新世纪以来线性代数教学研究述评——基于文献分析视角

汪泽焱， 韩 笑

(陆军工程大学 基础部，南京211101)

1 引 言

线性代数是高等院校的一门重要的公共基础必修课程，对于学生后续的基础课和专业课的学习都是不可或缺的.随着线性代数在计算机科学、工程、技术、经济、管理等领域的应用越来越广泛，高校越来越重视线性代数的教学改革，产生了很多有价值有意义有针对性的改革成果[1].

文献[2]对近30 年来国外线性代数教与学方面的研究成果进行了整理、论述，基于经验总结、思辨思考的方式总结了学生的学习心理和学习遇到的困难及原因，并对国外的教学设计和实践成果进行了评析.与该文不同，笔者立足于国内文献，在内容上，对2000年以来国内高校在线性代数的课程建设、教学内容更新、创新教学设计、合理使用方法手段和利用网络开展混合式教学，以及培养学生能力素质等方面的大量研究成果进行分析.在分析手段上，运用BICOMB和SPSS软件，进行了认真梳理和分析，试图寻找国内线性代数教学改革的特点、规律和趋势，为今后开展线性代数教学改革提供参考与借鉴.

2 研究对象和分析方法

以中国知网为数据源，以“文献检索”为入口，采取跨库高级检索方式从“线性代数”和“教学”两个主题进行搜索，得到2224条结果.结果中有与高等数学等大学基础课有关的文献，有与中学数学教学相关的文献，为进一步得到比较精确的搜索结果，再以“线性代数”为篇名词在进行搜索，得到1578条结果，其中2000-2019年共计1510篇，约占总量的95.6%.

本文以这1510篇文献作为研究对象，运用BICOMB (Bibliographic Items Co-occurrence Matrix Builder，书目共现分析系统)软件对高频共现关键词进行提取，导出共现矩阵，梳理出相应的参考文献.在此基础上，运用统计软件SPSS(Statistical Product and Service Solutions)进行聚类分析，归纳线性代数文献的研究主题，并从理论和实践两方面分类研究.

3 数据分析过程与结果

3.1 年发表论文数量分析

利用CNKI提供的可视化功能，对2000-2019年线性代数教学文献的发表数量进行分析，结果如图1所示.

图1 2000-2019年发文量趋势图

从图1中可以看出，2000年以来，我国线性代数教学研究论文数量整体呈现三个阶段.第一阶段(2000-2005年)处于低位平缓期，每年发表论文不超过20篇.第二阶段(2006-2011年)处于快速增长期，年发表论文从30余篇增长到105篇.第三阶段(2012-2019年)处于高位震荡期，年发表论文都超过110篇，呈W形，2019年达到最高，为150篇.

现如今互联网和计算机技术的发展日新月异，也带动了科学技术、学科知识等社会生活的方方面面积极的变化.数学学科这门基础学科在这种驱动之下也要与时俱进，现有的线性代数课程的教学体系、内容和方式同样需要进行深刻的变革.近几年来，国内各院校都在有计划地对线性代数的教材、教学、考核等进行了深入的改革探索，校内致力于精品课程的打造和教学研究项目的立项为这种探索提供了广阔的平台[3].

在这1510篇文献中，被引频次在20次(含20次)以上的高被引文献共有24篇，作为本文共被引文献分析的原始数据，其总的被引频次为753，占总被引频次的22.23%.前10名高被引文献如表1示.

表1 部分高被引文献(前10)

续表1

下面将与24篇高被引文献的被引和下载相关的各指标分析列入下表中：

表2 24篇高被引文献指标分析表

表1和表2反应出这24篇文献的被引量和下载量都是比较高的，以及近年来线性代数教学研究的热点，可以清晰地看到教学模式的研究是线性代数教学改革的一个热点.

3.2 文献主题分布

通过对1510篇文献的主题数据的分析，可以明显地看出线性代数教学研究主题呈现多元化.

3.2.1 高频共现关键词分析

从上述1510篇文献中除去24篇外文文献，将1486篇中文文献的来源库、题目、作者、关键词、摘要等信息以自定义格式从中国知网中分批导出，经过关键词合并后，利用BICOMB软件对导出的txt文件进行共现关键词提取和统计，划定频次阈值为15，频数高于该值的关键词定义为高频共现关键词，从而得出下表中的43个高共现关键词.

表3 高频共现关键词分布表

从上表可以看出，关于线性代数教学研究的文献中，研究主题呈现多元化，研究内容涉及面比较广.除“线性代数”外，“教学改革”“教学方法”和“MATLAB”排名是比较靠前的主题关键词.由此可见，我国高校近年对线性代数课程教学进行了大量探索和实践，相关教学改革和研究主要集中在引入MATLAB软件，增强实践环节.除此以外，排名比较靠前的主题关键词还有“矩阵”“教学”“线性方程组”“教学模式”“独立学院”等，这些关键词大致可以反映教学方法、教学模式和教学主体均是线性代数教学改革研究热点.

3.2.2 共现关键词的聚类分析

为寻求当今线性代数教学研究热点的主题结构，现对提取的高频共现关键词进行聚类分析.聚类分析是将根据对象或者个体的“亲疏”关系进行分类，使得同一类中的对象之间的“亲密性”比与其他类的对象之间的更强[13]，我们一般用相似性来度量分类对象之间的这种“亲疏性”，本文借助于“共现矩阵”来呈现.用系统聚类分析法将上表中的43个高频共现关键词进行聚类，把关系密切的关键词归纳为一类，进而分析研究领域的分支组成，分析过程如下：

首先，用BICOMB导出43个高频共现关键词的共现矩阵，共现矩阵主要用于解决词向量相近关系的表示.然后利用SPSS将共现矩阵转化成相异矩阵，如下图2：

图2 高频共现关键词相异矩阵(部分)

其次，利用SPSS统计软件进行系统聚类，得到高频共现关键词的谱系图，如图3示.

根据谱系图，可以将43个高频共现关键词分成三大类，分别定义为三大主题.

(i)第一大主题主要是理论研究，含有教学思路、RMI方法、理论、线性变换、向量空间等5个关键词.该类中的关键词是与线性代数中的教学知识点(线性空间和向量空间以及相关的理论和教学思路)有关.根据BICOMB中导出的共现文献信息可以看出，主要是关于线性变换基本定理的教学思路、向量空间直和分解理论的RMI模型理论等的研究内容.线性空间与向量空间和线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组等常见知识点联系紧密且是教学难点，理应成为研究热点和教学重难点.黄廷祝和张勇论述了数学基础课中开发数学建模教学插件的必要性和应用前景，并结合线性代数与空间解析几何课程中线性变换知识、数学建模、Matlab数学软件设计开发了教学插件，提出了开发过程的设计思想[14].

(ii)第二大主题集中了大部分的高频共现关键词，由教学设计、课堂教学、教学模式、教学过程等28个关键词组成.从关键词可以看出这一部分既有理论研究又有实践研究.为了更进一步了解研究主题的分布，可进一步细分，如谱系图4所示.从图4中可以看出，第二大类还可以细分成三个小类.

① 线性代数教学改革实践研究.由关键词教学改革、MATLAB、数学实验等16个关键词组成，可见将Matlab计算思维、数学实验和数学建模融入线性代数教学已经成为教学改革的一大趋势.

线性代数理论性和抽象性较强，并且很明显的是计算重复繁琐，尤其是笔算.如高阶字母行列式的计算、实际应用中线性方程组的求解等.因此可在教学中增加线性代数数学实验课，指导学生合理应用数学软件用简单的命令来完成繁杂的计算.另一方面，还应结合学生专业增设有特色的应用实例，灵活地将数学建模思想融入教学中，提高学生学以致用的能力.

图3 43个高频共现关键词的谱系图

图4 28个高频共现关键词的谱系图

该主题的相关研究文献也很多，如高淑萍等人探索了适合我国理工科大学生的包含MATLAB实践内容的线性代数课程体系、教材、教学内容及教学方式[15].段勇探讨了如何在线性代数教学中融入数学建模思想，从线性代数课程的主要性质以及工科学生学习它的目的、研究型教学需要等方面探讨数学建模思想融入教学，进而分析如何在教学中融入数学建模思想以及这种教学对教师的要求[16].段晓鹏和孟晓然阐述了将数学建模思想融入到线性代数教学改革的必要性，给出了如何将建模思想融入线性代数教学改革各个环节的方法，以提高学生对实际问题的分析和解决能力[17].

② 线性代数课堂教学理论研究.该主题由课堂教学、学习兴趣、教学方法、教学内容、教学效果、教学实践和教学质量8个关键词构成.线性代数是一门非常抽象的学科，传统的教学模式已滞后现代的教育发展和学生们对课堂学习的需求.研究文献主要是从教学内容、教学方法、学习兴趣等方面阐述了如何让学生在快乐中高效学习线性代数这门课程.

黄玉梅提出以实际问题为牵引，引入基本概念，激发学生学习兴趣[10].线性代数的概念和定理抽象，若不结合实际应用背景而直接讲解，会造成一些学生的接受困难，也难免会造成应用困难.因此，教师根据学生的知识和专业的实际情况选取实例，培养学生学习的积极性和热情.赵慧斌提出了“问题驱动是线性代数有效的教学方法之一”，由“问题链”引导学生逐步地认识所学内容的本质部分与核心思想[18].

③ 线性代数教学模式实践研究.该主题由翻转课堂、微课、教学设计和教学模式4个关键词组成.线性代数教学模式实践研究.该主题由翻转课堂、微课、教学设计和教学模式4个关键词组成.利用互联网在线上进行教学是现代教学手段的建设和合理应用.我国很多高校对《线性代数》课程的线上教学模式进行了探索与实践，如王鑫研究了在线性代数教学中引入基于微课的翻转课堂，探索了线性代数微课视频制作的特点和要求，以及在线性代数的教学中进行这种打破传统上课模式的翻转课堂的组织和安排[19].杨文霞等人还对基于SPOC和翻转课堂的线性代数混合式教学的实践进行了研究[20]，实践过程提出重视知识单元设计，强调基于专业背景的案例拓展教学，以实现探究式、分层个性化学习，全面提升教学效果和学生综合素质.

事实上，许多高校的线性代数教学效果是不容乐观的，所以以教学模式创新为主体的教学改革迫在眉睫.

(iii) 第三大主题主要由关键词线性代数教学、矩阵、向量、行列式、线性方程组等10个关键词组成，显而易见，该类主题时关于线性代数常见教学内容的实践研究.王利冬和刘婧提出了从应用实例出发的线性代数教学模式探讨，如以一副灰度图像的处理为例，展示了如何运用MATLAB结合矩阵这个基本元素对图像进行处理，这无疑可以提高学生的编程和利用线性代数知识解决实际问题的技能，逐步养成把抽象知识形象化的能力，进而达到对概念定理的理解和消化，实现理论联系实际[6].降阶方法是处理矩阵问题的最核心的思想方法之一，曾聃和徐运阁从分块矩阵出发，利用降阶的思想，讨论了该矩阵的逆与秩的计算，并给出该降阶公式的各种变形以及在解题中的应用[21].

3.2.3 文献互引分析

对前文中的24篇高被引文献的引用和共被引进行分析，其中，当两篇(或多篇)文献同时被别的文献所引用时，则称该两篇(或多篇)文献为“共被引”.

表4 24篇高被引文献共引分析表

在选取的24篇高被引文献中，共同引用的最多的文献是陈怀琛和龚杰民编著的《线性代数实践及MATLAB入门》[16]，可见在线性代数教学中引入MATLAB是教学模式改革的一个重要主题.24篇文献中共被引量较高的文献如下表5.

表5 24篇高被引文献的共被引分析表

上表反映出，在最近的线性代数的教学改革的研究中，还是比较关注学生能力的培养，将数学建模或者数学实验的思想引入线性代数的教学过程中是提倡比较多的，可见这是线性代数教学改革研究的一个热点.

由此也可以看出，该部分的文献的互引分析，和前文我们的主题的聚类分析得到的关于线性代数教学改革研究主题和研究热点是吻合的.线性代数教学改革一直在如火如荼地进行着.为了培养学生学好数学，用好数学，翻转课堂，微课等促进学生学习的教学模式不断在探索，引入MATLAB，数学建模等提高学生能力的实践教学研究成为研究的热点.

注重知识的传授是每一位数学老师的使命，而如何帮助学生讲数学方法这一工具服务于社会的各行各业也是尤不能负的.在教学过程中要让学生体会到数学来源于实践，也要回到实践中去解决问题，最终是要更好的服务社会，这才是自我价值的真正体现，从而让学生“重学习”[17].通过实践性教学，借助数学软件解决复杂问题，可以让抽象的数学理论具体化，培养学生解决实际问题的能力，为今后的学习和工作奠定坚实的基础，让学生“会学习”.同时，在教学过程中还要注重数学历史，数学思想，数学文化的渗透，让学生体会数学之美，让学生“爱学习”[18].

4 线性代数未来教学改革的建议

2000年以来我国线性代数教学改革研究整体呈上升趋势，主要围绕理论和实践两个方面展开.我国线性代数教学改革研究已经取得相当成果，研究内容比较广泛，研究主题多元化.当然也存在一些不足之处，我国线性代数教学改革研究价值和空间有待进一步挖掘和扩大，研究内容有待于进一步深入，可以从以下几个方面入手：

(i) 线性代数教学方面，在线教学、混合式教学是未来重要的教学模式.首先，精心设计教学内容和交互式环节，吸引学生的注意力，调动学习积极性；其次，教师要树立以学生学习成效为中心的理念，关注学生的学习需要、学习行为活动；再者，把在线课程和课堂教学有机结合起来，选择优质资源和平台进行线上教学，提高和巩固学生的学习效果；最后，在线教学尤其要注意加强学生管理，利用学生的线上学习行为数据了解学生在线学习情况，这样才能达到在线教学与线下课堂教学相得益彰的效果.

(ii) 线性代数培养目标方面，注重学生实践能力培养，打牢学生的能力根基.“学”重在知识的传授，“习”则强调技能实践.线性代数作为一门科学文化基础课既要在课堂上补充实践知识，又要发挥第二课堂的实践平台功能，以各类实践活动和学科竞赛为抓手，支持学生参与课题研究、学科竞赛、参加实践活动等，让学生在实践中不知不觉地完成从知识到技能的转化，不断提高综合素质和能力.

(iii) 线性代数教材的编写方面，与专业结合、与应用结合、与程序编写结合的内容改革需加强，引导学生了解和掌握基础理论的应用范围和适用方法，增强学生用数学软件解决问题的能力，培养学生数学建模的思想.

(iv) 线性代数考核方式方面，加强过程性考核力度，以考定教.强化过程性考核是“一举两得”的举措，可以促使传统单一的考核方式和教学方式的改变.一方面，在考核的统一性和多样性之间寻求平衡点，提高学生的学习的能动性，引导学生进行自主式、探究式、合作式学习.另一方面，可不断增强教师的教学改革和创新意识，加强教师对理论学习和实践探索的不断深入，使课堂教学出现多种模式的变化.

5 结 论

本文基于SPSS和BICOME软件对国内2000年以来有关线性代数教学研究的文献进行了系统研究，主要目的在于探讨我国线性代数教学改革研究的现状和未来趋势，对今后我国线性代数的教学改革研究具有一定的参考价值.

在借鉴国外优秀研究成果的基础上，加强本土化的教学理论建设和实证研究，突破“以经验总结、思辨思考为主”的研究局限，建立规范的研究方法，多样化研究工具，也是我们今后研究的出发点.在大数据时代的发展背景下，如何有效利用大数据相关技术实现线性代数教学的高校改革是广大教育者都在思考的问题，在大数据时代的推动下，其教学改革势在必行.

致谢文章历时一年多，非常感谢写作期间给予帮助的专家和同事，感谢他们提供的技术支持和物力支持.感谢本论文所引用的各位学者的专著，如果没有这些学者的研究成果的启发和帮助，我将无法完成本篇论文的最终写作.感谢陆军工程大学教育教学课题基金项目和教学成果培育项目的支持.