巧用对称解决立体几何最值问题

苏宁

摘 要：最值作为高中教学的一个重要内容，在考查时常与其他知识点结合，解题策略多样，所以学生在学习中感觉最值问题比较复杂.本文针对立体几何部分内容，考虑到空间几何体的结构特征，所以选择了对称性来研究，希望借此提升学生最值学习效果.

关键词：对称;立体几何;最值;应用

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0058-03

最值問题是高中教学的一个重要内容，最值一词意味着需要在可选择且较复杂的情况里进行分析计算，从而求得符合题目要求的答案，这是学生在解决最值问题时倍感困难之所在.结合最值内容考查时的综合性比较强的特点，最值内容的教学不是在一节课或者几节课中就可以让学生完全掌握的，因此，教师应贯彻在整个高中数学教学过程中.因高考涵盖模块知识较多，本文只选择立体几何问题中的最值来研究，而且只针对一类特殊处理方法应用下的立体几何最值求解来研究.

结合近几年各省份的高考模拟题真题，可以确定立体几何中的最值往往涉及长度或距离、周长或面积、体积、角度等方面.依据2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲中提出在立体几何点、线、面之间的位置关系学习中形成对空间形式的观察、分析、抽象的空间想象能力的要求，立体几何问题在解决过程中应以空间几何体为对象，充分认识几何体的结构特征.如果在立体几何最值求解问题中，能够将几何体的结构特征融入对称性质解决最值问题，不仅能提高解题效率，简化复杂的运算，还能较好地突破最值这一重难点问题.

1 对称性的理解

对称的含义就是和谐、美观.在现实世界中，对称形式各样，无处不在.段学复说“对称，照字面来讲，就是两个东西相对而又相称（或者相仿，相等）.因此，把这两个东西互换一下，好像没动一样.”数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学，对称广泛存在于代数与几何之中.数学教学融入对称的学习，既能揭示数学知识的本质，又能让学生们感受数学之美，提升学生学习兴趣和学习效果.特别地，几何中融入对称性，尤其是立体几何，空间几何体较多具备较好的结构特征，使用对称性去分析问题、解决问题能更好地建立学生的“对称观”，因此，研究立体几何中的对称性解题绝对有必要.

2 对称性在立体几何最值中的应用

2.1 对称在立体几何长度、距离最值问题中的应用

例1 O为单位正方体ABCD-A1B1C1D1侧面ADD1A1的中心，在面ABCD上存在一点P，使得OP+PC1最短，求OP+PC1的最小值.

解析 可以借助“对称性”，化曲为直来解决，具体做法为作点O关于面ABCD的对称点O1，由对称的性质得O1P=OP，所求OP+PC1的值被转化为O1P+PC1的值来处理即可，再结合三角形的三边关系可知，当O1，P，C1三点共线时值最小，最小值为122+12+322=142.图1

例2 如图1，在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥面ABCD于O，SO=2，底面边长为2，点P，Q分别在线段BD，SC上移动，求PQ两点的最短距离.

解析 题目中P，Q两点均是动点，作为空间两条异面直线上的动点，研究它们的距离的最小值必然是BD，SC两条异面直线的公垂线段，所以这个问题的关键是寻找公垂线段.

借助对称性可知，线段BD被包含SC的面OSC垂直平分，当点P运动到点O时，过点O向SC引垂线，垂线段长度即为最小值，最小值为255.

例3 如图，圆柱形玻璃杯的高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.

解析 如图为圆柱的侧面展开图，若使蚂蚁从外壁A处到内壁B处的距离最短，且从外壁进入内壁，可做A点的对称点A′，A′B即为所求，最短为（16）2+（14-5+3）2=20.

例4 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1.若BC=2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.

解析 在本题问题的解决中，实现线段和最小，需要将问题平面化处理，实现平面化最值即可解决，具体操作是将侧面PBC绕PB旋转至平面PBC′，使之与平面PBA共面，如图所示.当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值.而这种旋转可以看作旋转一定角度后对称寻找出的面PBC′，仍然是熟悉的平面问题中线段和最小问题解决的常用方法.

此时所求CE+OE的最小值为2+62.

例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若AP1∥面AEF，求线段AP1长度的取值范围.

解析 本题可以首先根据面面平行获取点P的运动轨迹在棱BB1，B1C1中点连接的线段上运动，如图2所示.

本题所求线段AP1长度变化是关于点A1与M，N中点所在直线成对称变化，根据等腰三角形的三线合一的性质，可以求得线段AP1的最大值和最小值，即AP1长度的取值范围为324，52.

2.2 对称在立体几何周长、面积最值问题中的应用

例4 二面角α-l-β的大小为60°，点P到面α的距离为2，到面β的距离为3，A∈α，B∈β，求△ABP的周长的最小值.

解析 本题采用对称处理较简单.作点P关于面α，β的对称点P1，P2，如图3所示.由对称的性质可知△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP1+BP2，当A，B，P1，P2四点共线时，周长最小，最小值为219.

例5 已知球O表面上的四点A，B，C，P满足AC=BC=2，AB=2.若四面体PABC体积的最大值为23，求球O的表面积.

解析 根据球的对称性确定四面体PABC体积取得最大值时点P的位置.当点P所在面与面ABC垂直时可根据体积的大小求出球的半径，继而求出球的表面积.设点

P到平面ABC的距离为h，则13×12×2×2×h=23，解得h=2.

设四面体ABCP外接球的半径为R，则R2=（2-R）2+12，解得R=54.

所以球O的表面积为4π×（54）2=254π.

例6 在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP+D1P最短，求其最小值.

解析 此题需要将面AA1B旋转至与面D1A1B共面，将不共面的两条线段和的最小问题通过旋转后找到A的对称点A′，转化为A′P+D1P的最小值，解得最小值为2+2.

2.3 对称在立体几何体积最值

问题中的应用

例11 设A、B、C、D是同一个半径为4的球面上的四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，求三棱锥D-ABC体积的最大值.

解析 由△ABC面积为93，设其边长为x，则34x2=93，得x=6.由正弦定理得外接圆半径为2r=6sin60°r=23.结合球的对称性可知，若求三棱锥D-ABC体积的最大值，则点D与△ABC外心，球心共线（如图所示），所以点D到面ABC的最大距离为4+42-232=6.

所以，三棱锥D-ABC体积的最大值13×93×6=183.

例12 已知AD与BC是三棱锥A-BCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且∠ABD=∠ACD=60°，求三棱锥A-BCD体积的最大值.

解析 如图，作CF⊥AD，垂足为F，连接BF.

∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF=C，BC，CF面BCF.∴AD⊥面BCF

∴V三棱锥A-BCD=V三棱锥A-BCF+V三棱锥D-BCF=13S△BCF·AF+13S△BCF·DF=13S△BCF·AD

∵AD=BC=6，∴V三棱锥A-BCD=2S△BCF

若三棱锥A-BCD体积的最大，即△BCF面积最大.

根据对称性易知，当△BCF为等腰三角形时，△BCF面积最大，三棱锥A-BCD体积的最大.

作BC中点E，连接EF，易知EF⊥BC，

∴S△BCF=2×12×BC×EF=6EF

又∵EF=CF2-CE2=CF2-9∴CF最長时，三棱锥A-BCD体积的最大.再次由对称性得到，当△ACD为等边三角形时，CF最长，CF=33，三棱锥A-BCD体积的最大为182.本题两次使用到对称性来分析何时取得最值，而在取得最值后所对应的空间几何体也结构上满足很好的对称性，体现了对称美.

例7 如图4，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c为常数，求四面体ABCD体积的最大值.

解析 因为AB+BD=AC+CD=2a，所以AB=BD=AC=CD=a时，四面体ABCD关于AD以及BC的中点E确定的平面是对称的，此时体积最大，如图5.

所以S△ADE=12×AD×EF

=12×2c×a2-1-c2，

VABCD=23c·a2-1-c2.

2.4 对称在立体几何其他最值问题中的应用

例14 已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S-ABCD内接于球.若球O2在球O1内且与平面ABCD相切，则球O2的直径的最大值.图1

解析 根据对称性可知，如图所示能得到球的直径最大.设球O1的半径为R，则（R-2）2+42=R2，解得R=5，所以球O1的直径为10，当求O2与平面ABCD相切且与球O1相切时，球O2的直径最大为10-2=8.

例8 如图6，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面BCC1B1及其边界上运动，并保持AP⊥BD1，若正方体边长为2，则|PB|的取值范围.

解析 动点运动必须确定其运动路径，满足条件的点P在定直线B1C上运动，其运动过程中所求线段长度成对称变化，点P在线段中点时最小，运动到端点时最大，所以取值范围为[2，2].

根据以上内容的陈述可知，解决立体几何最值问题时，教师可以融入对称思想，不断在教学中渗透，能够较快解决一些问题，使问题处理起来简洁、清晰，提高学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的审美能力.

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[责任编辑：李 璟]