一种基于杂波稀疏度改进的杂波密度估计方法

周福珍，唐新丰，石义芳，彭冬亮*，郭云飞

(1.杭州电子科技大学 自动化学院，浙江 杭州 310018； 2.北京宇航系统工程研究所，北京 100076)

0 引言

多目标跟踪一直是目标跟踪领域的研究热点之一，随着现代武器战术性能提高以及电子干扰技术发展，多目标跟踪技术在战场态势感知、空中交通管制等多个领域得到了广泛应用[1-4]。在实际的多目标跟踪应用中，跟踪系统常常面临杂波干扰、目标漏检复杂环境的挑战，不仅需要估计目标的动力学状态，同时还需要对大量身份未知的航迹进行自动管理，包括目标航迹的起始和维持、虚假航迹的识别和剔除[5]。具备航迹自动管理能力的多目标跟踪被统称为多目标自动跟踪。本文的主要工作正是基于复杂环境下的多目标自动跟踪框架进行。

复杂环境多目标跟踪系统中常常面临杂波干扰，测量信息可能来源于不同目标等测量来源不确定性问题。基于数据关联的多目标跟踪被大量研究并广泛应用于实际的跟踪系统中。综合概率数据关联算法(IPDA)[6-8]提出目标存在性作为航迹评价指标实现单目标跟踪系统下的目标自动跟踪。联合综合概率数据关联算法(JIPDA)[9-11]在IPDA的基础上提出联合可行性事件实现多目标跟踪系统下目标自动跟踪。线性多目标综合概率数据关联算法[12]针对JIPDA方法计算量上的缺陷提出调制杂波密度方法降低计算量。

在上述这些多目标自动跟踪算法中，通常假设杂波测量个数在时间上服从泊松分布，杂波测量在空间上服从均匀分布。杂波密度作为数据关联的一个重要参数。在实际的目标跟踪系统中，需要针对空间分布未知、非均匀且时变的杂波密度进行精确估计。杂波密度估计方法可分为单帧杂波密度估计方法和多帧杂波密度估计方法。多帧杂波密度估计方法[13-14]利用多帧历史测量信息估计当前帧测量的杂波密度，能有效降低目标测量对杂波密度估计的影响。单帧杂波密度估计方法可以分为基于航迹和基于测量集2类。基于航迹的传统杂波密度估计方法[15]提出利用门限内测量的平均杂波个数与门限超球体体积的比值计算杂波密度但容易导致估计结果不稳定。基于空间稀疏度的杂波密度估计(Spatial Clutter Measurement Density Estimator,SCMDE)方法[16-18]以待估点为中心创建一个超球体，并假设超球体内所有测量均为杂波测量，且在超球体内服从均匀分布，最后利用超球体体积与超球体内测量个数的比值，估计待估点的杂波稀疏度。该方法中定义杂波稀疏度是杂波密度的倒数。在杂波未知、非均匀且时变的单目标自动跟踪场景下，SCMDE是无偏的杂波密度估计方法。但在多目标尤其是在密集多目标自动跟踪场景中，SCMDE的杂波密度估计正确率急剧下降。这是因为在该场景下SCMDE假设不成立(超球体内的测量都是杂波测量)，超球体内包含的目标测量会直接导致杂波密度估计结果偏大，继而使航迹管理性能急剧下降。

针对SCMDE方法在多目标自动跟踪场景下杂波密度估计正确率急剧下降的问题，提出了一种基于SCMDE改进(Extended SCMDE，ESCMDE)杂波密度在线估计方法。通过计算以待估点为中心的超球体内测量来源于杂波的概率估计超球体内真实的杂波个数，消除超球体内目标测量对杂波密度估计的偏差，提升复杂环境下多目标自动跟踪的航迹管理性能。

1 问题描述

1.1 目标模型

假设监视区域内目标随机出现和随机消失，即监视区域内目标随机存在。根据目标随机存在建立目标存在概率的时域演变模型为：

(1)

假设目标在监视区域内做近似匀速直线运动并在监视区域建立二维笛卡尔坐标系，则目标动力学状态时域演变模型如下：

(2)

(3)

(4)

式中，I2为2×2的单位矩阵；O2为2×2的零矩阵。ωk为过程噪声，通常假设为加性高斯白噪声，其协方差矩阵为Q，且有：

(5)

式中，q为功率谱密度；T为传感器采样间隔。

1.2 测量模型

假设传感器位于二维笛卡尔坐标系原点，传感器获取的测量形式是目标在二维笛卡尔坐标系中x和y方向的位置信息。Zk为tk时刻传感器产生的测量集合，zk,i为测量集合中第i个测量。

1.2.1 目标测量模型

传感器以一定的检测概率PD检测到目标，当zk,i是目标测量，则有：

zk,i=Hxk+υk，

(6)

式中，H表示观测矩阵，且有：

(7)

υk为传感器的观测噪声，通常假设为加性高斯白噪声，其协方差矩阵记为R。

1.2.2 杂波测量模型

传感器在tk时刻获取的测量集合中，杂波测量个数在时间上服从泊松分布：

(8)

式中，mk为tk时刻杂波个数；λV为监视空间V内杂波平均个数，λ为监视空间V内的平均杂波密度。

本文要解决的问题是在多目标跟踪系统中，利用当前测量集合Zk，对空间分布未知、非均匀且时变的杂波测量进行在线杂波密度估计，并将杂波密度估计结果嵌入相应的多目标自动跟踪算法，提高航迹管理性能。

2 理论杂波密度计算方法

针对已知杂波的空间分布概率密度函数，推理出测量空间上任意位置的理论杂波密度值。假设测量空间上任意位置的真实杂波密度值等价于理论杂波密度值。

假设测量空间上存在N个杂波测量，杂波测量相互独立，杂波空间分布概率密度函数为p(z)，测量空间上点z0的理论杂波密度为：

(9)

杂波测量落入ΔV区域的概率为：

(10)

根据二项式分布原理，N个杂波测量落入ΔV区域的期望个数为：

(11)

联立式(9)和式(11)，则有：

ρ(z0)=Np(z0)。

(12)

3 改进的杂波密度自适应估计方法

3.1 基于SCMDE的杂波密度估计方法

SCMDE是一种基于单帧测量的杂波密度估计方法，该方法以待估点为中心创建一个超球体，并假设超球体内所有测量均为杂波测量并且在超球体内服从均匀分布，直接利用超球体的体积与超球体内测量个数的比值估计杂波稀疏度。该方法中定义杂波稀疏度是杂波密度的倒数。SCMDE方法仅利用当前帧测量数据可对空间分布未知、非均匀且时变的杂波密度进行在线估计，估计精度和实时性好且独立于跟踪算法。

(13)

(14)

基于SCMDE的杂波密度估计方法，本文分别定量分析了SCMDE在单目标和多目标跟踪系统中的杂波密度估计偏差，假设待估点的杂波密度已知且为λ。

(1) 场景1：单目标

(15)

则n阶SCMDE稀疏度均值和方差分别为：

(16)

(2) 场景2：多目标

在多目标自动跟踪场景中，尤其是在密集多目标自动跟踪场景下，SCMDE方法中假设超球体内所有测量均匀杂波测量的假设往往不成立。当SCMDE方法创建的超球体内包含目标测量时，会导致稀疏度估计值偏小，即杂波密度估计偏大。为了简便，仅考虑监视区域内有2个目标，定量分析SCMDE方法的杂波密度估计偏差。

当待估点是目标测量时，SCMDE杂波稀疏度估计均值为：

(17)

当待估点是杂波测量时，SCMDE杂波稀疏度估计均值为：

(18)

3.2 基于SCMDE改进的杂波密度估计方法

针对SCMDE方法在多目标自动跟踪场景下杂波密度估计存在偏差，提出了基于SCMDE改进的杂波密度估计方法，通过计算以待估点为中心的超球体内测量来源于杂波的概率估计超球体内真实的杂波测量个数，来降低超球体内可能包含的目标测量对杂波密度估计的偏差，从而提高杂波密度估计精度。步骤如下：

步骤1：航迹波门簇划分

基于最优多目标自动跟踪算法的数据关联考虑所有的联合可行事件，但联合可行性事件的总数随着航迹数和预选观测的增加呈指数爆炸增长。出于计算量考虑，可将航迹划分在几个互斥的波门簇中。波门簇是一组航迹和它们的预选测量的集合，且每帧波门簇都要重新划分。波门簇的划分有2个原则：① 选择同一测量的不同航迹属于同一个波门簇且任何选择波门簇内测量的航迹均属于该波门簇；② 没有选择任何波门簇内测量的航迹单独成为一个波门簇。玻门簇划分图如图1所示。

图1 波门簇划分Fig.1 Clusters partition

图1中，τ1，τ2，τ3和τ4表示4条航迹，M1，M2，M3和M4表示被4条航迹选中的测量。根据波门簇划分的原则，有2个波门簇。航迹τ1和τ2有共享测量M1，形成一个波门簇。航迹τ3选中该波门簇中的测量M2，它也属于该波门簇，即航迹τ1，τ2和τ3及其预选测量构成一个波门簇。航迹τ4的预选测量不与其他航迹共享，则单独形成一个波门簇。

步骤2：计算测量来源于杂波的概率

在多目标自动跟踪场景中，测量来源可能是不同目标或者杂波。为了阐述清晰，针对测量的来源定义以下事件：

根据步骤1，可知测量和波门簇的对应关系，为了简便，以测量zk,i为例，该测量所在的波门簇记为Γk。

在波门簇Γk条件下，测量zk,i来源于杂波的概率为：

(19)

(20)

在波门簇Γk条件下，测量zk,i来源于目标τ的概率为：

(21)

在波门簇Γk条件下，测量来源是一个完备事件组，则有:

(22)

则有：

(23)

因此，联合式(19)和式(23)，可求得波门簇Γk条件下，测量zk,i来源于杂波的概率为：

(24)

步骤3：估计超球体内真实杂波个数

n阶的SCMDE方法以待估点为中心创建一个超球体，超球体的半径为测量空间上待估点到距离待估点第n近测量的欧式距离，直接利用超球体的体积与超球体内测量个数n的比值估计杂波稀疏度。在多目标自动跟踪场景中，n阶改进SCMDE杂波密度估计方法同样以待估点为中心创建一个超球体，超球体的半径为测量空间上待估点到距离待估点第c近的测量的欧式距离，直接利用超球体的体积与超球体内测量来源于杂波概率和的比值估计杂波稀疏度。根据步骤2，可以计算当前测量集合中所有测量来源于杂波的概率。距离待估点第c近的测量需要满足以下条件：

(25)

为了保证得到超求内测量的杂波概率和最接近阶数n，则需：

(26)

因此，对于n阶改进的杂波密度估计方法，待估点的杂波稀疏度估计为：

(27)

式中，

(28)

改进的杂波密度估计原理图如图2所示，阐述了n=3基于SCMDE改进杂波密度估计方法在二维空间上的实际工作原理。

图2 改进的杂波密度估计原理Fig.2 ESCMDE principle

4 仿真实验

仿真以多目标自动跟踪为背景，以线性多目标自动跟踪算法LM-IPDA为多目标自动跟踪方法，针对杂波空间分布未知、非均匀且时变的问题，利用提出的基于SCMDE改进的杂波密度估计方法进行杂波密度在线估计。通过与已知的SCMDE方法比较，验证本文所提的杂波密度估计方法能提升复杂环境下多目标自动跟踪的航迹管理性能。

4.1 性能评价指标

仿真实验的性能指标有确认真实航迹率(Confirmed True Target Ratio，CTTR)和均方根误差(Root Mean Squared Error，RMSE)2个。CTTR用于衡量目标航迹的识别能力和速度，RMSE用于衡量跟踪目标航迹的跟踪精度。

当航迹满足以下关系式，该确认航迹就被认定为确认真实航迹：

(29)

(30)

蒙特卡罗实验下，CTTR的统计方式为：

(31)

式中，CTTR(k)为tk时刻真实航迹确认率；CTTi(k)为tk时刻第i次蒙特卡罗试验确认真实航迹个数；N和M分别为蒙特卡罗实验次数和监视区域内目标真实个数。

RMSE的统计方式为：

(32)

本文设置2组不同的仿真实验：杂波空间分布非均匀和杂波空间分布非均匀且时变，仿真实验目标个数为7个。比较相同和不同阶数下ESCMDE和SCMDE两种方法杂波密度估计结果对航迹自动管理性能影响。

4.2 杂波空间分布非均匀

假设杂波测量的空间分布是非均匀且不随时间变化的。利用不同的均匀分布概率密度函数和不同的高斯概率密度函数加权混合，生成复杂的空间分布非均匀的杂波测量。假设杂波测量在空间上服从的概率密度函数为：

(33)

式中，V表示二维测量空间上的监视区域面积；μ和Σ分别为高斯分布的均值和协方差矩阵。假设杂波测量个数在时间上服从泊松分布且泊松分布均值m为100，则此时测量空间V上任意一点的真实杂波密度为：

ρ(z)=mp(z)。

(34)

真实航迹起始率如图3所示。7个目标在500次蒙特卡罗实验的目标真实航迹起始率，目标2的位置估计RMSE如图4所示。为了公平地比较SCMDE和ESCMDE杂波密度估计方法，通过调整初始目标存在概率，使500次蒙特卡罗实验中采用2种不同的杂波密度估计方法下确认的虚假航迹个数为21条，并保持确认航迹的目标存在概率阈值和终止航迹的目标存在概率阈值与目标初始存在概率的关系不变。同时，利用真实杂波密度嵌入LM-IPDA算法得到真实航迹起始率的上限。如图3所示，采用相同的阶数进行杂波密度估计，利用本文提出的ESCMDE的杂波密度估计结果嵌入到LM-IPDA获得比SCMDE更好的真实航迹起始率，提升了航迹管理性能。当同一个杂波密度估计方法采用不同的阶数进行杂波密度估计，可以发现SCMDE和ESCMDE都会随着阶数的增加而不同程度地提升目标真实航迹起始率。在第25 s前后，此时目标之间处于邻近位置，SCMDE在该时间段的真实航迹起始率受到严重的影响;对于n=1的SCMDE，真实航迹起始率甚至出现下降，而本文提出的ESCMDE，并未在多目标交叉运动时出现明显的真实航迹起始率下降问题，且真实航迹起始率高于SCMDE。图4中位置RMSE只针对确认真实航迹计算所得，仅计算跟踪目标2的真实航迹的跟踪误差，可以发现采用真实杂波密度的RMSE性能总体最优，对比本文所提ESCMDE和SCMDE，相同阶数下ESCMDE在目标交叉前后的RMSE性能也优于SCMDE。

图3 真实航迹起始率Fig.3 True target track initiation rate

图4 目标2的RMSEFig.4 Location RMSE of target 2

4.3 杂波空间分布非均匀且时变

在上述仿真实验的基础上仅改变杂波测量的空间分布，本节杂波测量的空间分布是时变的。假设杂波测量在空间上服从的时变概率密度函数为：

(35)

在杂波空间分布时变情况下，7个目标在500次蒙特卡罗试验下的目标真实航迹起始率如图5所示。跟踪目标2真实航迹的位置RMSE如图6所示。为了公平地比较SCMDE和ESCMDE杂波密度估计方法，使500次蒙特卡罗实验中采用2种不同的杂波密度估计方法下确认的虚假航迹个数为16条，其他参数条件保持一致。根据式(35)给出的杂波空间分布概率密度函数可知，在前19 s内，监视区域内的杂波测量服从均匀分布，此时真实航迹起始率提升较快。比较n=1和n=5的SCMDE方法可以发现，n=5的SCMDE方法的真实航迹起始率提升更快，这主要是SCMDE方法的杂波密度估计精度会随着阶数的增加而降低，这是SCMDE方法的性质决定的。在第20～30 s的杂波测量空间分布为高斯分布，第31～50 s的杂波测量空间分布服从均匀分布和高斯分布加权的复杂分布。图5验证了ESCMDE方法在杂波空间分布非均匀且时变的多目标跟踪环境下的航迹管理性能优于SCMDE方法。图6中目标2的位置估计RMSE也表明ESCMDE在多目标交叉区域可以有效提升跟踪精度。

图5 真实航迹起始率Fig.5 True target track initiation rate

图6 目标2的位置RMSEFig.6 Location RMSE of target 2

5 结束语

杂波观测密度是计算数据关联概率和目标存在性所需的重要参数，即使只有很小的变化，对目标跟踪性能也有很大的影响。本文针对无杂波先验信息环境下的非参数多目标跟踪，提出了一种用于多目标自动跟踪的改进杂波密度自适应估计方法。该方法基于SCMDE改进的杂波密度估计方法，通过计算以待估点为中心的超球体内测量来源于杂波的概率估计超球体内真实的杂波测量个数，来降低超球体内可能包含的目标测量对杂波密度估计带来的偏差，从而提高杂波密度估计精度。它解决了SCMDE在多目标跟踪场景下杂波密度估计偏差急剧增大导致航迹管理性能下降的问题。通过仿真，验证了该方法的可行性。