视角各异皆有思 解法纷呈亦自然——2021年全国甲卷理科第15题

栾 功

(广西南宁市第三中学 530021)

纵观历年高考，圆锥曲线的定义、标准方程、性质与平面几何的综合成了命题热点，试题贴近教材，低起点、宽入口的特点给考生提供了多角度的思考空间，思维灵活，解法多样.如果教师在教学中能充分挖掘真题的价值，对于培养学生逻辑推理能力，数学运算等能力将大有裨益.

1 试题呈现

分析试题以椭圆焦点F1，F2和椭圆上关于中心对称的两点P，Q为顶点设计了四边形PF1QF2，其内涵丰富，构图灵活，有利于考生从不同角度入手求解.

2 试题解法

解法1如图1，在四边形PF1QF2中，有|PQ|=|F1F2|，且O为PQ与F1F2的中点.

图1

故|PF1|·|PF2|

从而SPF1QF2=|PF1|·|PF2|=8.

解法2 设P(x0,y0)，由题设知

①

②

设P(4cosθ,2sinθ)，则

从而SPF1QF2=2S△F1PF2=8.

(4+m2)y2-16=0.

解得1+m2=9.

所以SPF1QF2=2S△PQF2=8.

所以SPF1QF2=2S△F1PF2=4S△POF2

解法6设直线PQ的参数方程为

t2(cos2α+sin2α)=16.

记点P，Q对应的参数分别为t1，t2，

3 试题变式

通过探究我们得出了试题的六种解法，虽精彩纷呈，但仍感意犹未尽，我们尝试从不同的立场，不同的方面来观察题目，改变问题的结构形式，革新问题的曲线背景，在变式探究中进一步培养学生的逻辑推理能力、数学运算等能力.

解析记四边形AOBD的面积为S，如图2，连接OD，设D(4cosθ,2sinθ)，则

S=S△OAD+S△ODB

图2 图3

故圆D的方程为

③

④

联立③④,得b2=4.

所以椭圆C的短轴长为4.

所以4c2=16+4a2.

所以5a2=4+a2，解得a=1.

数学家陈省身曾言：“数学是自己思考的产物，首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，才会有很好的效果.”数学思考是数学教学行为中最有价值的行为，在高三复习备考中，我们要充分挖掘高考真题的学习价值，引导学生对问题展开深入思考，通过一题多解、一题多变、多题一解构建知识网络，深化理性思维，感悟数学本质，提升数学素养，破除“应试教育”.