初中数学“模型建构”的实践与思考

李海波

[摘  要] 数学是一门“模型”的科学. 数学模型学习能力是学生数学学习能力的重要标识，也是学生数学模型素养的重要标识. 在初中数学教学中，教师要引导学生数学模型认知、数学模型修正和数学模型迁移. “模型认知”有助于促进学生模型理解，“模型修正”有助于促进学生模型建构，“模型迁移”有助于促进学生模型应用. 数学模型认知、理解、建构、完善、迁移、应用等都有助于学生数学模型创新.

[关键词] 初中数学;模型理解;模型建构;模型应用

数学是一门“模型”科学. 一切数学概念、法则、公理、定理等，从最宽泛的意义上说，都是数学模型. 在初中数学教学中，教师要引导学生模型认知，促进学生模型建构，助推学生模型应用. 借助于模型认知、模型建构和模型应用，促进学生建模思想、建模素养的生成. 正如东北师范大学史宁中教授所说，“数学的核心素养主要有三：抽象、推理和建模”[1]. 数学模型的认知、建构与应用，能有效地提升学生的学习能力，发展学生的数学核心素养.

在“模型认知”中促进学生模型理解

模型认知是学生建构数学模型的基础. 学生学习数学，首先就是对各种数学模型的认知. 模型认知，不是教师直接地呈现数学模型让学生认识，而是学生在教师的引导下对数学模型的产生、发展的认识. 完整的模型认知，应当引导学生重新蹈入人类探索数学模型的关键步子，引导学生思考人类在模型建构中所提出的相关问题，从而助推学生对数学模型深度认知和理解. 可以这样说，对数学模型的认知模糊会直接影响着学生数学学习的效能.

模型认知是一个逐步深化的过程. 在初中数学教学中，教师不仅要引导学生把握模型内容，更要引导学生把握模型形式;要让学生自主提出相关的建模问题，自主思考相关的建模问题. 初中数学模型非常丰富，常见的有方程（组）模型、不等式模型、函数模型和几何模型等，这些模型贯穿学生数学学习的始终. 以方程模型的认知为例，引导学生认识方程模型，不仅是让学生认识各种不同的方程模型，重点是引导学生经历将实际问题抽象成数学问题并进行解释和应用的过程. 具体言之，认识方程模型，关键是引导学生将实际问题提炼、抽象、转化成一元一次方程、一元二次方程、方程组和分式方程等. 以人教版七年级上册的“一元一次方程”模型的建构为例，教学中教师给学生提供了许多生活化的素材，比如行程问题、盈亏问题等. 将实际问题抽象、提炼成数学问题，关键是要让学生把握实际问题中蕴含的数量关系. 当学生在学习中借助于相关的、丰富的资源、素材等建构成方程模型后，教师就可以着力引导学生解方程. 模型认知是学生认识世界的基础. 可以这样说，学生头脑中的数学模型越丰富，学生解决实际问题的能力就会越强.

数学模型的认知关键是对数学模型本质的认识和理解，对数学模型中蕴含的相关关系的熟悉和掌握. 数学模型的形成，是建立在学生对相关问题、素材、资源等的收集、提取、分析的基础上的. 学生只有深刻地认识了数学模型，才能对数学模型的意义和价值形成深刻的、持久的体认.

在“模型修正”中促进学生模型建构

学生学习数学的过程不仅是模型的认知过程，更是模型的建构过程. 学生对数学模型的建构不是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程. 在这个过程中，学生需要不断地对数学模型进行修正，从而促进数学模型不断臻于完善;在这个过程中，教师还要引导学生进行模型辨识，要对数学模型进行宏观和微观的多层面思考与探究. 模型修正能促进学生模型建构.

应该说，一个科学的、合理的数学模型往往能反映、解释现实问题的形态、特征和本质. 从某种意义上说，一个数学模型的建立是要经过形成、修正、实践、再修正、再实践的反复的过程的[2]. 作为教师，要引导学生积极主动地质疑、批判，培养学生的反思意识和态度. 在这个过程中，教师要善于激发学生的认知冲突，利用学生的认知冲突引领学生建构数学模型. 比如引导学生建构“最短路线”模型时，教师从著名的“将军饮马”问题入手，引导学生将军营抽象成一个点，将河流抽象成一根线，将“将军饮马”问题抽象、建构成一个“最短路线”模型. 在这个过程中，通过诸多的军营、河流的关系，教师不断对“最短路线”模型进行补充、丰富、完善，从而帮助学生建立这一数学模型完善的解决思路. 比如有学生对两点“同侧关系”的“最短路线”问题进行了总结：首先明确同侧的两点;其次选取这两点中的任意一点，然后以直线为对称轴作该点的对称点;再次连接对称点和另一点，其与直线（即河流）的交点就是所求的点的位置. 这样的一种模型建构，充分应用了学生的生活经验，让学生自主探究问题的背后本质，建立起能够有效解决“这一类”问题的数学模型.

模型是人类认识世界、改造世界的工具. 在初中数学教学中，教师要找准学生数学建模的起点，把握好学生数学建模的具体学情，引导学生积极建构数学模型，主动修正数学模型，不断地弥补数学模型，从而让数学模型趋于完善. 实践证明，好的数学模型有助于促进学生数学深度学习.

在“模型迁移”中促进学生模型应用

尽管数学模型对于学生的数学学习来说具有普适性的意义，但在具体应用数学模型的过程中，不同的数学问题、不同的现实情境面临着不同的数学模型的应用. 在初中数学教学中，教师要让学生认识到数学模型的内涵与外延，尤其是要把握“数学模型的应用域”，引导学生积极地进行数学模型的迁移，促进学生数学模型的应用. 数学模型的迁移不是数学模型的套用，而是要对现实问题和数学模型进行深度考量. 从中找到现实问题与数学模型的连接点、结合点等.

数学模型是学生数学学习过程的一种沉淀、生成. 从某种意义上来说，数学模型的认知、理解和建构对数学模型的应用有着重要的影响. 学生能否对数学模型进行有效的迁移、应用、创新等，是学生数学模型素养的重要标识. 数学模型应当指向哪里？数学模型指向的是现实应用，指向的是问题解决. 一个数学模型，如果它不能解决相关的问题，或者它解决的问题较少，这样的模型就不是“好的模型”. “好的模型”具有较强的包摄性、普适性. 作为数学教师，不仅要引导学生将数学模型应用于问题解决之中，而且要通过对问题的适度变形，让问题更适合应用相关的数学模型来解决. 从这个意义上来说，数学模型与数学问题的解决应当是相辅相成、相互匹配、相互促进的. 在解决一些问题时，模型是隐形的，教师要善于归纳，善于显化. 比如教学“相似三角形”这一部分内容，当引导学生建构相似三角形判定定理的相关数学模型后，学生展开了积极的实践练习. 在实践练习中，学生根据所做的一些练习题，重点总结出了具体化的模型应用策略，如“A字形”“8字形”“双垂直形”“母子形”“三垂直形”“手拉手形”等相关的数学模型. 如果说，相似三角形判定定理的数学模型的建构有助于深化学生数学认知，那么这些数学模型的建立则有助于学生解决数学问题. 如果说，相似三角形判定定理的数学模型是人类生命实践智慧的产物，那么这些具有具体性、操作性的数学模型则是学生数学生命实践智慧的结晶. 尽管数学问题千变万化，但万变不离其宗. 善于在实践、应用中总结、提炼数学模型，有助于培育学生直观的图感、抽象的数感，能为学生综合应用相似三角形相关的判定模型奠定坚实的基础. 在实践中总结、提炼数学模型，有助于学生发现、构造相似三角形，从而解决更加复杂的相关问题.

数学模型认知是数学模型理解的基础，数学模型修正是数学模型建构的关键，数学模型迁移是数学模型应用的重要标识. 在数学教学中，教师要善于对相关的现实问题进行分析、推理，借助于模型予以证实或者证伪. 在学生的数学模型学习中，教师重点要引导学生认识数学模型的本质特征、构成要素及相互之间的联系，引导学生把握数学模型与现实问题的关联，促进学生对数学模型灵活的应用.

数学模型认知是学生模型学习的起点，而数学模型建构则是学生数学模型学习的关键，数学模型应用是学生模型学习走向成熟的标识. 只有打好坚实的基础，把握好关键、核心，才能引导学生抵达模型学习更高的起点. 数学模型认知、理解、建构、完善、迁移、应用等都有助于学生数学模型创新. 数学模型创新，不仅是学生解决数学问题的综合能力的重要标识，而且是学生数学学习能力的重要标识，更是学生数学模型素养的重要标识.

参考文献：

[1] 叶笛. 基于深度学习的初中科学课堂教学重构[J]. 教学与管理，2019（22）：53-55.

[2] 程新展. 数学课堂問题情境引入设计的五个着力点[J]. 教学与管理，2020（10）：31-33.