行四边形。其实学生在处理条件是应该统观全局，在解题之前应该先把题目全部看完，不要着急分析第一个条件，应该在看完题目后观察哪些条件可以联合分析。比如在这道题中，可以先将AB∥DC， CE∥AD这两个条件联立分析，即可得出四边形AECD是平行四边形。

（三）错用滥用三角形全等

案例三：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。

学生解答：

∵DE∥AC

∴∠EDA=∠FAD

∵DF∥AB

∴∠EAD=∠FDA

∵AD=AD

∴△ADE≌△ADF

∴AE=AF

案例分析：在这道题中，学生试图通过三角形全等证明AE=AF，但是AE与AF并不是对应边，所以AE≠AF，除了此处错误，学生还存在忽略条件的情况，忽略了AD是△ABC的角平分线，由这个条件，可得∠EAD=∠FAD，结合学生前面得到的∠EDA=∠FAD，可得∠EAD=∠EDA，则AE=DE，再通过DE∥AC，DF∥AB可以证出四边形AEDF是平行四边形，又由AE=DE即可得出平行四边形AEDF是菱形。在这道题中，反映了学生在证等边时过于依赖三角形全等这一知识点，其实证明两条线段相等除了可以用三角形全等的性质，还可以用线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质等。

二、几何题常见解题策略

不可否认，几何证明题是初中难度比较大的一种题型，其没有一个固定的公式，题目也千变万化，解法更是多种多样，但是万变不离其宗，以上学生出现的问题主要是对题目的分析不得法，分析几何题主要有两种方法和一个重要习惯。

（一）综合法

从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决。

案例：如图，ABCD的對角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE=OF.（图中∠1指∠EAO，∠2指∠FCO）

（综合法）分析过程：

综合法是学生比较常用的一种几何题分析方法，但是在使用时要注意以下几点，一是注意结论有效性。在这道题目中，ABCD可以推出很多结论，比如对边相等且平行，对角相等，对角线互相平分等，但在后续的分析中可以发现，对角相等和对边相等对解题并没有作用，应该舍弃这两个结论。二是注意多级推导，比如从ABCD用这个条件分析到对边平行，还应由对边平行分析到内错角相等。三是注意条件的全局处理。如在案例三中，应该先将多个条件联合分析排在优先位置。

（二）分析法

分析法就是从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止。可见分析法实际上是运用逆向思维的过程。

所谓的逆向思维，其实就是指人们在看待问题时，从与常规思维相反的角度进行思考和分析，从而找到问题解决的途径，逆向思维模式可以很好地帮助学生打破原本传统数学思维模式的局限。

案例（同上）：如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE=OF.（图中∠1指∠EAO，∠2指∠FCO）

（分析法）分析过程：

在这道题目中，我们要证明的结论是OE=OF，观察图形，可以发现OE和OF分别是△AOE和△COF中的两条边，因此我们联想到证明这两个三角形全等，再通过分析题目条件，可以由ABCD提供AO=CO，AD//BC。其中AD//BC可以推出∠EAO=∠FCO，

再由∠AOE=∠COF，完全可以得到△AOE和△COF全等。至此，思路已经出来了。

分析法是一种重要的数学方法，它从结果出发，寻找使结果成立的条件，在解题中往往比综合法更快捷，更有针对性。分析好之后还是要用综合法的形式写出过程。

（三）解题习惯

现在发现很多学生在解几何题时会立刻写解题过程，并没有认真看完整道题，也没有画出思路图。学生在读题的时候发现的每个条件要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。有一些隐含的条件更加要标示出来，如对顶角相等。除此之外是要牢记题目给出的条件。题目的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。

寻找几何题的解题思路既可以用综合法也可以用分析法，有时可能要两种方法同时使用，两种方法各有优缺点，而且要有作标记的良好习惯。学生要学好几何，不能一蹴而就，要大胆去练，去分析，去总结，让自己对两种方法能够应用自如，学几何也就会变成一件有趣的事情了。

参考文献：

[1]魏堆付.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略[J].数学学习与研究，2021（14）：142-143.

[2]薛盛初.谈数学教学中学生自学能力的培养[J].中学数学研究.