怎样运用正、余弦定理解答有关三角形的问题

李小奎

正弦定理：= = =2R ;余弦定理：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=c2+a2-2ca cosB，c2=a2+b2-2ab cos C（其中三角形ABC 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c）.正、余弦定理在解答有关三角形问题中应用广泛.下面结合实例来谈一谈如何运用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形狀、求三角形的面积.

一、利用正、余弦定理解三角形

在解三角形问题时，经常要用到正、余弦定理.正弦定理一般可用于求解两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两个角与一条边，求其他两条边与另一个角;（2）已知三角形的任意两边与其中一条边的对角，求其他的角与边.余弦定理可用于求解两类解三角形问题：（1）已知三角形的三条边，求三个角;（2）已知两条边和它们的夹角，求第三边和其它两个角.在运用正余弦定理解题时，只需将已知的边角或边角关系代入两个定理中，建立等量关系式，根据三角函数就能求得相应的边、角.

例1.在△ABC中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若2 sinB = sinA + sin C，cosB = ，且 S△ABC =6，则 b =_____.

解：在△ABC 中，由正弦定理可得，2b =a +c，①由余弦定理可得，b2=a2+c2-2ac × =（a +c）2- ac，由 cosB =，得sinB =，故S△ABC = ac × =6，③由①②③得，b =4.

解答本题主要运用了正余弦定理.已知的关系式2 sinB = sinA + sin C 中含有三个角的正弦函数，于是运用正弦定理将角化为边，建立与三条边相关的关系式，然后根据余弦定理和三角形的面积公式建立另外两个有关三条边的关系式，通过解方程组求得b的长度.

二、利用正、余弦定理判断三角形的形状

利用正、余弦定理判断三角形的形状有两种思路：①利用正余弦定理将角化为边，建立三角形的三条边之间的关系，从而判断三角形的形状.若两条边相等，则该三角形为等腰三角形;若三条边相等，则该三角形为等边三角形，若 b2=c2+a2，则该三角形为直角三角形.②利用正余弦定理将边化为角，通过三角恒等变换，建立关于三角形三个角之间的关系.若两个角相等，则该三角形为等腰三角形;若三个角相等，则该三角形为等边三角形，若其中一个角为90°，则该三角形为直角三角形.

例2.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，

若 = ，（b + c +a）（b +c -a）=3bc，则△ABC 的形状

为（ ）.

A.直角三角形     B.等腰非等边三角形

C.等边三角形     D.钝角三角形

解：∵ = ，∴ = ，∴ b =c.

又（b +c +a）（b +c -a）=3bc，

∴b2+c2-a2=bc，∴ cosA = = = .∵ A∈（0， π），∴ A =，∴△ABC 是等边三角形.

我们先根据正弦定理将角的关系式转化为边的关系式，明确了b、c 之间的关系，再根据余弦定理求得角A 的大小，从而证明该三角形为等边三角形.在判断三角形的过程中，同学们要注意挖掘“三角形的三个内角和为180°”以及“大角对大边，小角对小边”的隐含信息.

三、利用正、余弦定理求三角形的面积

我们知道三角形的面积公式为 S = ab sin C ，该公式不仅涉及了三角形的内角，还涉及了三角形的两条边.因此在求三角形的面积时，我们可灵活运用正弦定理求得三角形内角的正弦值，根据余弦定理求得三角形两条边及其关系式，这样便可快速求得三角形的面积.

例3.已知∆ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别

为 a，b，c，若 b =6，a =2c，B = ，求∆ABC 的面积.

解：由余弦定理得：b2=c2+a2-2ac cosB ，

∵ b =6， a =2c，B = ，

∴36=4c2+c2-2×2c2× ，∴ c =2 ， a =4 ，

∴S∆ABC = ac sinB = ×4 ×2 ×=6 .

解答本题，需先根据余弦定理和已知条件求得边 a、c 的值，然后根据三角形的面积公式求得三角形的面积.

正、余弦定理是解答与三角形相关问题的重要“工具”，因此同学们要熟练掌握正余弦定理及其本质，根据解题的需求，合理地进行边角互化.一般地，若已知的角较多，可选用正弦定理来解题;若已知的边较多，则需用余弦定理求解.

（作者单位：甘肃省平凉市静宁县第二中学）