基于“再创造”原理的数学法则教学思考与实践

季学渊

【摘要】从初中数学法则课教学“效率”过高，引发思考和分析。结合弗赖登塔尔的再创造原理，以《同底数幂的乘法1》教学设计为案例，阐述在法则课教学中，教师怎样实施引导学生再创造，真正提高数学法则教学的效率，提升学生的核心素养。

【关键词】数学教育  教学方法  法则教学  再创造

一、问题的緣起

在一次校级教研课《有理数的减法》的课后研讨中，讨论的焦点是《有理数的减法》这条法则如何得出的。这节课是本章的难点，特别是对法则的理解，若处理不当，就突破不了难点，从而影响学生的认知。讨论中主要有以下观点：

观点一：法则课等同于习题课。有理数的减法法则是结果性的知识，不需要解释太多，重点是让学生掌握怎么计算，培养运算能力。

观点二：法则课等同于概念课。通过气温差引出有理数的减法，并借助温度计这一实际模型计算出结果，引导学生观察列出的式子和教师给出的式子间的不同与联系，归纳法则。

观点三：法则课有其自身的逻辑体系。法则即规律，各法则间有较强的联系，法则的客观性又决定了要让学生真正理解并掌握有理数的减法法则，根本在于让学生经历法则的形成过程。因此，法则教学应立足于学生已有的数学知识、数学经验，关注学生的认知特点和最近发展区，自然、有序的促进知识的生成和学生素养的发展。

审视教学实践我们发现：上述三个观点中“观点二”所反映的教学方法居多。原因主要有三：

一是只求表层，缺乏立意。就法则而论法则，教学停留在对数学法则结构的辨认和法则应用上，缺少对“法则从何而来”的探索，常常出现一节课用几分钟学法则，剩下的时间练法则的现象。生硬的法则教学较少引起学生的深度思考，导致学生对法则的理解浮于表面，最终停留在简单的模仿解题上。

二是草率设计，目中无人。以教师为中心，不考虑学生的认知特点，不重视学生的个性发展。只着眼于这一节课，忽视新的知识与学生已有数学经验、后续知识间的关系，割裂了知识间的联系，使得学生很难形成对知识体系的整体把握。

三是只重结果，轻视过程。很多一线数学教师扮演着“知识的搬运工”的角色，采用“大容量、快节奏、高强度”的教学方式将知识灌输给学生，不重视知识的自然生成，缺少对学生自主思考、探索能力的培养，学生的数学能力得不到全面的发展，不利于学生的成长。

如何才能有效处理好上述问题，把思考的时间、空间留给学生，让学生体验数学学习的有趣与精彩，经历知识的“再创造”学习，这是每个教育者需要思考的问题。

本文基于再创造原理，结合教学实践，以《同底数幂的乘法1》为例，阐述自己的观点。

二、基于再创造原理的数学法则课教学建构

（一）再创造原理的理性解读

荷兰数学教育学家弗赖登塔尔认为：教学方式是指导学习者“再创造”，即“有指导的再创造”。他强调数学教育者必须面向社会现实，必须联系日常生活实际，注意培养和发展学生从客观实际现象找出数学问题，以及把具体材料经过组织而走向高一级水平的能力，必须用“再创造”的方法去进行教学。

“再创造”的过程是学生对学习材料、数学问题，进行观察和初步了解，从而对其分类整理，逐步上升到概念化水平，经过同化，把事物的规律性，在更广的范围内认识、推广和应用。学习者的“再创造”，通过对旧知识的重组和新知识的获得，从而在“再创造”的过程中不断比较与反思，从而把实际问题通过“再创造”，经过数学化的一个过程。

通过“再创造”学习过程，它由学生自己去发现或创造将要学的东西;教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，这与把现成的知识灌输给学生两者相比较，看似后者效率更高点，但真正理解和掌握的效果，无疑是前者更有效，更能培养学生的核心素养。

（二）基于再创造原理的数学法则教学的基本架构

“再创造原理”对数学教学具有极其重要的指导意义，具体到数学法则课，主要有以下三方面的体现：

1.引导学生推导法则

初中阶段的法则是以小学数的运算法则为基础，将学生已有的数的运算法则经验作为探究新法则的起点，不断地将新法则知识纳入已有的法则网络结构中，以加深学生对知识的理解，提高学生的学习积极性和探索新知的能力。教师要在旧知与新知之间架起桥梁，将教材上的法则转化成一个个适合于学生探索的有价值的小步骤。让学生经历从特殊到一般，具体到抽象的过程，生成法则，以及验证法则的过程。让学生有兴趣参与课堂活动、有能力探究法则。放慢探究核心知识的过程，引导学生经历法则的生成与构建，让学生理解法则的本质，使教学变得自然。最终由学生抽象、概括出法则内容。让学生对法则的感性认识上升到理性思考，让学生知其然，知其所以然，从而提升数学运算的能力和逻辑推理能力，课堂上培养学生的核心素养。

教师根据再创造原理，学生经历新知的再创造过程，让学生体会如何将未知转化为已知的方法和思想。有助于学生在未来的学习中，运用这样的能力解决更多新的问题。

2.帮助学生掌握法则

学生经历法则的推导，是掌握法则的重要因素，除此之外，例题和巩固练习也是掌握法则的必经之路，应该设置分层、递进的变式来巩固法则。

选题大致可以分成四类：即基础练习，对法则的直接应用;易错点辨析，分析归纳错误的成因;横向联系应用，加强知识点之间、法则与生活的联系，加深对法则的体会;纵向提高，利用法则的推导方法，给学生机会自行推导类似的法则。

整个过程，通过追问、肯定、纠错、归纳等方式，助推学生掌握法则。

3.为学生学习后期的法则积累经验

学习的最终目的是应用，如果能够利用已学的理论和基本方法，探索解决未知问题的本领，这是教育的最终目标。对于法则课，将课堂难点放到如何引导学生推导法则上，通过导入——尝试——猜想——验证环节，看似“耗费”时间，却让学生体会了研究法则的一般方法。学生只有自己经历了法则生成的过程，才能实现低起点，高落点，实现对新知的再创造。在知识拓展环节，可以呈现更进一步的应用。

根据 “再创造”原理和我们的认识，数学法则课教学框架构建如下（见图1）。

三、基于再创造原理的数学法则教学实施

《同底数幂的乘法法则1》是在学生已经学习了乘法的意义、有理数的乘方运算和整式的加减运算的基础之上来学习的，它是学习其他乘法法则的基础，同时，也是整式运算的基础。以《同底数幂的乘法1》为研讨素材，分别从法则引入、法则推导、法则迁移、法则升华四个环节来谈谈具体实施和教学思考。

（一）法则引入

1.课前回溯

（1） 2^5 表示__________________________;

（2）10×10×10×10可以写成____________;

（3）a的底数是_________，指数是__________;

（4）（a+b）3的底数是___________;指数是___________;

（5）（-2）3的底数是__________，指数是___________;

（6）-24的底数是___________，指数是_____________.

设置前测的目的是找到该节课的知识起点，让教师能够更有针对性的进行指导。为“再创造”创设基础。教学需备教材、备学生。学生已有的经验是具体的数的乘方运算。通过回溯，有目的的帮助学生回顾数的乘方运算，唤醒学生的记忆;回顾具体数的幂的形式和意义。回顾易错点负数的指数次幂的结果的符号。

2.实例导入

书本节前导入： 光年是长度单位，1光年是指光经过一年所行的距离.光的速度大约是3×105 km/s，一颗行星与地球之间的距离为100光年，若取一年大约为3×107 秒，则这颗行星与地球之间的距离大约为多少千米？

解：1光年=3×〖10〗^5×100×3×〖10〗^7

学生的学习兴趣是达成课堂标准的关键因素，内在需求是学习的动力。导入的目的是激发学生的学习兴趣，意识到学习本堂课的必要性。此处，学生对运算〖10〗^5×〖10〗^7需要如此操作：〖10〗^5×〖10〗^7=100000×10000000=〖10〗^12。是否有更简洁的计算方法？通过认知冲突，引出课题，激发学生的求知欲望。

（二）法则推导

3.独立尝试

（1）根据自己的理解，解答下列各题.

推导法则的过程是再创造的核心，让学生經历推导过程，教师需要将抽象的法则转化为有梯度的具体知识。将法则的难点分解为一个个小问题，让学生有能力通过自己计算、观察、比较，得出猜想。经历推导，不仅加深学生对法则的印象，更是让学生体会研究问题的一般方法。

课本上“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。”即a^m∙a^n=a^（m+n），从底数、指数均为具体的数，将乘方运算转化为乘法运算，再由乘法运算，转化为幂的运算。观察底数、指数的变化，为法则的推导奠定基础;再到底数、指数部分为具体数字。学生经历从特殊到一般的探究过程，这其中的每一步虽然只是一个小小的递进，却是一个从量变到质变的飞跃。符合学生的认知过程。这也是解决数学问题的常用方法。

4.猜想并验证法则

猜想 a^m∙a^n= ？ （m，n均为正整数）分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确。

根据教师前面设置的阶梯，本节课的难点：验证底数、指数均为字母的法则，学生得到猜想：a^m∙a^n=a^（m+n）已是水到渠成。教师只需追问学生两个问题：

（1）a^m的具体意义是什么？

（2）你能否将此乘方运算转化为乘法运算？

通过具体数的乘方运算经验，根据教师的追问，学生将抽象的数的运算与具体的数的乘方运算进行类比，化解难点。学生代表上台展示证明的过程。教师随机追问其他同学每一步运算的理由。通过推导法则的层层深入，实现了学生在课堂上的主体地位。

5.总结归纳

学生通过“导入、尝试、猜想、验证”等环节，对法则有了一定的理解和体会。但缺乏高度，需要教师帮忙指导构建。教师不急于替学生总结，可以通过追问的方式，再次引发学生思考，帮助学生自己总结出所学的内容。

追问1：什么情况下可以用同底数幂乘法法则来运算？——同底、乘法。

追问2：同底数幂的乘法法则的结果是什么？——底数不变、指数相加。

追问3：同底数幂的乘法法则对指数有什么要求？——m，n均为正整数。

追问4：在法则的研究过程中，我们是怎样一步步操作，最后轻松得出结论的？——从特殊到一般，具体到抽象的研究方法。

（三）法则运用

6.例题演练

计算下列各式，结果用幂的形式表示。

（1）5^8×5^3    （2）（-3）^7×（-3）^6     （3）6^4×6

（4）x^3∙x^5     （5）2^3×（-2）^2        （6）（a-b）^2×（a-b）^4

从具体数的法则推导上升到一般数的推导并证明，最后得到结论。“再创造”过程不仅仅只是在法则的推导环节。在例题分析时，又变成具体的数的运算，为了防止学生在计算时，仍然停留在推导上，教师板演非常的重要。精心挑选例题，包含对法则的正迁移和易错点，通过正迁移，巩固法则;通过易错点，让学生在课堂上暴露问题，对知识的缺漏进行补充。

光年是长度单位，1光年是指光经过一年所行的距离.光的速度大约是3×105 km/s，一颗行星与地球之间的距离为100光年，若取一年大约为3×107 秒，则这颗行星与地球之间的距离大约为多少千米？

解：1光年=3×〖10〗^5×100×3×〖10〗^7

学习法则、应用法则，再次呈现节前引入，学生能自己解决课前问题，感受法则带来的便利，并感受学习法则的优越性。

7.巩固训练

通过形式多样的题组训练：抢答、辨析、计算、拓展等环节，难度由易到难，逐步提升，让不同能力水平的学生都能融入到课堂当中去，都能享受一节课的学习成果。

（四）课堂小结

通过追问，让学生回顾本堂课的教学过程，并作出总结。

追问1：本堂课推导了一个什么知识？——同底数幂的乘法法则

追问2：法则的内容是什么？——a^m∙a^n=a^（m+n）（m，n均为正整数）

追问3：我们是怎么将法则推导而来的？——从具体到抽象

追问4：具体运用法则时，遇到的难点是什么？——底数互为相反数，需要先转化成同底数幂。

以问题串的形式带领学生快速回顾本节课所学数学法则、法则推导过程、数学思想方法，加深学生对研究法则一般方法的印象，深化学生主动探索知识形成过程的意识，提升学生的数学核心素养。

（五）法则升华

（1）当三个或以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？怎样用公式表示？

〖 a〗^n∙a^m∙a^t=a^（n+m+t）（m，n，t>0）

（2）猜想（a^m ）^n=___________（m，n均为正整数）的值，推导并证明.

法则升华阶段，是对学有余力的学生设计的有较高思维量的练习，是学生利用课堂研究法则的方法的再探究，具有一定的挑战性。鼓励学生独立完成并证明，交流展示结果，让学生在学习中体会快乐和成就感。

再创造教学必须关注学生已有的数学现实、个性化需求，提供适合学生的“低起点”，让不同层次的学生都能参与到课堂中去，提高学生的学习兴趣。再创造教学是“有指导的再创造”，要求教师对知识有深入的理解，对可能产生的结论有充分的准备，并能够在学生需要的时候，为学生提供通往新知的“缓坡”，引导学生思维的发展，学生得以在猜想、推导、证明、归納的过程中，成为自主的学习者，不断发展数学核心素养。

参考文献

[1] [荷]弗赖登塔尔，著.陈昌平，唐瑞芬，译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2] 范良火，等.义务教育数学教科书[M].杭州：浙江教育出版社，2013.

[3] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]章建跃.数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017.