例谈基本不等式的配凑技巧

陆咸娟

基本不等式：a，b ∈ R+ ，a + b ≥ 2 ab .基本不等式在解答高中数学问题中应用广泛，尤其在求函数的最值、值域以及参数的范围时，运用基本不等式能快速求得问题的答案.在运用基本不等式时需确保三个前提条件成立，即（1）两个数为正数;（2）两数的和或积为定值;（3）当且仅当 a=b 时取“=”号.第一、三个条件一般很容易找到，第二条件却很难得到.下面重点谈一谈如何配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.

一、分离常数

对于含有分式，且分子的最高次数高于分母的最高次数的代数式，在求其最值时，我们需要将分子配凑成分母的倍数，将其化简为“整式+分式”的形式，这样便将常数分离.再将整式配凑为分式分母的倍数，两式的乘积便为定值，就能直接运用基本不等式解题.

例1 .

解：我们先将函数式变形，将分子配凑为分母的倍数，使常数分离，将分式变形为 y = ag（x）+ bg（x）+ c 的形式，这样使两式的积为定值.

二、“1”的代换

“1”的代换法通常适用于“已知 a + b = 1或ab = 1，求 ma + nb（m，n为常数）的最值”问题.在解题时，可将“1”代入目标式中，通过化简得到 m + n + nba + mab .而

nba ，mab 的积为定值，这样就能运用基本不等式来求得目标式的最值.

例 2 .已知 a > 0，b > 0，a + 2b = 1 ，求 t = 1a + 1b 的最小值.

解：

在求解此题时，我们可直接在目标式的左右乘以1，通过“1”的代换将目标式转化为与的和式，而与 的积为定值，这样便可利用基本不等式求t 的最小值.

三、凑系数

有时为了方便运用基本不等式解题，我们需将代数式中的系数进行调整，可通過乘以、除以、加上、减去某个常数，配凑出相同的系数，以便使两式的和或积为定值.在凑系数时，我们需将两式进行对比，以明确其中缺少的系数，再进行配凑.

例3.若 x ∈（0，），求函数 y =x（5-2x）的最大值.

解：y =x（5-2x）=∙2x（5-2x）≤（）2≤ × = ，当且仅当2x =5-2x 时，即x = 时取等号，所以 y =x（5-2x）的最大值为 .

对于形如 y =ax（b -cx）、y =ax 的代数式，可以利用凑系数的方法将代数式转化为 y = cx（b -cx）、y = a  x ，然后直接利用基本不等式求最值.

基本不等式的配凑技巧还有很多种，如添减项、换元等.在配凑时，同学们要仔细观察函数式的结构特征，如函数式中含有分式、绝对值，为乘积、和的形式等，然后将其进行变形、整合，如分离常数、进行“1”的代换、凑系数等配凑出两式的和或者积，并使其一为定值，这样就能方便运用基本不等式求得最值.

（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）