基于已知部分支撑信息的相位恢复

曹满霞， 黄 尉

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

压缩感知的目的是通过欠定线性测量恢复未知信号，可以应用在图像压缩[1]和信号降噪[2]等方面，当没有相位信息时则称为相位恢复问题.相位恢复问题的应用遍布于工程物理及生物信息学的各个方面，主要有光学[3]、天文成像[4]、盲解卷积[5]等.一般情况下，相位恢复问题是通过观测

y=|Ax|+e

来恢复未知信号，其中x∈n，观测矩阵A=[a1，…，am]*∈m×n，|Ax|=[|〈a1，x〉|，…，|〈am，x〉|]*，观测误差e∈m.当x∈n为稀疏信号，测量矩阵A满足强约束等距性时，可以通过解以下1最小化问题来保证信号稳定恢复[6]，即

min‖z‖1使得 ‖|Az|-y‖2≤ε，

(1)

文章主要考虑的是在已知部分支撑信息的情况下的相位恢复问题.为了结合先验支撑信息，参考文献[7]采用单一权重加权1最小化模型，并表明在无误差情况下，得到k稀疏信号恢复的充要条件，即当测量矩阵满足加权零空间性质.然而Needell等人在参考文献[8]中表明，在压缩感知问题中，用单一权重的加权1最小化模型来恢复信号没有达到预期效果，继而提出非一致权重的加权1最小化模型，因此在文章中将采用以下非一致权重的加权1最小化模型来求解相位恢复问题

min‖z‖1，w使得 ‖|Az|-y‖2≤ε

(2)

2 预备知识

为了方便起见，这一部分主要介绍与文章有关的概念和引理.对于任意的信号x∈n，假设xk表示信号x的最佳k项逼近误差.假设T0为xk的支撑集，即：T0=supp(xk)，且|T0|≤k.同时设为x的支撑估计，其中对于每个i都有

定义1[9]若存在常数δk∈[0，1)，使得对任意的k稀疏信号x∈n，都有

成立，则称矩阵A满足k阶约束等距性质(RIP)，其中常数δk称为约束等距常数.

定义2[10]设[m]={1，2，…，m}，若对任意的k稀疏信号x∈n，都有

成立，则称矩阵A满足k阶强约束等距性质(SRIP)，其中θ-，θ+∈(0，2)是常数.

3 主要结果

首先介绍本文中非常有用的引理，该引理是[7]的引理1的扩展.

引理设x∈n，y=Ax+e∈m，其中‖e‖2≤ξ且η≥0.当t>d时，假设矩阵A满足tk阶的RIP条件，且其中

并且

其中

该引理的证明与[11]中定理3.1的证明类似，即在[11]中取d1=d2=…=dM=1时的特殊情形.

定理设x∈n，y=|Ax|+e∈m，其中‖e‖2≤ξ.假设矩阵A满足参数为θ-，θ+∈(0，2)的tk阶的SRIP条件，且

如果将索引集[m]={1，2，…，m}分成两个子集

则可以得到

这里|T|≥m/2或者|Tc|≥m/2.如果|T|≥m/2，由于

那么有

因为矩阵A满足参数为θ-，θ+的tk阶的SRIP条件并且

因此，SRIP条件的定义表明AT满足参数为

的tk阶RIP条件.

因此，令引理中的η=0，有

相似地，如果|Tc|≥m/2，可以得到另一个相似的结果

4 结 论

致谢非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.