对一类二次函数应用问题的错误成因的思考

刘晓兰

[摘  要] 文章通过对几个典型的中考二次函数应用问题的错误成因的分析，发现运用二次函数的相关知识解决实际问题，要把二次函数所有的基础知识掌握透彻. 在实际应用中，要注意考虑自变量的取值范围等各种因素.在解决二次函数应用题时要根据题意，灵活应用函数的有关性质及数形结合思想求解，避免取值范围方面的误区所导致的问题产生.

[关键词] 二次函数;应用问题;错误成因

二次函数是初中数学重要内容之一，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确要求“学生能用二次函数解决简单的实际问题”.为此，笔者查阅了部分中考试卷后注意到二次函数应用题中存在一类与二次函数单调性相关的题目，如果对二次函数图像的对称轴的认识不充分，非常容易走入陷阱，误将其当作二次函数应用题中的“最值问题”来处理. 文章对该类问题的错误成因及解决策略进行了一些剖析和探究.

机械套用公式导致错误

问题1  （2017年湖北省荆州市）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为p=t+16（1≤t≤40，t为整数），-t+46（41≤t≤80，t为整数），日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图1所示.

在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m<7）元给村里的特困户.在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.

错解  设日销售利润为w元，由题意得w=t+16-6-m（-2t+200）=-t2+（2m+30）t+2000-200m，其函數图像的对称轴为t=2m+30.

因为w随t的增大而增大，且1≤t≤40，所以由二次函数的图像及其性质可知2m+30≥40，解得m≥5.又m<7，所以m的取值范围是5≤m<7.

分析  错解忽略了本题中的t为整数、实际的函数图像是抛物线上的一些散点这个事实.简单地根据1≤t≤40且日销售利润随时间t的增大而增大，错误地认为在t=40时取得最大值，从而简单判断了函数图像的对称轴与直线t=40的位置关系，最终得出了错误的结论.实际上，对于自变量取值范围内最后两个函数值的比较，应正确判断对称轴的位置，结合二次函数的性质得到答案.下面再看一题更为典型：

问题2  （2016年江苏省扬州市）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售1件需缴纳电商平台推广费用a元（a>0）.未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起，每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后所得利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，则a的取值范围应为______.

错解  设未来30天每天获得的利润为y，由题意得y=（110-40-a-t）（20+4t），化简后得y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a.

因为每天缴纳电商平台推广费用后所得利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，所以y随t的增大而增大，且1≤t≤30，所以由二次函数的图像及其性质可知-=≥30，解得a≤5. 又a>0，所以a的取值范围是0

分析  本题的错解原因在于忽略了题中的t为整数、实际的函数图像是抛物线上的一些散点这个事实，简单判断了函数图像的对称轴与直线t=30的位置关系，最终得出了错误的结论.可见，以上两题的错误原因非常相似.

回顾解题全程，思考其本质

运用二次函数的相关知识解决实际问题，要把二次函数所有的基础知识掌握透彻. 在实际应用中，要注意考虑自变量的取值范围等各种因素.在解决二次函数应用题时要根据题意，灵活应用函数的有关性质及数形结合思想求解.本文章的例题，由于自变量取的是整数，使得图像为抛物线上的一些散点，就不能盲目套用“开口向下的抛物线，图像在对称轴左侧单调递增”这一结论.“离散”与“连续”是数量关系中一对极为深刻的矛盾，它们之间的对立与统一是数学发展的重要原动力之一.

需要指出的是，通过几何直观更能准确地把握问题的本质.几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助于几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索问题解决的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用. 所以在教学中，要注意培养学生借助于几何直观解决实际问题的思维能力，切实发挥数学在培养人思维能力和创新能力等方面不可替代的作用.

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