任务规约下的数学建模作业设计*——以“独立性检验”为例

广东省广州市南海中学(510000)廖小琴

数学建模在2017年颁布的数学课程标准中被列为六大数学核心素养之一.课程内容将数学建模活动与数学探究活动作为四条主线之一,可见数学建模成为此次数学课程改革特色与亮点之一,并为数学建模教学向走进课堂提供强有力的文件支撑与操作指引.与此同时,课程内容明确要求数学建模与数学探究活动以主题的形式展开教学并规定了相应的学时,具体是必修学时6 课时,选修学时4 课时[1].虽然新课标中明确规定了数学建模的地位与课时,但仍然存在课时少、设备不足、教师教学经验缺乏等实施难的问题.这些问题往往只变成要不就是回避不教;要不就是变成去建模过程的应用题训练;要不就布置空洞的建模作业等.建模到底是什么?怎么建?建模的目的与作用等问题没有具体的指引,学生是一概不知,更谈何素养的提升?故此,学科核心素养生根落地,必须变革教师的教学方式和学生的学习方式.在培养建模素养的同时,要实现学生的生活经验与教学活动的有效联结,让学生不仅获得知识,更获得思想与素养的深化.故此,要提升学生数学建模素养,除了关注建模课程,还要关注课程以外的作业设计.在建模学习过程中,学生究竟应该经历哪些学习过程、采取哪些学习方式,是建模课程及作业设计的重要问题.

1 建模任务规约的定义与特征

深度教学提出任务性规约是课程履历的重要内容之一.任务性规约是指对达成课程目标或教学目标学生必须完成的学习任务规定或约定.任务性规约所约定的学习任务直接指向课程目标或教学目标,是课程目标或教学目标的本质要求,是在教学过程层面对目标的操作化或表现性要求[2].

建模的任务规约就是达成相关模型建模素养的学习任务约定.要充分引导学生用模而不套模,在任务约定的前提下,学生要结合实际灵活使用模型.在任务完成的过程中形成用数学眼光观察世界,用数学语言表达世界,用数学思维分析世界的素养.故此,学习所约定的任务是以达成建模素养为最终目标而设计的,对学习过程和学习方式有具体的指引,在完成任务过程中能充分体现同类问题的不同情境、不同对象,同一模型的不同解决工具、步骤和途径等,具有可操作性、灵活性和多元性特征.

2 建模任务规约的设计与实施

下面以“独立性检验”的统计建模教学为例,通过指定任务、多元任务到反思任务的三步引导阐述对建模作业进行任务规约的设计与实施,从而达成建模素养的培养.

2.1 指定任务构建模型认知,自主搭建模型框架从而达成知识意义的理解、思想的内化

本课首先给定两个指定任务:预习任务和探究任务.通过这两个任务的细化布置让学生自主学习模型案例,同时通过新情境的指引让其自行搭建解决问题的脚手架,促其感知模型所运用的情境及模型背后的思想方法.

预习任务以课本“肺癌与吸烟是否有关系”为例,预习并完成以下作业任务.

(1)了解分类变量的概念,并能举出多个分类变量;

(2)学会看图或数据分析两个分类变量是否有关系;

(3)自行推导卡方K2公式中(ad −bc)2的意义,从而推导出卡方统计量的基本原理.

探究任务根据以下数据使用excel 的图表功能,选择一种图或一组数据分析高中生拍拖对成绩是否有影响.

问题提出:高中生拍拖对成绩是否有影响?(以全年级排名前50 为优秀)

优秀不优秀总计在拍拖7 15 22不在拍拖39 38 77总计46 53

设计意图:以预习任务规约的方式,按步提出预习的目标要求.并通过给出学生“高中生拍拖对成绩是否有影响”的校园热议话题,吸引学生运用预习成果解决问题,为后续自主建模做后好知识基础和方法解决的铺垫.

实施报告:针对以上任务,分为二维条形图、等高柱状图、三维柱状图和数据估计四类学生报告.

学生报告1:二维条形图

右侧柱状代表不优秀人数,左侧柱状代表优秀人数.从图中可看出,在拍拖的学生中,不优秀的人占比更高.通过直观地图表分析,我们可以认为高中生拍拖对成绩有影响.

学生报告2:等高条形图

学生报告2:等高条形图

前侧的是在拍拖的学生所占比例,后侧的是不在拍拖的学生所占比例.从图中可以看出,不拍拖的学生比拍拖的学生优秀率高.

学生报告3：三维柱状图

从图中可以看出,各个频数的相对大小,直观的反映出相关数据的总体状况.其中前侧蓝色条高表示在拍拖的人数,后侧红色条高表示不在拍拖的人数.拍拖中优秀的比例远远低于不拍拖中优秀的比例,也低于拍拖中不优秀的比例.因此,直观上可以得到结论:拍拖对成绩有影响.

学生报告4:数据估计分析

由拍拖情况和成绩优秀情况的列表可以粗略估计出,在拍拖者中有13.6%的学生成绩优秀,在不拍拖者中有50.6%的学生成绩优秀,因此直观数据上得出结论,成绩优秀的同学中,不拍拖的比拍拖的多,所以高中生拍拖对成绩有影响.通过报告4 的数据可知,当时两个分类变量关系很小,反之则大.变形整理可得|ad −bc|越趋近0,说明两个分类变量关系越小,反之则就越大.

卡方公式的推导是本课的教学难点.由于其推导过程与学生的知识储备不符,所以学生是不能完全推导.但深度教学强调对知识意义的理解,需要对知识所承载的思维方式、学科思想及所表达的情感、态度加以理解和内化.故此,运用任务规约从学生已有的统计知识出发,让学生先行运用数形结合的思想与方法深入思考,然后引导数据分析理解统计原理,最后转化为卡方公式中核心部分的推导,使学生在最大程度上产生对公式和独立性检验思想的理解.避免了去过程、去证据、去背景的学习而导致学生对新知识的理解断层.

2.2 多元任务引导模型运用,自主选择情境建模从而获得知识的意义增值、思维的转化

模型适用的情境应该是多元的,调查的对象也可以是多方的,解决问题的工具也能够是多种的.故此,在不限情境、不限对象的范围和数量、不限解决问题的工具前提下,创设多元任务有助于促进学生对模型的深入思考.

多元任务:以小组为单位选择一个你们感兴趣的主题进行独立性研究,并按要求给出研究报告.

(1)主题参考:可以参考以下主题或自主选择主题,但是所研究的主题必须是关于两个分类变量的关系问题.有多大的把握认为数学与物理有关系;有多大的把握认为喜欢甜食与性别有关系;有多大的把握认为数学成绩与性别有关系.

(2)数据收集工具参考:问卷星、QQ 数据收集等(学校、年级、物理优/不优;数学优/不优.要注意给出各分类变量的定义)

(3)报告要素参考:调查对象范围及数量;调查的图表分析(问卷星图、二维联表等);调查的数据分析;调查的结论等.

设计意图:学生的深度学习,需要教师深度教学的引导.通过以上三点,把建模任务的要求和操作步骤细化,让小组研究工作更切实可行.学生在多元情境的选择中,选择自己感兴趣的情境进行建模,建模过程实际就是书本知识的“自我加工”,从而促成书本知识向个人知识的转化,即是对书本知识的个人化理解、自我建构并获得知识的意义增值.同时让学习思维从认知理解到理性思辨、创造性思维、问题解决等相对复杂的高阶思维转化,达成知识向核心素养的提升.

在多元任务的布置下,学习小组不再做同一个研究,而是根据自己小组的兴趣选择不同的研究来完成.研究可以多方解答、百花齐放,但与此同时也暴露出对模型认知的缺漏.下面给出两份存在问题的报告案例:

学生报告1:主题研究数学和物理的学习是否存在关系

定义以级前100 名为数学优秀;级前70 名为物理优秀,抽取高一级3、4 班的数学和物理成绩.

建立二维联表如下:

?

统计图:略

查表可得:只有50%的把握认为数学学习和物理学习有关系.

学生报告2:主题课外阅读对语文成绩是否存在关系

定义从本学期到期中考,课外阅读书籍大于或等于3 本为阅读充分;语文成绩在本次期中考位于班级前十为优秀.抽样范围:本班同学.

建立二维联表如下:

?

统计图:略

查表可得:只有50%的把握认为课外阅读对语文成绩有影响

2.3 反思任务触发模型检验,自主完善建模问题从而导向知识意义的升华、素养的深化

根据多元任务中出现的问题,布置反思任务引导学生重新审视建模过程,从样本抽样、建模、解模到验模的每个环节的知识要点、思想方法进行梳理对比,追踪归纳.

反思任务:结合实际和经验分析得出的结论是否正确;如不正确请认真分析每个环节找出问题出在哪里?从中能够得出什么规律?发现什么问题?可参考以下方面分析.

(1)独立性检验的是两个分类变量是否有关系,重新回顾分类变量的概念,重新分析报告中的变量是否分类变量?

(2)采用何种抽样方式,抽样的对象、范围和层次是否有针对性和充分性?

(3)数据计算是否有误?

设计意图:验模任务布置,让学生查找模型问题,修改模型并重新建模.针对以上两个案例的问题,学生报告如下.

学生报告1:主题研究数学和物理的学习是否存在关系

发现问题:只有50%的把握认为数学与物理学习有关系,也就是没关系.但根据生活经验可感知数学与物理应该是有关系的.问题出在哪里?

小组反思:分类变量概念理解不清,数学和物理不是一个分类变量.本研究的两个分类变量应该是数学是否优秀与物理是否优秀,并要先定义出数学和物理优秀的排位.

学生报告2:主题课外阅读对语文成绩是否存在关系

发现问题:据生活经验可感知课外阅读应该是对语文成绩有影响的.问题出在哪里?

小组反思:

(1)只收集了13 位同学的数据,样本少,不具有代表性；

(2)分类变量界定不清:课外书的厚度各有不同,阅读量大于或等于3 本课外书不能作为阅读充分的依据.

在前面的指定任务中,学生以为自己已经明白了独立性检验的原理与应用.但在建模过程中,有小组发现建模结果与自己生活经验不一致.通过查找在建模中出现的问题,从而反思自己对知识点的认知和统计实践中存在的缺漏.以上两个案例在小组反思发现问题后,均要求重新调整,重新建模,从而引导学生研究中充分经历了从样本抽样、数据统计、识模、建模、解模到验模的完整建模过程.

结语:以任务规约的建模作业设计有助于克服单一知识训练的局限性,有助于保证教学目标的多维达成.所以,任务性规约的建模作业设计就是模型的自我完善,方法的自我形成和自我导向性的深度学习,让建模学习不再纸上谈兵! 当学生能把生活经验与知识相遇时;当学生能用数学眼光观察问题时;当学生能运用知识解决生活问题时,建模素养才真正达成!