基于BOPPPS模型的旋转体体积的教学设计

张智勇， 郑 嘉

(中央民族大学 理学院，北京100081)

1 引 言

教育部关于《一流本科课程建设的实施意见》指出，“课程是人才培养的核心要素，课程质量直接决定人才培养质量”.当前，“千禧宝宝”已经长大成为大学课程对象的主体，面对集“学习自主化、生活网络化、理想务实化，处世理性化”[1]等特征于一身的“零零”后大学生，大学课程教学设计方案势必要充分考虑这一群体特征才能提高课程质量，实现人才培养目标.

高等数学是高等院校理工科专业大学一年级新生的核心基础课程，部分学校如中国人民大学、中国传媒大学等在文史哲专业也同样开设相关课程.旋转体体积是高等数学课程的重要内容之一，同时也是数学、信息与计算科学专业所学数学分析课程的重要知识点[2].这部分内容既是定积分思想的理论延伸，同时也涉及“面动成体”的几何框架，以及思想方法在自然科学和工程技术等领域的应用，因此探索旋转体体积的有效教学思路是一个非常值得高校教师关注的问题.

通过调研北京部分理工类高校对高等数学中旋转体体积这部分内容的教学设计方案，发现当前的教学方案主要以课本中的实例结合PPT展示来讲解旋转体的形成过程，然后介绍基于定积分思想的微元法来推导旋转体体积公式，最后再应用到物理、几何等领域中的具体问题.这个教学方案侧重微元法的实施步骤，机械化的推导出体积公式，对内容的应用重视不够，因此在实际教学过程中部分学生并不能很好地理解公式的推导过程，从而导致后续一些体积公式的繁衍及应用更是死记硬背，做成“夹生饭”.同时，在教学过程中很少提及内容相关的科研进展，即使偶尔有所涉及，也是一带而过，没有得到老师和学生的充分重视，导致教学与科研相结合的教学思路也没有得到很好的展开.尽管基于微元法的思想，一些教师给出了体积公式的多种推导方法及应用[3-4]，但是基于班级整体水平的差异等原因考虑，这些方法在实际教学过程中很少详细讲解，只是告诉学生存在多种方法能处理这个问题，从而学生对扩展内容没有真正的领会贯通，出现部分同学“吃不饱”的现象.

总体上讲，旋转体体积的教学模式以“传统板书讲解+多媒体课件演示+思想方法有限延伸”为主，不能有效激发学生学习的兴趣也不能使学生在后续课程中融会贯通，存在一定的局限性.同时，由于所授课班级的学生构成较复杂并且学习基础有一定的差异性，因此非常有必要针对学生的差异性进行有针对性的课程设计. 本文结合教学理论与实践，针对所授课学生的差异性，同时充分考虑“零零”后大学生的特征，以旋转体体积为例，提出一种有效教学设计方案，旨在使全体学生既能掌握教学内容，又能将所学内容与实际问题相关联，激发学生的科研兴趣，促进学生分类成长，进而为后续专业课程的学习以及数学应用能力的培养奠定坚实的基础.

2 基于BOPPPS有效教学模型的教学设计

BOPPPS是加拿大教师技能培训中广泛推行的一种教学模式，近年来在国内受到广泛关注[5]，尤其在大学数学类课程教学方面也有了深层次应用[6].BOPPPS有效教学模式由“导入”“建立目标”“前测”“参与式教学”“后测”及“总结”六环节组成，这种分解具有良好的教学可操作性，并能了解学生的掌握状况，及时调整教学深度和维度.因此，本文基于BOPPPS模型来完成旋转体体积这部分内容的教学设计.

2.1 导入

当前引入旋转体的具体方法是老师口头讲述生活中一些旋转体实例，然后利用PPT展示部分实例，接下来就是利用微元法来推导旋转体的体积公式.这种讲解思路是高中立体几何课程的常用思路，因此一般来讲，学生对这些实例已经非常清楚，即使一些教师会利用“时髦”的物品，例如3D打印产品等，来切入旋转体，但是学生一看之后大脑仍然回归原有的实例.因此，学生对旋转体已经有了初步的认识，不清楚为什么还要重新学习，潜意识里已然存在一定的不感兴趣因素.尤其对于“零零”后大学生，其“现实性”的特点使得对于无用或者无意义的知识天然地产生抵触.因此，在设计引入环节时，从学生熟悉的规则几何体入手，寻找“知其然但不知其所以然”的引例来激发学生兴趣.如借助大家熟知的圆柱体积公式和圆锥体积公式，引出问题：

问题同底等高的三角形的面积是矩形的1/2，为什么沿着同一旋转轴旋转后的体积会相差1/3呢？

为了使学生对此问题的思考更加深入，这些带有挑战性的问题可以在上节课结尾或者课前通过微视频等方式发布，并对问题给出必要的提示，提供参考文献.例如，对上面的问题可以提示学生考虑平面面积和旋转距离这两个因素.这个环节，多鼓励学生查阅参考文献，培养思考、探索和解决问题的能力，注入科学研究的思想.

2.2 学习目标

“零零”后学生务实的特点使得学生在学习之前必须有清晰的目标.开宗明义，在本堂课开始时明确本节课的学习目标，并且贯穿整个课堂.具体为

(i) 理论: 掌握旋转体体积公式的推导，并能熟练解决各类旋转体体积的计算问题；

(ii) 应用: 能够利用体积公式解决生活中的实际问题，使得部分学生能够结合具体问题，开展科学研究.

2.3 前测

本节课所需课前知识是微元法，因此利用口头提问的方式进行前测，旨在探测学生对于微元法的掌握情况.提问采用学习通平台随机点名的方式，调动学生课前复习积极性，活跃课堂气氛.

2.4 参与式学习

参与式学习是BOPPPS教学模式的核心模块，同时也契合“零零”后大学生学习自主性特点的关键环节.

2.4.1 实物展示

课前布置学生以小组为单位寻找日常生活中或者专业课学习中遇见的非规则旋转几何体.通过观察生产、生活中的旋转体发现问题，即除了圆锥体、圆柱体这种有计算公式的旋转体，其他旋转体的体积应该如何计算呢？另一方面，由于问题是学生自己发现的，也进一步加深所学知识的应用背景，并要求在实物展示时要说明该旋转体是如何形成的.

2.4.2 动态演示

在总结学生实物展示的基础上，利用可视化手段演示一般旋转体形成过程.多媒体等现代化技术手段已经成为人们日常生活学习的一部分，因此在教学过程中要充分利用多媒体手段，增强教学内容的吸引力.在平面图形绕旋转轴旋转过程中，借助符号计算软件Mathematica，动态演示平面图形绕旋转轴生成旋转体的具体过程，见图1.这样不仅可以进一步增强学生对旋转体的理解，还能够带动学生学习符号计算软件的热情，把“吸引人”的计算机与“抽象”的数学结合起来.

图1 借助Mathematica演示旋转体形成过程

这样引导学生逻辑清晰的从“规则图形”到“不规则图形”，旋转轴从“坐标轴”到“平行坐标轴”到“不平行坐标轴”的转化，慢慢切入到旋转体体积公式的推导，这个过程中自然而然会遇到已有知识不能解决的问题，促使学生探索新方法新思路来处理这些问题.

2.4.3 解决问题

针对学生拿到的实物提出相应的实际问题：以矿泉水瓶为例，判断饮料瓶标注的容积是否与实际的容量相符，使学生能够切实体会到书本上的知识在现实生活中能找到对应的原型.

步骤1：矿泉水瓶的形成(小组讨论)

矿泉水瓶由哪些平面图形旋转而成，模拟围成平面图形的(分段)函数？ 例如， 图2.

图2 平面图形旋转成矿泉水瓶

步骤2：计算矿泉水瓶容积(体积)

在小组讨论过程中根据观察各组解决问题的思路和进度，适时引入实物洋葱，通过提示如何计算洋葱的体积从而自然引导学生考虑计算旋转体体积的柱壳法，进而让学生利用微元法解决旋转体体积的计算问题.

2.4.4 问题抽象

以旋转轴作为研究对象，将问题分三大类：即y轴和平行y轴的直线、x轴和平行x轴的直线以及斜直线y=kx+l，讲解过程有侧重点，重点讲解第一类，学生自行推导第二类，简单介绍第三类的具体思路，鼓励有精力的同学课后完成.通过分类讲解，使学生能够明确微元选取方向与旋转轴的关系，同时准确确定微元和积分区间，清晰掌握各类旋转体体积公式的推导.同时对于给定的问题，能够准确判定问题的归属类别，并能利用公式进行计算.具体分类情况如图3-图8所示.

特别的，对于绕y轴旋转的柱壳法，要详细讲解微元公式的推导过程：首先，取切条[x，x+dx]，然后将切条绕着y轴旋转一周得到一个柱壳，体积为

ΔV≈π[(x+dx)2-x2]y=π[2xdx+(dx)2]y≈2πxydx=dV.

图3 绕x轴旋转 图4 绕直线x=c旋转

图5 绕y轴旋转 图6 绕直线y=c旋转

图7 绕直线y=kx+l旋转 图8 绕y轴旋转的柱壳法

最后，对于同一个平面图形，把旋转轴为y轴和x=c轴、x轴和y=c轴分别进行对比，观察所得到的旋转体体积公式的区别，并利用具体实例进行验证.在学生总结的基础上，重点向学生强调旋转体的体积与坐标系的选择没有关系，只是在不同坐标系下旋转体体积的定积分表示不同，进而导致计算量不同，但解决问题的本质是相同的，从而加强学生对旋转轴为非坐标轴情形的理解，从心理上化解旋转轴为非坐标轴时的困惑.

式中，BN为净厚度，此处为应力强度因子系数;ν为泊松比;E为弹性模量;Δa=a-a0为裂纹扩展长度；Up为力和施力点位移曲线下的面积的塑性分量。如图9(b)所示，在载荷-位移曲线中截取到最大载荷处，将载荷-位移曲线进行积分，在总的面积积分中减去理论的弹性面积Ue即可得到塑性分量Up。

2.5 后测

(i) 小组讨论并解决导入问题：同底等高的三角形的面积是矩形的1/2，为什么沿着同一旋转轴旋转后的体积会相差1/3呢？

(ii) 传统练习题，提升解题能力：在知识点的讲授过程中，在解决知识点后配备例题的基础上，同时匹配相应的练习题，使学生能够掌握知识点对应的习题类型，熟练应对各层次的考试；

(iii) 设计与专业课知识相关的问题进行检测：除考察本节课的知识点外，还要使学生熟悉问题的背景及应用，加强学生对理论知识的认可度，使学生体会到基础理论课程的支撑作用.

2.6 总结

(i) 学生总结：总结旋转体体积计算公式，推导过程及注意事项.

(ii) 教师拓展：实践教学表明，有些学生在学习的过程能够提出一些与教学内容相关的更深层次的问题，因此在实际教学过程中融合科研进展能够进一步激发学生的科研兴趣.例如本堂课引入符号计算软件Mathematica，使计算机与数学结合起来，让学生对数学机械化方向有一定的了解；借助旋转体模型的形状及表面的光滑程度，简单介绍曲线曲面的相关知识，并以汽车模型为例子来阐述我国汽车行业的发展历程.

(iii) 布置作业：这里的作业包含课内作业和拓展作业两部分

课内作业：借助“雨课堂”“学习通”等一些教学平台来增加线上练习.根据习题难度建立分层习题库，对不同层次需求的学生采用分类模式培养[7]，并用游戏通关模式进行，即A层题目回答正确后才可见B层题目并作答，并以此类推，从而促进学生完成作业的趣味性.例如，本节分层作业安排如下：

A层：求y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所得到旋转体的体积；

B层：计算由摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)相应于0≤t≤2π的一拱和直线y=0所围成的图形，绕y轴旋转的旋转体的体积；

C层： 计算由曲线y=3x-x2及y=0所围成的图形绕直线x=-1旋转构成旋转体的体积.

生活网络化的“零零”后学生，学习场景不再局限于坐在自习室中，微信和小程序APP已经成为学生日常生活的一部分，因此巧妙的利用这种便利提高碎片化时间的学习机会和学习效率，鼓励学生主动录制多种形式的学习小视频，包括解题技巧等，形成学生互相点击，互相学习.

拓展作业：注重实际问题的处理，培养动手能力.作为课后练习，鼓励学生根据所学过的函数来设计不同形状平面图形，通过Mathematica等软件来模拟不同的旋转体，并利用本节课所学知识计算旋转体的体积.这个设计分析的过程不仅能让学生摆脱传统上课模式的束缚，而且能有效的促进学生创新能力、数学应用能力的培养.

3 教学设计实践效果

为了衡量该教学设计方案的实施效果，从课堂学习及课后学生反馈、试卷中旋转体体积试题的得分情况以及本课程教务系统的学生评教三方面进行了评价.

3.1 课堂学习和课后学生反馈

以文中的教学设计进行旋转体体积教学过程中，课堂中呈现的洋葱、套娃等实物教具极有吸引力，学生未开始上课就开始讨论，极大地激发了学生的学习兴趣；同时，对于利用Mathematica软件模拟旋转体的生成过程这部分内容，部分同学在课后主动联系老师，了解软件的安装、使用及在处理实际建模和数学计算问题时的技巧，充分调动了有科研兴趣同学的积极性.

3.2 学生成绩

对某两届同类型班级学生期中考试卷面成绩进行统计，各分数段的学生人数占比情况如图9所示，其中点状柱体代表的班级未实施文中的教学模式，斜线柱体代表的班级利用了文中的教学设计模式.图9的结果表明实施班级学生的不及格率明显下降，虽然90分以上学生占比有所下降，80-89分，70-79分和60-69分三个分数段的学生人数占比上升明显，60分以下同学明显减少.

图9 两届同类型班级期中考试各分数段的学生人数占比

更进一步，对于试卷中“定积分在几何学中的应用”这部分内容的试题得分进行了统计，结果如表1.排除部分学生的基础薄弱等外在因素，通过文中提出的教学设计方案，实施班级的学生对本部分内容的掌握程度明显好于未实施班级的学生.

表1 “定积分在几何学中的应用”试题得分分布表

特别的，实施班级的学生中有2名同学(未完整学完本课程)参加了北京市大学生数学竞赛，其中1名学生获得二等奖.此外，由7名民族实验班同学组成的2支创新创业团队均获得北京市资助，已经在线发表学术论文1篇.

3.3 教务系统学生评教

在课程结束后教务系统的评教中，学生对本门课程的整体教学满意度也体现了这类教学设计模式在教学内容的讲授过程中的积极作用，学生评教结果反馈表如图10所示，课程部分主观评价截图如图11.

总平均分96.0

维度题项分项平均分教学态度能够履行教书育人职责,重视对学生素质的培养,认真进行教学管理,引导学生形成良好学习习惯9.6522上课仪表端庄,精神饱满,备课充分,按时上下课,授课认真、负责,不随意调停课,批阅作业认真及时,辅导答疑耐心细致10教学内容教学目的明确,思路清晰,重点突出,讲清难点,详略得当,有效落实课程教学目标9.5652教学内容有系统性,理论联系实际,注重反映学科前沿问题9.6522教学效果掌握了该课程所要求的基本理论与知识,提高了对本学科的兴趣9.8261掌握了一定的学习方法和科学研究方法,分析问题和解决问题的能力有提高9.7391能够将所学理论知识与实际相结合,提高实践能力和创新意识9.6522教学设计因材施教,积极采用恰当教学方法和手段,注重采取多种形式开展师生互动9.7391平时、期中、期末等考核环节设计体现课程教学目标,有助于引导学生自主学习、巩固知识和加强相应的能力训练8.5217注重指导学生掌握学习方法,鼓励学生独立思考、发展自我9.6522

11、老师讲课时条理清楚,基础知识牢固,不是照本宣科,而是会引领我们思考,给我们讲她是如何思考问题的,是不可多得的好老师,有点舍不得她的课呢26、真的真的很喜欢老师的课!老师的上课方式非常贴近我们,从老师的课上学到的不仅是解题方法,更有思考方法!27、整堂课思路清晰,环节紧凑,重难点突出,设计合理。学生的课堂习惯非常好,每个人都能积极的参与到课堂中,课堂效果较好。

4 结 论

BOPPPS有效教学模型是以学生为中心，强调师生的参与式学习，因此在明确教学目标后，教师要采取有针对性的教学手段，促使学生能够掌握新知识、学到新技能，明确课程之后可以做且能做什么.本文在这一理念的引领下，结合“零零”后学生的特点，设计了一个完整的旋转体体积教学设计方案.该方案融合线上和线下等多元教学手段，以问题为切入点来研究旋转体体积公式的推导，并将教学内容与相关科研问题相结合，同时配备层次分明的线上和线下分层练习题，能切实加强学生对旋转体体积公式的理解和应用，促进学生分类成长，培养学生从“学”到“用”再到“专”的数学推理和应用能力，从而形成教师引导、学生主体、师生共进的教学氛围.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.