创造源自经验，创新始于模仿

单亮

一、回忆经验，寻找基础

师：一听到内角和，让我们想到了刚刚学习的图形三角形，谁能告诉我怎样定义三角形呢？

生1：三角形由三个角、三条边、三个顶点组成。

师：她说的不是三角形的定义，却是三角形的特征。谁来说说三角形是怎样得到的？

生2：三角形的内角和是180°。

师：他说的也不是三角形的定义，他说的是三角形内角的总度数，那到底什么是三角形呢？

生3：三角形是由三个角、三条边、三个顶点围成的封闭图形。

师：他说的依然是三角形的特征。看來学着学着，我们的小眼睛一直在关注三角形的特点。其实三角形是由三条线段围成的图形，这一围首尾相接了，当然它就变得封闭了。现在快告诉我三角形是怎样得到的。

生：三角形是由三条线段围成的图形。

师：围之前叫三条线段，围之后叫三条边，这是围前和围后的变化。

【赏析】学生更多地会从特征方面表述三角形的概念，这样的表述是不完善的，也不利于后续图形的学习。徐老师利用简短的对话，让学生回忆起三角形的定义，唤醒了原有的学习经验，这种定义也为后续的学习定下了基调，让学生明白了，图形的定义不能仅从特征上去描述，而要抓住图形的本质属性，这样才能简洁明了地确定图形的概念，为后面的学习设立了模仿的范例。并且这种直接、简约的情境导入，正是徐老师倡导的教学情境应简洁、真实，充分联系学生已有的知识基础和学习经验。

二、基于经验，创造方法

师：回忆探索三角形内角和的经历，我们曾经用量角器测量角的大小，然后求和。今天你还打算用这种方法吗？

师：是不是感觉有些麻烦。除了麻烦，我们回忆当初测量的过程，测量成功吗？

生：不怎么成功，有多有少。

师：因为只要是使用工具人工测量，总会产生误差，这种方法是生活的方法，不是数学的方法。这种方法我们不能舍弃，要保留，它叫测量求和法，但是今天我们不用了。再回忆一下，我们还用了什么方法，想想我们的经验，我们从记忆里寻找答案。

生：可以把每个角都裁下来，把它们拼成一个平角。

师：这是当年的记忆，老师讲没讲？我们今天依然可以用老办法解决新问题。当然你也可以创造其他的方法，拿出四边形，试一试。

学生尝试独立操作后交流。

师：谁来试一试？

学生把四个角撕下后，拼成一个周角。

生：可以利用四个角拼成一个周角，也就是360°的角。

师：他用自己的行动证明，能用四个角拼起来变成一个360°的角，从而证明了四边形的内角和是360°，那这个“可能”到这里就变成了“肯定”。

师：根据前面的经验，给这个方法起个名字吧？（撕角法）

师：撕完就完了吗？大家不同意啊！我们可以商量商量。（撕角拼接法）

师：撕角拼接法，拼完了你干什么？同学们可以看看以前的经验，前面的方法叫什么？（测量求和法）

师：原来已经有了一个名字了，那我们再起一个名字是不是要根据前面的经验去做呢？现在有人说撕，有人说拼，那干脆叫什么？（撕角拼接求和法）

师：太多了，再想想，要抓住关键的字来概括，想想他第一步干什么？第二步干什么？所以叫——（撕拼求和法）

【赏析】在学习三角形内角和时，学生们都有过用量角器先测量后求和得出三角形内角和的经验，但是这种方法在操作中会出现各种问题，在本课中学生明显做出了取舍。学生用撕拼的方法来尝试得出四边形的内角和，正是学生基于他们的经验。在运用此方法进行探究后，徐老师通过充分交流，让学生经历命名过程，强化了学生对于新方法的体验，最终得出“撕拼求和法”这一名称。在不断完善名称的过程中，徐老师对所起名称提出要尽量准确、简练的要求，这种简练对于学生逻辑思维的提升是非常必要的。

三、始于模仿，成在创新

师：孩子们，每一步都是需要学习的，起名字就是一种非常重要的数学概括能力，模仿是最好的老师。到现在我们是不是进一步证明了四边形的内角和是360°？还有别的方法证明吗？

生：我们可以把四边形分成两个三角形，三角形的内角和是180°，两个三角形就是360°。

师：你说的我怎么没听明白，要不你来展示一下该怎么办？

生：从一个顶点出发到这个顶点切开。

师：顶点到顶点的线段好熟悉啊！叫什么名字呢？

生：对角线，切出了两个三角形，三角形的内角和是180°，两个三角形就是360°。所以四边形的内角和是360°。

师：等一下，我刚才好像忘了一个细节，四边形的内角和是几个角？我们数一数。（如图1）

师：什么呀？你搞了6个角的度数和。你看看，四边形4个内角，你怎么能用6个角呢？你多了两个角，那看起来四边形的内角和不应该是360°。你能解释吗？

生：其中这两个角是原来的一个角，这两个角也是原来的一个角。

师：所以现在的6个角就是原来的4个角，这就是数学的形变质通。你看看，模仿是最好的老师，我也有一种方法，如果我画对了，请大家给我掌声，因为老师也需要表扬。

徐老师把图拼好，沿着另外一条对角线把四边形分成两个三角形。（如图2）

师：这种方法跟前面的不一样了，前面的方法是直接找到360°，这种方法是个创新，既然是创新，快给这种方法起个名字吧！

生：分割求和法、切割求和法。

师：怎么切的，原来是一个四边形，结果变成了两个三角形，干脆叫一——

生：一分为二求和法。

师：对了，名字里就能看出它的做法。

徐老师把切开的四边形变成四个三角形。（如图3）

师：又出事了，我无意间一碰，原来的四边形变成了4个三角形，那现在四边形的内角和应该是180°×4了，还能是360°吗？

生：因为最中心的那4个角可以拼成一个周角，但是它们不算最外面的，所以这360°要减去。

师：它们可以拼成一个周角360°，但是原来有这个角吗？它是新增加的，所以720°要减去360°，还是360°。你知道你的发现有多重要吗？我把数学家们发现的方法送给你们。他们没这么复杂，他们就是在四边形中任意点一个点，然后向顶点连线，这样有多少条边，就可以分成多少个三角形，你能说出他们是怎么得到360°的吗？

生：因为180°×4=720°，但是720°里面包含那个不存在的周角，再减去360°，所以得到四边形的内角和是360°，180°×4-360°。

师：慢慢的，我发现越来越有意思了，由原来眼睛里的学习，变成了头脑中的学习，真好。

【赏析】运用三角形内角和及分割法来求多边形的内角和，学生最难理解的是为什么要减去360°。要解决这一问题，需要学生对分割法有深刻的理解，且需要对角的个數增减有非常敏锐的想象力。课堂中学生能完全理解这种计算方法，并在后面的学习中准确应用，正是由于徐老师模仿学生做法这一简单设计，制造出认知上的矛盾，让他们深入思考如何解决这一矛盾，并以此让学生深刻感受：从图中任取一点向顶点连线后组成的多个三角形内角度数之和，总是比原来图形的内角和多了360°;并且不论是几边形，分成几个三角形，把它们的内角和加起来始终只会多一个周角的度数，在计算时总是需要把多出的360°减去，这样才能正确求出所要求多边形的内角和。在此我们可以清晰地看出，徐老师在这个小环节的设计中，同样渗透了简约教学的基本模式，即生疑、探疑、议疑、解疑、疑疑，由问题的解决引发新问题的产生，从而让学生逐步形成基于问题研究的学习思想。同时，我们也能深刻领略徐老师对于教学中即时生成问题的精准把握与精妙处理。徐老师运用教学媒体之简单（黑板、四边形纸片），教学过程之简化（师生深入的对话交流），就将整节课推向了高潮，也正是这简化的教学过程和简单的教学媒体，才让师生有更充足的时间来围绕主要的认知矛盾进行层次分明的探索和交流。同时也使得学生经验得以升华，创造了多边形内角和计算的一般方法，这种方法是具有普适性和简洁性的，从而实现了求多边形内角和方法的创新。

（作者单位：江苏省徐州市丰县顺河中心小学 责任编辑：王彬）

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