切换正系统稳定性及l1增益性能分析

刘 教， 孔 祥 娜， 康 乐

(河北工业大学 人工智能与数据科学学院，天津 300401 )

0 引 言

切换正系统是由一组正子系统以及某种逻辑切换法则组成的特殊混杂系统[1]．由于应用范围广、设计算法易实现等优点，切换正系统成为控制领域研究的热门课题．具体到实际应用中，切换正系统可用来建立人类免疫缺陷病毒突变模型[2]以及刻画分岔路交通控制系统[3]等．但切换正系统兼具子系统之间切换特性及变量非负特性使得对其研究非常困难．

其一，子系统之间切换特性对系统稳定性分析至关重要，切换特性的不同导致系统动态特性存在差异．一般情况下，实际系统需使用多个模态进行描绘[4]，例如在电路系统中，切换特性更多地体现在开关处，即切换可能会导致系统模态的变化，进而导致系统稳定性的变化．在所研究的切换系统中，构造合适的切换策略才能使得整个切换系统稳定[5]．

其二，变量非负特性是切换正系统区别于普通切换系统的额外性质，因此会导致许多现有研究成果过于保守甚至不能直接使用．从20世纪后期至今，对系统非负特性的研究从未中断，生物学、经济学、医学等学科中均有涉猎，具体可参考文献[6-9]．与一般切换系统不同，针对切换正系统提出余正Lyapunov函数方法进行稳定性分析，能够充分利用变量非负特性，降低保守性．

对于切换正系统稳定性分析问题，结合切换系统理论及正系统理论，通常运用共同余正Lyapunov 函数和多余正Lyapunov函数方法进行研究．前者用于系统在任意切换下的稳定性分析．但在具体实践中，不可能总是确保切换系统的所有子系统都渐近稳定并共享一个Lyapunov函数，故此方法研究受约束切换情形具有局限性，转而使用多余正Lyapunov函数方法更为合理．对多余正Lyapunov函数方法的具体应用可参考文献[10-11]．

在受约束的切换信号下，切换系统的稳定性研究主要包括依时间、依状态或者两者兼存在．但在实际应用中，依状态的切换系统运行成本过高且只适用于状态可测量的系统，故而更多的研究是基于依时间的研究上．依时间的切换策略具体为驻留时间、平均驻留时间以及持续驻留时间．驻留时间策略要求两个相邻切换点之间的运行时间大于驻留时间，文献[12]采用驻留时间策略分析了连续时间切换系统的稳定性．平均驻留时间策略比驻留时间策略更为普遍，允许系统在必要时快速切换，稍后以低速切换进行补偿．文献[13]应用平均驻留时间策略对线性切换系统进行稳定性分析．持续驻留时间策略比驻留时间策略与平均驻留时间策略更具有一般性，将其区间长度进行某种限制与变化，可得到驻留时间及平均驻留时间策略均为持续驻留时间策略更为独特的情形．

已有研究大多假设所有子系统均稳定，但在具体实践中，系统不可能总是稳定的，故含有不稳定子系统的切换系统也值得深入研究．文献[14]首次对含有不稳定子系统的切换正系统进行稳定性分析．但其平均驻留时间策略要求子系统驻留时间的平均值要大于一个特定的下界，这在某些具体实践应用中不易实现．特别是限制其不稳定子系统平均驻留时间下界导致结果比较保守并且不合理，采用持续驻留时间策略研究含有不稳定子系统的切换系统更为合理．

由l2范数诱导的l2增益性能可描述外部扰动对系统输出的影响．而对于切换正系统，运用l1范数诱导的l1增益描述扰动对系统输出的影响更为合理．例如文献[15]讨论了周期分段切换正系统的稳定性和l1增益性能．文献[16]运用余正Lyapunov函数方法研究了在驻留时间策略下切换正系统的渐近稳定特性以及l1增益性能分析．尽管l1增益特征的重要性已经被广泛认知，但带有不稳定子系统的切换正系统的l1增益相关研究却很少被注意到，尤其是运用持续驻留时间策略，本文有意解决此问题．

受上述讨论启发，本文研究含有不稳定子系统的切换正系统的渐近稳定及l1增益性能问题．利用持续驻留时间策略对稳定子系统与不稳定子系统之间的切换关系进行建模，其中该切换系统的不稳定部分允许任意切换．在此基础上建立使得系统稳定的判据并计算出未加权的l1增益．

1 问题描述和预备知识

考虑如下离散时间系统：

(1)

定义1[16]在切换系统(1)中对于任意切换信号σ(k)，给定常值τ与T．若存在大于等于τ的时间间隔且间隔T内系统σ(k)取值唯一，连续两个这样的时间间隔被不超过T的间隔分开，则τ称作持续驻留时间，而T称作持续周期．

注1本文在持续驻留时间的切换规则下，时间区间可分为多个阶段，每一个阶段包含两个部分：τ部分和T部分．对切换正系统(1)，稳定子系统的运行区间被看作τ部分，不稳定子系统的运行区间被看作T部分．在T部分内允许任意切换但是T部分的长度不会超过常值T．

图1 持续驻留时间切换时序图Fig.1 The sequence diagram of persistent dwell time switching

定义2[17]对于切换系统(1)，在给定的切换信号下如果下述条件成立：

(1)当ω(k)≡0时，切换系统(1)全局一致渐近稳定；

(2)当ω(k)≠0时，在零初始条件下，满足如下不等式：

(2)

则称切换系统(1)全局一致渐近稳定且具有l1增益γ．

2 主要内容

本章给出保证含有不稳定子系统的切换正系统的稳定性及l1增益性能的充分条件，并计算持续驻留时间切换条件．接下来进行ω(k)≡0时的稳定性分析，得到如下定理．

定理1当ω(k)≡0时，给定常量μ>1，0<α<1，β>1时，如果存在一组向量νi≻0，使得对于∀i，j∈M下列不等式满足

νi-μνj0；i≠j

(3)

(4)

(5)

那么切换系统(1)在持续驻留时间满足

(6)

的切换信号下全局一致渐近稳定．

证明针对切换系统(1)构造多余正Lyapunov 函数

Vσ(k)(x(k))=xT(k)νσ(k)

(7)

对于∀i，j∈M，i≠j，由式(3)以及状态非负性可得，在切换点处，

(8)

Vi(x(k+1))<αVi(x(k))

(9)

Vi(x(k+1))<βVi(x(k))

(10)

考虑τ部分只有一个稳定子系统运行，T部分有不稳定子系统运行且允许任意切换，结合式(7)～(10)可得

Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤

μTp+1ατpβTpVσ(kp)(x(kp))

因为τp≥τ，Tp≤T，可得

Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤ηVσ(kp)(x(kp))

(11)

其中μT+1ατβT=η．由式(11)容易得

Vσ(kp)(x(kp))≤ηpVσ(k0)(x(k0))

(12)

对于∀k∈[kp，kp+1)可得

Vσ(k)(x(k))≤ηVσ(kp)(x(kp))≤ηpVσ(k0)(x(k0))

(13)

由于

(14)

(15)

其中ε2=min{νi}，ε1=max{νi}，那么

x(k)≤ληp+1Vσ(k0)(x(k0))

(16)

其中λ=ε1/ε2．根据定义1，由式(16)得切换系统(1)全局一致渐近稳定，定理得证．

注2定理1中，参数α代表稳定子系统的最小稳定裕度；参数β代表所有不稳定子系统的最大不稳定度；参数μ代表切换前后Lyapunov函数值之间的关系．在仿真中，首先确定参数α、β和μ保证定理1中式(3)～(5)成立，进而为了获得较小的持续驻留时间对参数值再进行修正．

注3对于普通系统的稳定性可构造二次型Lyapunov函数方法进行研究，即只要满足Lyapunov 函数在全状态域内均收敛就可保证稳定性．但对于切换正系统来说，由于状态正性约束，仅需要保证Lyapunov函数在非负象限的收敛性即可获得稳定性结果．此时若依然选用二次型Lyapunov函数会导致结果的保守性，因此需要寻找新的研究方法体系．本文构造余正Lyapunov 函数，此前关于二次型Lyapunov函数方法体系中的线性矩阵不等式等理论均不再适用，这造成切换正系统稳定性研究的困难．

定理2针对切换系统(1)，给定常量μ>1，0<α<1，β>1，如果存在切换向量νi≻0，i∈M，γ>0，使得式(3)及下列不等式满足

(17)

(18)

(19)

那么在持续驻留时间满足式(6)的切换信号下切换系统(1)全局一致渐近稳定且具有l1增益γ1=φγ，其中

证明ω(k)≡0时，若式(17)、(18)成立，则式(4)、(5)成立．通过定理1可得，切换系统(1)全局一致渐近稳定．下面考虑ω(k)≠0的情况．对于1≤i≤r，即稳定子系统运行时，由式(7)得

(20)

由式(17)、(19)和(20)可得

(21)

采取同样的方式，对于r+1≤i≤m，即不稳定子系统运行时有

(22)

由式(18)、(19)和(22)可得

(23)

Vσ(kp+1)(x(kp+1))≤

因此在零初始条件下，可得

(24)

由τp≥τ，Tp≤T可得(τ-1)(Tp-T)≤0，即

τTp≤Tτ+Tp-T

(25)

假设[l，k)在p阶段，有

(k-l)(Tp+1)(T+τ)=

(k-l)(TpT+Tpτ+T+τ)<

(k-l)(TpT+Tτ+Tp+τ)

(26)

且

(k-l)(T+1)(Tp+τ)=

(k-l)(TpT+Tτ+Tp+τ)

(27)

因此

上式两边均除以(Tp+τ)(T+τ)，得

(28)

令ψp[l，k)表示p阶段属于[l，k)中的区间，因此有

(29)

假设[l，k)存在n个完整的阶段，[l，k)中的切换次数满足下述不等式：

(30)

(31)

结合式(30)、(31)可得

(32)

由式(6)可得

(33)

由式(32)、(33)可得

变换积分区间得

(34)

运用代数运算和几何级数的求和公式，可得

(35)

其中

综上所述，根据定义2，可得切换系统(1)全局一致渐近稳定且具有l1增益，定理得证．

3 数值算例

考虑如下3个二阶离散切换正系统及对应的系数矩阵：

D1=(0.1 0.3)，D2=(0.4 0.2)，

D3=(0.3 0.3)

G1=(0.2 0.1)，G2=(0.1 0.2)，

G3=(0.1 0.1)

E1=(0.1)，E2=(0.2)，E3=(0.3)

外部扰动选取ω(k)=e-0.1k|sin 0.2k|．由系统参数知第1个子系统稳定，其余系统不稳定．选择参数α=0.57，β=1.36，μ=1.02，T=6．通过式(6)计算得τ=3.528 7．选取初始值x(0)=(1.2 0.5)且在时间区间[0，20]内切换信号图如图2所示，稳定子系统区间大于τ，不稳定子系统区间被限制在T之内，符合持续驻留时间策略．在此切换信号下，切换系统(1)的状态轨迹图如图3所示，可观察到系统稳定，验证了定理1的有效性．

图2 切换信号图Fig.2 The diagram of switching signal

图3 状态轨迹图Fig.3 The diagram of state trajectory

存在外部扰动时，系统的l1增益γ1与持续驻留时间的关系如图4所示，容易发现持续驻留时间增大时，l1增益呈下降趋势且有下界．

图4 l1增益与持续驻留时间关系Fig.4 Relationship between l1-gain and persistent dwell time

4 结 语

本文在持续驻留时间策略下分析了包括不稳定子系统的切换正系统的稳定性问题．相较于驻留时间策略与平均驻留时间策略，持续驻留时间策略适用范围更广．同时，通过多余正Lyapunov函数方法给出系统全局一致渐近稳定的充分条件．其次，通过线性规划问题对系统进行增益分析，求解出一个未加权的l1增益．最后，通过对含有一个稳定子系统以及两个不稳定子系统的切换系统进行仿真，验证了所采用方法的有效性．