例谈求解平面向量最值问题的几种路径

李云龙

平面向量最值问题常常涉及了向量的模、向量的夹角、向量的数量积、参数、几何图形等.此类问题的综合性较强，对运算能力和综合分析能力的要求较高.本文主要介绍三种求解平面向量最值问题的路径.

一、构建坐标系

有些平面向量最值问题较为复杂，很难快速理清其中的几何关系，或某些点的位置不确定，此时可根据几何图形的特點构建合适的平面直角坐标系，求出各个点、线段的向量坐标，通过向量坐标运算来求得问题的答案.

例1.已知在矩形 ABCD 中，AB =2，AD =1，点 P，Q 分别在边 BC ，CD 上运动，∠PAQ =45°，则求B M C N AD =1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且B C =C D，求的最大值.

解：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x轴，y轴，建立如图 1 所示的平面直角坐标系.由 AB = 2，AD = 1，可知 A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）.设点 P（2，y），Q（x，1），其中 0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 1.由 ∠PAQ = 45°可得，即，所以 ， 当且仅当 ，即 y = 2 2 - 2 时等号成立，故 的最小值为 .

由于本题中 P、Q 的位置不确定，很难建立关于P、Q 的关系式，于是根据矩形 ABCD 的性质、特点建立平面直角坐标系，运用坐标法来解题.这样便将向量的数量积问题转化为向量的坐标运算问题，运用向量的坐标运算法则和基本不等式来求解即可求得最值.

二、运用函数的性质

在求最值时常需用到函数的性质：单调性和有界性.在求解平面向量的最值问题时，我们也可先根据题意求得目标式，然后将其看作函数式，将问题转化为函数最值问题，通过讨论函数的单调性、有界性，求得函数的最值.

例 2 .在

解：

我们先以 A B，A D 为基底，求得 A M、A N 的表达式，再引入参数λ，将目标式转化为关于λ的二次函数式，借助二次函数的单调性和有界性求得最大值.

三、数形结合

平面向量兼有代数、几何两重身份，因此在解答平面向量最值问题时，可将数形结合起来，运用数形结合思想来解题.首先根据题意画出相应的几何图形，通过分析图形的性质、位置关系，根据三角形法则、平行四边形法则建立相关的关系式，求得问题的答案.

例3.最小值.

解：

向量的不等关系中蕴含着几何关系.在解答本题时，可根据已知不等式构造单位圆以及三角形，通过分析图形中点的位置，求得最值.

相比较而言，第三种路径最为简单，第一、二种路径虽然比较常用，但是运算量较大.可见，解答平面向量最值问题，可从多方面进行考虑，如从向量坐标运算、函数的性质、几何图形等方面来解题.

（作者单位：江苏省高邮中学）