复射影空间CP n(c)中A2型实超曲面上Sasaki磁场下的外在圆轨道

刘晓周，包图雅

（内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028043）

研究子流形的方法有很多种，其中一种方法是通过研究子流形上的曲线，进而得出子流形的特征。对于子流形上曲线的研究，可以将其放到其外围空间去考虑。对于曲面上的曲线，一般取测地线、圆等特殊曲线进行研究，同时通过对特殊曲线上指标的分析，能够丰富曲面理论。

根据正则截面曲率c的值，非平坦复空间CMn(c)被分为复射影空间CPn(c)（正则截面曲率c>0）和复双曲空间CHn(c)（正则截面曲率c<0）［1］。复射影空间中霍普夫齐性超曲面被TAKAGI［2］和KIMURA等［3］分为A型、B型、C型、D型和E型，其中A型被分为A1型和A2型［2-3］。文献［4］研究了非平坦复空间中A型实超曲面（即测地球）上的圆轨道，给出了A型实超曲面的特征。文献［5］通过研究Kähler流形中实超曲面上Sasaki磁场下二阶相切轨道，给出了Kähler流形中的实超曲面的特征。文献［6］研究了复射影空间中A1型实超曲面上Sasaki磁场下的外在圆轨道，给出了A1型实超曲面的特征。文献［7］计算了复射影空间中B型实超曲面上Sasaki磁场下轨道的外在形状为二阶相切时，对应的外在测地曲率和外在复挠率的值。沿着这个思路，笔者根据复射影空间中A2型实超曲面上Sasaki磁场下轨道的外在形状成为圆的条件，分析了复射影空间中A2型实超曲面上Sasaki磁场下外在圆轨道的外在测地曲率和外在复挠率之间的关系。

1 基础知识

非平坦复空间CMn(c)中的实超曲面M上有近切触度量结构，该近切触度量结构由张量、向量场ξ=-JN、1-形式和非平坦复空间上的度量所决定，其中，N是非平坦复空间中实超曲面M上的单位法向量，v是任意点处的切向量［1］。复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M是绕全测地CPl的管Tl(r)(1 ≤l≤n-2)，其中,。复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M有3个主曲率，分别是对应与ξ垂直方向的主曲率和，以及对应ξ方向的主曲率［2-3］。在非平坦复空间CMn(c)中的实超曲面M上，2-形式的常数倍Fk=kFϕ(k∈R)被称为是Sasaki磁场，满足的弧长参数化的光滑曲线γ被称为Sasaki 磁场Fk下的轨道。对非平坦复空间中实超曲面M上Sasaki磁场下的轨道称为构造挠率，构造挠率 |ργ|≤1。͂是非平坦复空间中实超曲面M的外围流形，l:M→͂是一等距浸入映射。当等距浸入映射l把M上的光滑曲线γ映射到M的外围空间͂上时，称曲线l∘γ为γ的外在形状。高斯公式和魏因加尔吞公式分别为和

定义1［1］非平坦复空间CMn(c)中实超曲面M上弧长参数化的光滑曲线γ如果满足，则称曲线γ的外在形状是圆。

定义2［1］非平坦复空间CMn(c)中弧长参数化的光滑曲线γ的测地曲率kγ被定义为的复挠率τγ被定义为

2 主要结果

文献［5］给出了非平坦复空间CMn(c)中A型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下的轨道的外在形状为圆的条件，下面根据复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M的情况，计算复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下轨道的外在形状成为圆的条件。

命题1复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下的轨道γ满足下面条件之一时，其外在形状成为圆。

证明对于复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下的轨道γ，有是任意点处的弧长参数化曲线的切向量，̇可以写成

根据（9）式，如果轨道γ的外在形状为圆，则有

下面分析（11）式。

即ργ=±1或k=-δργ。

ργ=±1是轨道γ外在形状成为圆的第一个条件。而且k=-δργ是轨道γ外在形状成为圆的第二个条件的特例。

要使上式成立，则每一个分量都需要为0，即

文献［5］给出了非平坦复空间中A型实超曲面上Sasaki磁场下外在圆轨道对应的外在测地曲率kγ和外在复挠率τγ，下面具体给出复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面的情况。

命题2复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ对应的外在测地曲率kγ和外在复挠率τγ如下：

命题2中（1）和（2）的外在复挠率的绝对值为1，不随着外在测地曲率的变化而变化。下面分析命题2中（3）的外在测地曲率和外在复挠率之间的关系。

定理1当且k-λ1ργ+δργ=0时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ的外在测地曲率为，外在复挠率的平方

定理2当且k-λ1ργ+δργ=0时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ的外在测地曲率的取值范围为：

定理3当且k-λ1ργ+δργ=0时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ上g(K)关于K的单调性如下：

定理4当且k-λ2ργ+δργ=0时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ的外在测地曲率为

证明复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面的主曲率，则有

将（4）式和（6）式代入到测地曲率的定义中有

证毕。

对于复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面，有，主曲率λ2<0。下面讨论时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道的外在测地曲率的取值范围。

定理5当且k-λ2ργ+δργ=0时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ的外在测地曲率的取值范围为：

证明当ργ=0时，kγ=-λ2。

定理6当且k-λ2ργ+δργ=0时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ的复挠率的平方

证明将（4）式和（5）式代入到复挠率的定义中有

证毕。

定理7当且k-λ2ργ+δργ=0时，复射影空间CPn(c)中A2型实超曲面M上Sasaki磁场Fk下外在圆轨道γ上g(K)关于K的单调性如下：

证明对

下面计算g(K)在稳定点处以及端点处的函数值，根据（21）式，有

根据（21）式，g(K)在上是连续的。

根据（21）式，g(K)在[δ2,( -λ2)2]上是连续的。

根据（23）式，有0

根据（21）式，g(K)在[(-δ)2,(-λ2)2]上是连续的。

根据（21）式，g(K)在[(-δ)2,(-λ2)2]上是连续的。