线性代数课程思政设计及实践

张 莉， 王 琤

(同济大学 数学科学学院，上海200092)

1 引 言

教育活动的本质主要有三个方面，一是知识和方法的传授，二是素质和能力的培养，三是品质和价值的引领.现今教育中，课堂里主要还是以学知识提能力为主，分数教育和技能教育仍占主导地位，而对于教育中的点睛之笔“价值引领”方面反而有所缺失.如何充分发挥课程本身的教育功能，把专业课程的教学内涵与思想政治教育要求相结合，这是每位教师在教学活动中都应思考和研究的问题.2016年，习近平总书记在全国高校思政会议上提出的“各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应”得到各高等院校的高度重视.自此，课程思政成为各高校教学改革的重要方向.例如，文[1]总结了线性代数课程中的若干已有思政元素，以及如何发展这些元素以实施课程思政目标的四点注意事项；文[2]介绍了数学类基础课程思政的四个层次.但如何在非思政类课程中融入思政元素，系统地设计相应的教学案例，仍然是一个亟待解决的教改问题.文[3]提出按照教学过程先后顺序设计案例的思路；文[4]提出从数学文化等角度挖掘线性代数课程思政的设计思路；文[5]提出了从特殊数字、数学发展史、科学家故事、马克思哲学思想和数学知识点五个方面开展课程思政的思路.

伴随着同济大学线性代数课程思政教学改革的开展，近几年笔者开始自觉地有意识地挖掘一些线性代数课程思政元素，并进行提炼、总结和实践.与前述文献不同，本文将介绍从价值观的不同层面进行线性代数课程思政案例设计，即以明确的“价值引领”目标为导向的设计思路.通过教改实践发现：即使是非思政类课程，也可以有很生动的语言，也可以将专业内容与思政要素很好结合，并使得教学中的价值引领从自发到自觉、从感性到理性，真正实现润物细无声的德治融合.

2 线性代数课程思政的设计思路

在线性代数课程中，教师可以通过以下几个方面引导学生从其历史、特性和相关知识点出发接受世界观、人生观、价值观的再教育，从而将思政教育有机地融入教学过程.

2.1 了解数学历史，承习科学家精神

线性代数的理论最初来源于一次方程组的研究，现实中有许多问题都可以归结为线性方程组的问题，例如中国古代算术中的“牛羊问题”：“今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？”教师可以用此例作为引例，探讨线性方程组的由来，由此延伸到代数一词来自于清代数学家李善兰的翻译，进而给出代数学的背景.再进一步引导学生将方程组系数分离出来，说明矩阵的来历.这些在中国古代的数学著作《九章算术》中也有体现，以此引申出矩阵这个重要工具.当教师以这样的数学知识的发展历史出发来进行引导时，一方面学生比较容易理解知识的来龙去脉，另一方面也能引导学生广泛阅读经典，挖掘数学知识的背景，了解知识的发展历程.

再比如在讲到方阵的行列式时，可以引导学生去查找并阅读行列式的历史，指出该概念最早由日本数学家关孝和在著作《解伏题之法》中提出，后来由法国数学家柯西进一步发展行列式的理论，他把元素排成方阵并首次采用双重足标的新记法，从而使得行列式的形式看起来比较简单易懂.这个故事与后面克拉默法则引入时的历史故事也可以前后遥相呼应.在讲述克拉默法则时教师也可以挖掘背后故事，该法则最早由英国数学家麦克劳林得到，但克拉默的优越记号使之流传.

由此可见，科学家精神不仅是有钻研精神，还包括理性思维、批判思维、创新思维和唯美追求.通过这些数学历史和相关故事，能引导学生全面地学习科学家精神.

2.2 感悟数学特性，树立严谨与求实精神

数学作为自然科学，本身就是以严谨、科学著称的.不论是在严格的数学推导中，还是在规范的数学公式与严谨的数学表述中，教师都可以有意识地引导并培养学生严谨求实的学习态度、规范认真的学习习惯和踏实务实的人格特性.

数学学习本身就是一个不断探索的过程.教师可以在教学设计中进行一些问题式教学，让学生在问题中不断进行自主探索.比如在讲到等价矩阵具有相同的秩时，可以很自然地问学生其逆命题对否，引导学生来发现其中的“漏洞”，即矩阵的“型号”可以不同，故而不等价.再进一步引导学生补全漏洞，如果已知两个矩阵是同型号的，该结论是否成立呢？由此引导学生不断完善条件、严谨求实、规范书写、严格求证，从而最终完成整个充要条件的证明.这样的教学设计还可以有很多，又如能写成非零列矩阵乘以非零行矩阵的矩阵A的秩为1，马上可以反问学生，逆命题对否？是不是充要条件？如何给出严格规范的证明？再比如在讲矩阵的乘法运算时，可以不断抛出问题链，请学生来依次解决这些问题链上的问题：矩阵乘法是否有条件？(引导学生得到有条件)矩阵乘法是否满足交换律？(引导学生发现交换后不一定可以相乘)如果矩阵交换后可以相乘，是否还可交换？(鼓励学生找到这样的例子)如果矩阵可交换，其型号必然有什么特点？这一系列的问题环环相扣、层层递进，学生可以在回答问题链的过程中去还原科学探索的过程，并归纳提取出抽象的定义和一些重要的结论.

2.3 多角度理解知识，建立全方位的世界观

线性代数课程的很多知识点都可以从多个角度去理解.通过不同角度来看待同一知识点，既可以帮助学生多角度渗透了解知识，又可以引导学生对任何事物或任何人都要多角度全方位看待，不能过于局限和狭隘，从而教育学生要有广阔的视野、宽广的胸襟和宏大的格局.

线性方程组是线性代数中的重要内容，整个课程都可以以此来入手，毕竟这是学生最熟悉的“代数”，同时，也可以和中学内容很好地衔接.当从代数角度引导学生比较“有效方程个数”与未知量个数，从而会判定其解的情况，并会求解其相应的解之后，又可以换到几何角度，如果关心方程组是否有解，对应到几何上，其实就是向量β是否可以由向量组A线性表示，其解即为其表示的系数；进一步，也可以将齐次线性方程组是否具有非零解的情况对应到几何上向量组是否线性相关的情形来理解.与此同时，还可以给学生推荐科普视频(比如3 Blue Brown的线性代数的本质)，引导学生全方位多角度地理解和运用线性方程组理论.

再比如在讲到最大线性无关组的概念时，可以进行教学设计，引导学生从多个角度来理解.比如给一个具体向量组，请学生找出其个数最多的一个线性无关子组；再从某个非零向量出发，请学生不断扩大，使其成为一个极大线性无关子组；还可以请学生在整个向量组中找一个等价的线性无关子组.从具体的问题和例子入手，引导学生探究其共性、讨论其异同、分析其等价，通过仔细观察、大胆猜测、小心求证，学生可以更深刻更全面地理解这个概念.同时，也可以进一步引导学生将向量组的秩与矩阵的秩进行对比理解，了解其本质，进而从不同角度来看待同一个知识点，全方位去理解最大线性无关组和向量组的秩，并探究其本质，从而理解更加深入全面.

通过这样的多角度探索，可以让学生全方位多角度地观察事物的各类表象，了解其辩证统一，进而理解其本质，体会其万变不离其宗的奥妙，感受到知识核心的本质与数学抽象的美[6].

2.4 挖掘应用案例，激发勇于探索的热情

线性代数课程在现实生活的方方面面都有各种应用[7]，在各个新工科领域如信息技术、医学图像、特征识别、人工智能、数据应用等多个方面都有十分丰富的应用案例.教师可以在教学过程中充分挖掘这些应用案例，通过与同学们学习生活及专业息息相关的案例探究总结，激发学生学习的热情，鼓励学生勇于探索的科研精神.

对于一些较简单的案例，可以直接在课堂讲解中给出.比如在讲到可逆矩阵时，可以给出一段有趣的明文(如I love math)和密文，提出问题，并通过具体实例给学生讲解如何利用可逆矩阵来消除频率特征，通过密钥来进行解密.再比如在讲到线性方程组时，也可以讲到方程组在GPS定位系统中的应用，设某同学位于某点P(x，y，z)，给出三颗卫星的位置及坐标，设为A、B、C，利用卫星返回的数据，计算出该同学在该时刻较准确的位置.通过这些实例探究，可以激发学生去探索知识的应用.

如果课时有限，无法完全在课堂上展示相关案例，也可以引导学生去查阅相关资料，利用课余时间去阅读应用材料.比如在讲完特征值特征向量后，可以推荐与PageRank相关的材料，引导学生去探索搜索引擎背后的秘密，探究如何将多个页面进行合理排序，使其按照重要性进行排序.同时，也可以进一步引导学生进行思考，如何将其用在论文质量评估上(如论文引用情况)、如何用在学术论文作者的重要性排序上、如何用在网络爬虫上(考虑需抓取的网页数量和深度)等.

如果能与相关实践项目相结合，还可以请同学们进行一些实践活动与调查.比如可以结合学校餐厅的就餐人员流动情况，请同学们进行相关的实际调查，建立数学模型，了解校园各个餐厅就餐人数的流动关系，请同学们分析总结出相关的实际关系，并研讨如何将特征值与特征向量用在其中，这样同学们可以在实践中充分利用所学知识来分析其原因.这样的开放性应用案例既可以培养学生分析问题和解决问题的能力，又能激发学生去探索知识的应用，从而点燃学生的探索热情.

3 线性代数课程思政的实施方式

在充分挖掘教材内容的基础上，教师在授课过程中可以用抽象的数学知识与有趣的生活语言或朴素的形象描述相结合的方式来开展课程思政[8].这种实施方式既能在课堂中隐性地融入价值引领，又能增加课程的趣味性，还能用更形象具体的语言来帮助学生理解抽象的概念，从而做到课程处处是思政.下面具体介绍一些这样的教学内容和实施案例.

3.1 行列式的性质与矩阵的初等变换

在介绍行列式的性质及矩阵的初等变换时，其变换都是以行或列为单位来进行的，比如换行，比如某一行的k倍加到另一个行上，比如某一行乘非零数k等.在讲授此部分内容时，就可以讲到行列式或者矩阵的这些变换都有一个共性，那就是“以行或列这个小组为单位进行集体行动”，每个元素都不允许“私自单独行动”，从而引入每人都要有集体意识的思政元素.

如果课时允许，针对不同层次的学生，教师还可以进一步借助行列式的定义或线性方程组的同解变换来解释下，为何要“以行(或列)为小组”，从而让学生了解其本质和源由，这样不仅能深入理解知识，而且能形象易懂，增加课程趣味性.

3.2 行列式的展开

在讲到行列式的展开时，教师可以提到行列式展开的本质就是降阶计算的思想，这对于计算来讲，也是很自然的想法.进一步，在行列式按行(或列)进行展开时，确实实现了降阶的目的——本来是求一个n阶行列式，现在只需求若干个n-1阶行列式.但是，注意到在降阶的过程中虽然行列式的阶数降低了，但行列式的个数增加了，从而引申出“天上不会掉馅饼”，要有回报必须得有付出，或者用诸如“有得必有舍”“凡事都要付出代价”等生活中浅显易懂的思政语言来形象解释，从而进一步延伸开来引导学生思考：在展开中应该选择哪一行才能使得“付出的代价”最小呢？学生很自然地就会想到选择零多的行来展开，利用行列式的性质可以“造零”.于是在计算行列式的时候常常一边用性质化简“造零”，一边进行展开降阶，这也就不足为怪了.通过这种引导，既可以促进学生进行自主思考，提升学习兴趣，又能使学生明白“若欲收获福报，必先学会付出”，从而悄无声息地将价值观和思政元素融入到了专业课堂之中.

3.3 线性空间的判定

对于工科同学来说，线性代数中最难理解的概念之一就是线性空间了.在讲到线性空间的判定时，通常会介绍两种方法，一是直接用定义来验证，这需要验证八条公理及线性运算的封闭性，第二种方法是用线性子空间的方法来验证，此时只需验证它是某个已知线性空间的子空间，而这只需验证线性运算的封闭性，相较于用定义验证，子空间的方法显然要简单得多.但是，这种方法虽然不需要验证八条公理了，却需知晓一些“大”的线性空间，从而让它是“大空间”的子空间.此时，就可以引入要有全局意识的思政元素，引导学生要有大局观，在大格局下看待事物.当然，这里也可以引入“回报需有付出”：要想少验证八条公理，必须事先了解一些已知的“大空间”.这样的语言相对来说比较生活化，既能帮助学生理解抽象的知识概念，又能达到协同育人的良好效应.

3.4 向量空间的一组基

基是向量空间的一个非常重要的概念，在讲到基的概念时，可以用较活泼的语言来描述：基是空间的“代表元小组”，它可以生成整个空间，另一方面，在几何上，基中的每个元素都代表一个“方向”，这些方向合起来就能表示整个空间，而且这个“代表元小组”是最“精炼”的线性无关子组，它们没有“重复信息”，不能互相线性表示.由此可以用很自然的生活语言来表示，要想成为集体的代表小组成员，必须有自己的独特“方向”，同时，也激发学生要努力学习、刻苦钻研，成为建设祖国的栋梁之才.

3.5 方阵的相似对角化

在讲到方阵的相似对角化时，是否能够相似对角化，这也是一个知识上的重难点，需要用许多概念来做铺垫，比如特征值与特征向量，比如代数重数与几何重数等等.教师可以在讲解中，用生动形象的语言，用特征值来分组(每个不同特征值代表一个小组)，希望每个小组提供最多的线性无关的特征向量，以此“凑”出n个线性无关的特征向量，从而达到相似对角化的目的.这其中，就要求每个小组的几何重数要与代数重数相等，也就是说相似对角化的条件是要求“每个小组都要达标，缺一不可”.由此可以引导学生要有国家意识，要有集体观念，不能拖集体的后腿，要真正做到“不肯自弃暴，力欲争上游”.

3.6 唯一性的证明

在线性代数课程中，有好几个涉及到唯一性的证明，其方法都有类似之处.如方阵的逆矩阵的唯一性、线性空间中零元素的唯一性、线性空间中元素的负元的唯一性等.在这些唯一性的证明过程中，都是采用反证法.以逆矩阵的唯一性为例[9]，假设方阵A的逆矩阵不唯一，设矩阵B，C都是A的逆矩阵，将目标矩阵A置于中间，左乘B右乘C，利用结合律即可得到B=C.在这几个涉及唯一性的证明过程中，其实就蕴含了公平、公正、透明的原则在其中，对B与C毫无偏颇，以此也可以很自然地引导学生在公民人格上的平等与公正，从而引出思政教育内容，希望学生在任何时候都应该秉持公正公平的原则，做一个刚正不阿、大公无私的人.

4 教学效果

教师近两年来通过在课堂教学中有意识地融入“课程思政”元素，提高了学生的上课积极性，活跃了课堂气氛，学生也更喜欢参与到课堂讨论中.从学生的问卷调查数据和学生的评教意见来看，学生对课堂思政和课堂效果的满意度普遍较高.很多同学纷纷表示，“老师能像讲故事一样来讲线性代数，很让人着迷”，“用形象的语言来描述抽象的数学知识，有趣易懂，能学到很多东西”.针对课程思政的教学效果，就下面五个问题进行了在线问卷调查.

表1 在线问卷调查

问卷调查的统计结果见图1，参与问卷的共114位同学，其中97%以上的学生表示增加课程思政元素的授课方式，使其增强了学习的主动性，并在德和智两方面都有所收获.

图1 问卷调查统计结果

与此同时，学生的课程考试成绩也有了较好提升，学生成绩的不及格率也一直呈下降趋势，优良率则呈上升趋势，具体的成绩对比见图2.

图2 课程考试成绩对比图

5 总 结

本文系统总结了开展线性代数课程思政的几个主要设计思路，并结合实例探讨了如何用问题调动学生积极性，如何将抽象的数学概念与生动的生活语言相结合，如何由浅入深、由表及里、深入开展学生的世界观、人生观和价值观的再教育.就笔者开展课程思政的过程和效果来看，只要精心设计好教学内容，充分挖掘教材知识，巧妙利用多种教学方法，可以很好地在自然科学课程中全面贯彻课程思政的相关元素，真正做到以学生为中心，实现立德树人的综合教育理念.另一方面，引入课程思政，融合德治，也能激发学习源动力，有助于学生全面深刻地掌握专业知识.事实上，思政教育与专业教育水乳交融，是一个完整而不可分割的整体.

致谢作者非常感谢审稿专家提出的细致建议和宝贵意见以及相关文献对本文的诸多启发.