“理”向抽象让概念自然生长

文|罗鸣亮

数学概念是数学知识的基础，又是数学思维的基本形式，而抽象则是形成概念的必要手段。《分数的再认识（一）》是北师大版五年级上册《分数的意义》单元的第一课时。在三年级下册中，学生就以直观模型为主，结合情境和直观操作，经历了分数产生的过程，初步认识了分数的意义。本课是在此基础上进一步学习的，旨在从“整体”、“分数的意义”和“分数表示数大小的相对性”三个方面进一步认识和理解分数，丰富对分数的认识。

下学校听课时，一位教师执教本课给笔者留下了深刻印象。教学紧扣本质内涵，引发学生主动借助“直观”“想象”与“思辨”三种数学语言，诠释分数意义这一形式的、抽象的概念背后隐含的深刻道理，使无形的抽象思维看得见、道得明、理得清。从而催发学生的认识由感性上升到理性，让概念学习自然生长。

一、直观——化隐为显，让抽象思维“看”得见

对于学生而言，要将“多个物体”看成整体“1”是很难理解的，与自然数“1”的确定性相比较，这和学生原有认知经验是相互矛盾的，但构建抽象、灵活的整体“1”是学生构建分数概念过程的主线。所以不管是从分数的知识结构，还是从学生的认知基础思考，对分数的再认识都需要再认识整体“1”。要使抽象的整体“1”更容易理解，就要善用、巧用几何直观，活化整体“1”的道理，使学生的抽象思维在“直观”的数学语言中化隐为显。

图1

直观不是教学的最终目的和认识的最终阶段，而是发展学生抽象思维能力强而有力的策略。学生的创作直观生动，折射出的道理却意味深长。由此，借形象的“直观”语言使“抽象”的知识浅显化，从而诠释整体“1”的深刻道理，领悟“直观”语言独有的“化隐为显”的魅力。

二、想象——化无为有，让抽象思维“道”得明

想象是思维的一种特殊形式，是数学学习的一种特殊语言。对于概念学习来说，无论是其理性，还是其抽象，都需要与之相适应的想象，使概念的本质道理摸得着、道得明，从而再现和揭示概念的本源，领悟概念的内涵。

图2

数学概念具有较强的抽象性，需要从数学的理性、抽象、厚重出发，引发学生的空间想象，将数学知识进行关联，主动创造，化无为有，使抽象的概念变得生动、具体、简单，促使学生依托“想象”的数学语言，在分析说理中提高抽象思维能力。

三、思辨——化虚为实，让抽象思维“理”得清

在本课教学中，分数的意义是基于部分与整体的关系建构起来的。整体“1”既可以表示把单个图形看作一个整体，也可以表示由多个图形、多组图形所组成的一个整体，那么与整体“1”相对应的量是动态的，具有相对性。这与自然数“1”表示数的多少的确定性有着很大的区别。针对抽象的相对性，教学从儿童的生活经验出发，返回数学知识的具象处、形象处进行探究，化虚为实，物化抽象的数学概念，使分数意义在思辨中进一步深化，体会知识应有的生命活力。

教学基于分数的初步认识和平均分的认知基础，展开“拿出正方形总数的”的活动，学生通过思考、操作，每次都能准确拿出正方形总数的个数，依次拿出8 个、4 个、2 个……但深入分析，不难发现，学生的思维此时只停留在运算的层面。为进一步深入分数意义的内涵，提出问题：“同样是拿出整体的，拿出的部分量为什么都不一样？”学生结合具体情境，借助前面部分推知整体的经验，展开辨析说理：“每次拿出的部分量不一样，是因为正方形的整体量不同。”“一样拿出整体量的，正方形总数一直在变，拿出的部分量也就跟着变。”……依托“思辨”语言，学生的思维渐趋清晰，道理逐步明朗。认识到整体与部分的关系保持不变，同一个分数，整体量不同，所对应的部分量也就不同。继而思考：“既然拿出的都不一样，为什么都能用表示？”引发学生的思维层层深入，用思辨的眼光分析问题，以已有知识和经验为基础，回归到知识的源头处异中求同，理清“只要把正方形的总数平均分成2 份，拿出的1 份都是正方形总数的”的道理。从“是什么”走向“为什么”，从感性的浅层走向理性的深层，实现具象与抽象的相互转化。再次深入其本质特征，从相对量的角度理解分数意义中的部分与整体的关系，感悟不管整体“1”的数量是多少，只要我们把它平均分成两份，这样的一份都能用来表示。从而进一步加深认识分数意义的内涵，引发学生数学抽象思维能力向纵深发展。

数学概念是理性的、抽象的、形式化的，教学要引领学生透过形式化的概念呈现，依托直观、想象、思辨三种数学语言，一次次化隐为显、化无为有、化虚为实。从而迈过抽象概括过程中的一道道“坎”，深入理性的本质，于直观中“看”见整体“1”的道理，于想象中“道”明分数意义的本质，于思辨中“理”清分数意义的内涵，使抽象的概念看得见、道得明、理得清。引领学生在“理”中无缝链接具象与抽象，促使学生全面经历知识的形成和发展过程，由此及彼，由表及里，深刻把握概念的内涵和本质特征，使概念学习得以自然生长，抽象思维逐渐走向深入。