对一道不等式恒成立问题解法的探究

李新慧

不等式恒成立问题是使不等式在某个条件下恒成立的问题，常与函数、方程、三角函数、导数、线性规划等知识相结合.解答此类问题可以从多个角度探究，寻找合适的解题思路.下面以一道题为例，探究一下解答不等式恒成立问题的方法.

題目：已知函数 fx=ax2+bx+c 的图象过点-1，0，问当 a， b， c 为何值时，不等式 x ≤fx≤（1+x2）对一切实数 x 都成立？

仔细分析题目不难发现，需从函数的解析式和目标不等式出发，建立关于常数a 、b 、c 之间的关系式，以确定使不等式恒成立的条件.通过研究，笔者找到了以下两种思路.

一、运用方程思想求解

不等式与方程的关系紧密.在解答不等式恒成立问题时，我们可将不等式与方程关联起来，根据题意构造方程，如通过赋值，令不等式或其中的某一部分式子为0等方式来构造方程，然后通过解方程或者方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系、判别式来解题.对于本题，我们可从特例出发，分别令x =0、1，构造关于a、b、c 的方程组，建立关于a、b、c 的关系式，求得使不等式恒成立的a、b、c 的值.

解：因为函数 fx=ax2+bx +c 的图象过点-1，0，

所以 a -b +c =0.又因为 x ≤fx≤1+x2对一切实数 x 都成立，令 x =0，有0≤ c ≤;令 x =1，则1≤ a +b +c ≤1，所以 a +b +c =1.联立方程组a（a） b（b） c（c） 得 b = ，c = -a，所以0≤ -a ≤，所以0≤ a ≤ .将 b = ，c = -a ，代入 x ≤fx≤（1+x2）中，可得î（ì） x-2-2a 1--x 其解集为 R .当 a =0或 时，上述不等式不能对一切实数 x 都成立，所以0<a<.又因为Δ1=1-8a1-2a≤0，Δ2=1-8a（1-2a）≤0得出4a -12≤0，所以 a =c = .综上所述，当 a =，b =， c = 时不等式x ≤fx≤1+x2对一切实数x 都成立.

二、数形结合

数形结合是解答不等式问题的重要手段.在解答不等式恒成立问题时，可根据不等式的结构特征，构造合适的函数模型，然后画出函数的图象，通过分析函数图象的交点、增减性、对称性、最高点、最低点、切点等，建立使不等式恒成立的关系式，即可解题.对于本题，需分别构造函数 gx=x 、hx=1+x2，根据两函数的图象讨论 fx=ax2+bx+c 的位置，与新构造的两个函数图象的交点、切点，建立关系式求得a 的值，进而得到b 、c 的值.

解：

可见，解答不等式恒成立问题，需展开联想，善于迁移知识，运用发散性思维，将不等式与方程、函数等知识关联起来，从不同的角度寻找解题的方案.解答不等式恒成立问题的方法还有很多种，同学们在日常学习中要注意总结、积累解题的经验.

本文系甘肃省“十三五”教育规划课题《基于核心素养导向和高考评价体系的高中数学情境教学策略开发与研究》研究成果，课题编号GS【2020】GHB2144.

（作者单位：甘肃省酒泉中学）