代数方程中符号的演变史

徐品方

方程的基本要素是已知量和未知量，这些已知量、未知量都是用符号来表示的，而这些符号的形成却经历了一个长期、复杂的历史过程.下面我们就来看看祖先们是怎样用符号来表示代数式、代数方程，描述解方程的过程的.

古巴比伦人曾在泥板书中用楔形文字与符号，描述了用配方法解一元二次方程的过程.公元前1650年，古埃及阿默斯（Ahmes，古埃及抄写员）在《莱茵德纸草书》中写下了一串如图1所示的符号.图1相当于一次方程 xè（?）+ + +1?（?）=37.1

这是最早用象形文字来表示代数方程的，虽然可用，但很繁杂.图2是《莱茵德纸草书》中的一个方程问题.2

该题翻译出来是：“一个量加上它的，等于19，求这个量.”原书中的解法很繁琐，因为埃及的分数，除之外全部都是“单分数”（即分子是1的分数），没有出现这样的分数.原书的答案是16++（下面简写成16），是用试位法解出的，即先设一个答案x1=7，于是 x1+= 8，再在两边同时乘上 ，右端是19.因此，正确答案是 x1=16=16 .当然，该题用现代解法很简单，相当于解一次方程x+=8，其解为 x =16.丢番图

1700年前，古希腊代数鼻祖丢番图（Diophantus，约246～330年）曾经创设了一套数学符号，这是近世符号代数的开端.但因丢番图的手稿早已失传，后人传抄的手稿又不统一，我们很难确知他用的是什么符号.在留传下来的一本不全的《算术》里，我们看到他第一次用符号S表示未知数.此外，丢番图还创造了未知数幂的符号.例如他用sα表示 x ，用 ssβˉ表示2x，用 sss 表示3x;将代数式x2+2x+3表示为Δy sβˉ ;把x6-5x4- x2-3x-2写成 kyk Δy↑Δy s βˉ，其中Δy ，ky 分别表示x2，x3， 为数单位元素符号，↑为减号;把代数方程式630x2+73x =6写成，这里Δy 为x2，λ为630，s 为x，or为73，为等号，为6.丢番图创造的这一套符号，虽然有许多缺陷，但是对代数方程的发展起到了很大的作用.

大约在公元3世纪，表示已知数与未知数的符号开始“萌芽”.古希腊数学家基奥芬特（约公元3世纪）用 s′表 x，用表示 x2，把方程（x2+8x）-（5x2+1）=x 表示为，这里=1， =8， ↑为减号，=5， τ为等号，而表明数1没有未知数.

公元7世纪，印度数学家婆罗摩笈多曾用字头表示x，表示y.例如，他把ox2+10x-8写成 ，这里ba 是平方数，py 是常数项，表示-8.有时他用字头表示未知数，如方程3x2+10x-8= x2+1，他将其写成.另有资料说，他又用、表示 ox2+10x-8=x2+ox+1.这里ya 表示x，V表x 的二次，o 为系数，故yaVo 表示ox2.

成书于公元前1世纪的《九章算术》中就记有方程，相当于今天的方程组，书中用不同位置的算筹表示未知数及其次数，只需用算筹摆出方程的系数即可得出方程的解.这种解法类似于现今的矩阵运算，其不足是没有创立明确的符号.但是，《九章算术》的方程术采用分离系数法，将算筹排列在特定的位置表示特定的未知数，显然这是一种没有未知数符号的表达形式，但已表明我国古代已有用符号表示未知数的思想，这为后来“天元术”的产生奠定了基础.后来，我国古代数学家把布列一元方程的方法叫做“天元术”，并且将其发展成解一元高次方程的方法.在“天元術”中，未知数被称为“天元”，记作“元”，相当于在列方程解应用题的步骤中“设元”;常数被叫做“太极”，简记“太”.“天元”这一名称首次出现于南宋数学大师秦九韶的《数书九章》（1247年）中，后来金元另一位数学大师李冶（1192～1279年）对此作了很大的改进.人们将依题意列成的代数式称为“天元式”，相当于代数式.

我国古代用算筹自上而下列成方阵来表示代数式或方程.南宋秦九韶引入了一元高次方程的一般解法，除了用位置表示未知数及其次数外，还用“实”表负常数项，用“方”表示一次项系数，用“隔”表示最高项系数，用“廉”表示其余系数.李冶在其数学著作中，在筹旁注上“元”或“太”字，分别用来表示一次项或常数项.例如，他把代数式2x2-5x +4记作

这里，前者注有“太”字的项表示常数4，而表示-5x.李冶在《益古演段》的第23问里，把方程25x2+280x-6905=0记为

这里也标出了常数项“太”和一次项“元”，显然，这是一种半符号代数.

古人常把代数式系数的每一项用一个文字作记号，如常数项用“人”表示，含未知数一次项以上各项系数分别用“天”“上”“高”“层”“垒”“汉”“霄”“明”“仙”等符号表示，最高次项为9次;常数项以下为负数次幂，最低为负9次，分别用“地”“下”“低”“减”“落”“逝”“泉”“暗”“鬼”等符号表示.图3中这19个字分别标注在筹旁，此筹式相当于代数式a9x9+a8x8+…+a1x +c +b1x +b2x-2+…+b8x-8+b9x-9.

李冶将这些前人的记号简化为一个“太”或“元”，依升幂或降幂排列规律就可知其方程.李冶的这一套记号，成为宋朝以后我国古数学宝库里的“稀世之珍”，广为流传.

“变量”又称“变数”，首次出现在数学翻译家李善兰（1811～1882年）、英国伟烈亚力（Alexander Wylie，1815～1887年）合译的《代微积拾级》的书中.他们用甲、乙、丙、丁等天干和子、丑、寅、卯等十二地支以及天、地、人、物等26个字表示英文26个小写字母a，b， c，……和x，y，z，……符号，并且还各加上口旁，如呷、……来代替大写字母A，B，C，…用角、亢、氏、序……二十八宿名称代替希腊字母.

后来，李善兰逐步引入西方符号，采用“中西合流”的方式表示代数式和方程，如《代数备旨》（1896年）内一个习题的两个根式 和 ，他将其译成直式：

又如，在《代形合参》（1893年）内的一个习题的椭圆方程25y2+16x2=400，他将其译成直式：

今天看来，这种“中西结合”的符号十分繁杂，让人觉得很别扭.直到20世纪初，我们的代数符号才与世界接轨，与今天的符号一样，并且被改为横排，沿用至今.

继希腊、印度和中国之后，在代数符号的发展史上，欧洲人立下了汗马功劳.意大利的斐波那契在1202年用文字表方程：duo census et decem radi? ces equantur demariis 30表示2x2+10x=30.

15世纪阿拉伯人盖拉萨迪用表示x2+10x=56.德国人谬勒（J.Miller，1436～1476年，笔名雷格蒙塔努斯）在1473年曾用表示40x2+120x=800.

1484年，法国数学家许凯在数学著作《三部曲》里，用128、105和1208分别表示代数式12x3、10x5和120x8，首开指数幂与代数式的先河.他还用 表示8x2+12x2=20x2.

1494年，意大利修道士帕乔利在著作《集成》里，曾用字头co（来自Cosa“事物”）代表未知数x，字头ce 代表x2，cu代表x3……

在欧洲，不同时期的方程又有不同的表示.例如1514年，德国数学家斯蒂菲尔（M.Stifel，1487～1567年）将方程x3+5x=12记为（这里Ω表示 x3，s2e 表示5x，表示“相等”即等号）.德国人路多尔夫在1525年曾用表示x2=12x-36.1535年，奥地利人施雷勃尔用30se，-2pri，-56N 表示多项式30x2-2x-56.1537年荷兰人赫克（V.Hoec- ka）用表示4x2-51x -30=45

1545年，意大利卡尔达诺（G.Cardano）用 表示x3+5x=12（其中 Cubus 表示立方，P 表示加号“+”，Positio 表示未知数x，表示等号）.

1552年，意大利人格利盖用表示现代方程 x4-4x2=4x2.其中小正方形“口”（中国古代缺字早用此记号）表示x2，0m 表示减号，“-”表等号.

1550年，德国人申贝尔用表示4x2+3x=217.这里未知数符号“Pri”表示 x2，ra 表示 x，217N 中的“N”表常数项.

1559年，法国数学家比奥特用表示x3-6x2+4x+9=24.他用六面体图形“”来表示x3（前面“1”为系数），“M”是减号，四边形“?”表示x2，P 为加号，“ρ”表示x，“τ”表示等号.

1572年，意大利的邦别利创用或表示 x6+8x3=20.

1557年，英国人雷科德创用表示14x2-15x =71x.这里用“”表示 x2，“”表示x.

1572年，德国人莱布尼茨仿照邦别利，用表示x3+5x=12.有趣的是，同一方程“x3+5x=12”.法国人韦达在1591年将其记为 ，而英国人哈里奥特1631年出版的书中则用aaa+5a=12表示 x3+5x =12.显然，他的记号比较接近现代通用的方程符号了，但前后却经历了100多年.韦达《论方程的检查与订正》中的一页

1577年，法国人戈塞林用67QP8LM12CM18QQM35表示多项式67x2+8x-12x3-18x4-35，同时用1LP2qM20aequaliasuntlLP30表示方程x+2y-20=x+30.这里，他用“Q”表示x2，“QQ”表示x4，“L”表示x，“C”表示x3，“q”表示第二个未知数y.“P”“M”分别表示加、减号.

1585年，生于比利时的荷兰人斯蒂文用+12①+48表示x3=-2x2+12x+48.

1615年，他又用 Acubus + Bplano 3 in A，ae? quarl Z solido 2表示x2+3B2x=2Z3.

1608年，德国人克拉维斯用表示3x+4y=29770.这里“”表示x，表示y.

1629年，法国人吉拉尔用表示 x3=12x -18.随着时间的推移，代数方程的符号日趋简洁，逐渐发展成现代方程中的符号.

1631年，英国人奥特雷德用 z± ： zq -AE =A 表示 z ± =A .

1634年，法国人厄里岗（P.Herigone）用154a～71a2+14a3～a42/2120表示154a-71a2+14a3-a4=120.

1637年，法国人笛卡儿用x3-9xx+26x-表示 x3-9x2+26x-4=0.从此开始用x，y，z 等拉丁字母表示未知数了.

1693年，英国人沃利斯用 x4+bx3-cxx +dx +e =0表示 x4+bx3-cx2+dx +e =0，此后就发展为现代的代数方程符号了.从1484年开始至1637年，前后历经了153年，方程中的各种符号才最终形成.

当然，对代数方程贡献最大的是韦达和笛卡儿（R. Descartes，1596～1650年）.1591年韦达首创用元音（又叫母音）A，E，I，O，U，Y（a，e，i，o，u，y）表示未知数，用辅音（又叫子音）B，C，D，G，…（b，c，d，g，…）表示常数.在名著《论方程的检查与订正》中就记载有他的方程，用1C+30Q-44N，a quatur1560表示方程 x3+30x2-44x =1560.在1637年，笛卡儿用字母表中前面的一些字母 a，b，c，……表示已知数，用末尾的一些字母 x，y， z，……表示未知数.笛卡儿的方程已十分接近现代方程的形式，但未使用等号.笛卡儿的这一改革，跨出了划时代的一步，该用法成了当今方程中通用的方法.

当然，韦达、笛卡儿都是用字母表示方程中的正数.后来，荷兰数学家赫德（J.Hudde，1633？～1704年）在1657年，首先用相同的字母（或符号）表示方程的正负系数.最后法国数学家厄里岗（P.Herigone，17世纪）又改进了韦达的符号，用a2表示a.a，用a3代表a.a.a 等，方程符号就更加完美.从此用文字缩写式表示代数式的方法逐渐被废弃.

经历了三千多个春秋，现在通用的字母表示方程、解方程的方法终于“诞生”了，人们真正有了打开未知世界大门的一把金钥匙，正式告别了用文字（或缩写）表示方程的历史.方程中符号的演变促进了初等代数的发展，使代数成为可与几何媲美的一个庞大的分支.

——摘自《数学符号史》