四元低相关区非周期互补序列集构造

许成谦，李永雷，邢方园

(燕山大学 信息科学与工程学院，河北 秦皇岛 066004)

0 引言

在多载波CDMA通信系统中互补序列(Complementary Sequence，CS)使用非常广泛[1]。根据相关函数定义不同,有周期互补序列(Periodic Complementary Sequence，PCS)、非周期互补序列(Aperiodic Complementary Sequence，ACS)[2]。根据PCS、ACS的相关函数定义，可看出ACS包含PCS，因而ACS在实际通信系统中更具用途。非周期互补序列是由多个子序列构成的序列集，对于抑制通信系统中的多址干扰和多径干扰有极其重要的作用，但其构造较难，满足实际应用的较少，因而有必要对其深入研究。在通信系统中互补序列集(Complementary Sequence Set，CSS)不能支持大量的用户，因此Fan等人在文献[3]中提出了二元零相关区(Zero Correlation Zone，ZCZ)非周期互补序列集(ZCZ-ACSS)的概念。近年来人们在ZCZ-ACSS的构造方面研究较多且取得了较好效果。一类二元ZCZ-ACSS、三元低相关区(Low Correlation Zone，LCZ)非周期互补序列集(LCZ-ACSS)在文献[4]中由Li等人利用一种特殊的正交序列集得以构造。Liu K等人在文献[5]中通过交织法利用8位QAM正交序列集和P相正交序列集构造了一类最优的8位QAM零相关区非周期互补序列集。Liu T等人在文献[6]中构造了具有低互相关特性的多重互补序列集，且集间非周期互相关幅度的最大值为P，通过组合后得到了一类幅度渐近最优的ACSS。在文献[7]中，陈晓玉等人基于高斯整数正交序列集构造了具有理想的自相关性能和组内互补特性的一类最优的ZCZ-ACSS。近些年来，学者们进一步对ZCZ-ACS偶集、组间ZCZ-CS进行了研究。在正交矩阵偶的基础上，文献[8]提出了ZCZ-ACS偶集的构造方法。利用ZCZ序列集、整数集，白子祎等人在文献[9]中构造了一类ZCZ在组内、组间均相等的PCSS。为进一步扩大CSS的集合大小，Liu B等人在文献[10]中提出了低相关区准互补序列集的概念，并提出了低相关区准互补序列集的相关下界。Liu T等人在文献[11]中构造了一种二元LCZ-ACSS，且序列集的参数渐近最优理论界限。目前为止，在文献中并没有对四元LCZ-ACSS的构造，因此本文构造的四元LCZ-ACSS能满足通信系统一定的应用需求。

1 基本概念

定义1设两个长度为L的复数序列a、b，a=(a0,a1,…,aL-1),b=(b0,b1,…,bL-1)。则这两个序列的非周期相关函数Ca,b(τ)定义为

其中,t+τ=(t+τ)modL。若a=b，则Ra,b(τ)称为周期自相关函数，记为Ra(τ)。显然有

Ra,b(τ)=Ca,b(τ)+Ca,b(τ-L)。

定义2设一个L×L阶矩阵H=[hk,t]L×L，令hk=(hk,0,hk,1,…,hk,L-1)表示矩阵H的第k行，其中0≤k≤L-1。对于矩阵H中任意两行(或列)k1,k2，0≤k1≠k2≤L-1，hk1和hk2的互相关函数Rhk1，hk2(0)=0，则称矩阵H为正交矩阵。

定义3设C={C0,C1,…,CM-1}是一个含M个序列的序列集，每个序列Cm包含N个长度为L的序列:

0≤m≤M-1,0≤n≤N-1，

Cm={Cm,0,Cm,1,…,Cm,N-1}，

Cm,n=(cm,n(0),cm,n(1),…,cm,n(L-1))。

若序列相关函数：

定义4定义二元到四元的映射如下：

2 四元低相关区非周期互补序列集的构造

构造方法1：

步骤二：取一个N×N阶的二元完全非循环矩阵G=[gi,j]N×N，gi,j∈{-1,1}。

步骤三：选定两个正整数Z,K，满足Z/N，L=KZ,M=KN。

步骤四：当0≤m≤M-1,0≤n≤N-1,0≤t≤L-1时，取：

sm,n(t)=g⎣m/L」·Z+(tmodZ),n·q(mmodL),t,

Sm,n=(sm,n(0),sm,n(1),…,sm,n(L-1))，

Sm={Sm,0,Sm,1,…,Sm,N-1}，

S={S0,S1,…,SM-1}。

证明在S中任取Sm1,n,Sm2,n∈S，计算非周期相关函数如下：

g⎣m2/L」·Z+((t+τ)mod Z),n·q(m2mod L),t+τ=

m3=⎣m1/L」·Z+(tmodZ)，m4=⎣m2/L」·Z+((t+τ)modZ)。分四种情况讨论：

情况一，若m1=m2,0<τ

其中，k1=m1modL，k2=m2modL。

证毕。

构造方法1中使用了四元正交序列集和完全非循环矩阵，而四元正交序列集可以用文献[12]的构造方法得到，完全非循环矩阵可以用文献[13]的构造方法得到，故本文的构造方法是可以实现的。

例取一个4×4阶二元正交矩阵如下：

按照文献[12]的构造方法利用上述矩阵X可得到一个四元正交序列集Q={q0,q1,q2,q3}:

q0=(-1,-j,-1,j)，q1=(j,1,-j,1)，

q2=(j,-1,-j,-1)，q3=(-1,j,-1,-j)。

给定一个3×3阶二元完全非循环矩阵如下：

S0={(0103);(2321);(0103)},

S1={(3212);(1030);(3212)},

S2={(3010);(1232);(3010)},

S3={(0301);(2123);(0301)},

S4={(2321);(0103);(0103)},

S5={(1030);(3212);(3212)},

S6={(1232);(3010);(3010)}，

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3 结束语

本文所构造的四元低相关区非周期互补序列集的低相关区长度Z在满足Z/N(N为子序列个数)条件下可灵活设定。低相关区非周期互补序列包含低相关区周期互补序列的性质，因此在实际通信系统中具有更大用途。本文的构造方法是基于四元正交序列集和二元完全非循环矩阵，在实际通信系统中，这两者都较易得到且存在较广，从而可得到大量四元低相关区非周期互补序列集，进一步满足多载波CDMA通信系统的需求。