“多题一解”思想在初中数学解题中的应用

[摘 要]在数学教学中， 教师大都重视培养学生“一题多解”的思维和能力。但是，学生还需要具备“多题一解”的思维，对不同问题的同类解法进行总结归纳，形成一个完整的知识体系，避免利用题海战术来学习数学。“多题一解”能训练学生思维，对培养学生数学能力有重要作用。

[关键词]多题一解;初中数学;特殊三角形

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）02-0020-03

一、初中数学“多题一解”的必要性

“多题一解”是指用同一种数学思想方法解决不同的数学问题，这就要求学生在分析题目时能够由表及里，抓住问题的本质，找出知识的内在联系。学生掌握“多题一解”，能将大量的数学题目化归为一个模块、一个专题，实现做少量的题也能灵活地解决各类难题。

初中阶段正是学生发展数学能力的关键期。随着知识点的增多和学习难度的提高，很多学生的学习水平开始出现明显差异。学好数学的关键点在于能解题、会解题。但是，很多学生都是提笔就写、遇題就做，缺乏对不同题型求解方法的思考和总结，导致学习效果不尽如人意。若能将“多题一解”思想运用到初中数学的学习中，让学生在不同问题情境下对问题进行剖析，并通过对比归纳，形成自己的解题体系，学生就会在面对不同类型的数学题时，能快速反应，选择出合适的解题方法。这样，既能提高学生的解题效率，又能让学生在解题过程中加深对知识内在联系的理解，达到举一反三、触类旁通的效果。

二、“多题一解”思想在特殊三角形存在性问题中的应用

等腰三角形和直角三角形的存在性问题是初中数学的难点问题。解决这两类问题的主要方法是构造“两圆一线”和“两线一圆”模型，在理解题意的基础上，通过绘图辅助，分类讨论出每一种情况的结果。但此类问题的难点在于满足题意的结果不止一种，学生受到定式思维的影响容易遗漏其他的结果。而且计算过程较为复杂，总体来说难度系数偏高。在教学时可将这两大类问题归为两个专题，让学生进行训练，使他们在解题过程中通过类比、迁移、归纳，感悟并掌握“多题一解”思想。

（一）构造“两圆一线”求解等腰三角形存在性问题

[例1]如图1，在平面直角坐标系中，已知点[A]的坐标为[（2，1）]，连接[OA]，若[P]是[x]轴上一动点，则当[△AOP]是等腰三角形时，求点[P]的坐标。

分析：若使[△AOP]是等腰三角形，那么必有[OA=OP]或[OA=AP]或[OP=AP]。

解：如图2，①当[OA=OP]时，以点[O]为圆心，以[OA]为半径构造[⊙O]，此时[⊙O]与[x]轴交于[P1]、[P2]两点，即[P1-5， 0 ]，[ P25， 0 ]。

②当[OA=AP]时，以点[A]为圆心，以[OA]为半径构造[⊙A]，此时[⊙A]与[x]轴交于点[O]（点[O]不能构成等腰三角形，暂不讨论）和点[P3]，即[P3（4 ， 0）]。

③当[OP=AP]时，作[OA]的垂直平分线，该直线与[x]轴交于点[P4]。此时，设点[P4]坐标为[（x ， 0）]，利用勾股定理，可列方程[x2=12+2-x2]，得到[P454， 0]。

因此，此题共有4个点能使得[△AOP]是等腰三角形。

对于这一类题目，通常还会有其他的问法。例如，在同样的条件下，[y]轴上是否存在点[P]，使得[△AOP]是等腰三角形？或者在坐标轴上是否存在点[P]，使得[△AOP]是等腰三角形？经过分析，我们发现解题思路和计算过程都可以类比例1。此时[y]轴上也有4个点符合题意。同样，当问题是在坐标轴上求点[P]时，就要综合点[P]在[x]轴和[y]轴上的两种情况，共可求得8个点。

[例2]如图3，在平面直角坐标系中，四边形[OABC]是长方形，已知[A（6， 0）]，[C（0， 2）]，[M]是[OA]的中点，[P]是线段[BC]上的一个动点，当[△OMP]是腰长为3的等腰三角形时，求点[P]的坐标。

分析：若使[△OPM]为等腰三角形，可讨论[PM=OM]、[OP=OM]和[OP=PM]这三种情况。

解：如图4所示，

①当[PM=OM=3]时，此时以点[M]为圆心，以[OM]为半径构造[⊙M]，其交[CB]于点[P1]，[P2]。分别构造相应的直角三角形，利用勾股定理列出方程，即可求得坐标为[P13-5， 2、P23+5， 2]。

②当[OP=OM=3]时，以点[O]为圆心，以[OM]为半径构造[⊙O]，其与[CB]交于点[P3]，利用勾股定理列出方程，可得[P35， 2]。

③当[OP=PM=3]时，作[OM]的垂直平分线，由图可知，此时[△OPM]是等边三角形，点[P]在两圆的交点处，不在[CB]上，不符合题意，故舍去。

综上所述，共有3个点成立。

[例3]在平面直角坐标系中，点[A（2， 1）]，[B（0， 1）]，[C（-4，-3）]，[D（6，-3）]，将各点依次连接构成一个四边形[ABCD]后，求出点[P]的坐标，使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD]都是等腰三角形。

分析：将各点连接之后，这是一个等腰梯形（如图5），要使得[△APB]、[△BPC]、[△CPD]、[△APD] 这4个三角形都是等腰三角形的点[P]并不好求。但是仔细分析后可以发现本题的突破点：（1）“[△APB]、[△CPD]是等腰三角形”是这4个等腰三角形成立的先决条件。由于该四边形是等腰梯形，[AB]和[CD]有着特殊的位置关系，当[△APB]和[△CPD]是等腰三角形时，点[P]必然在[AB]、[CD]的垂直平分线上，即点[P]在直线[x=1]上。（2）该四边形是等腰梯形，则有[BC=AD]，考虑[△BPC]和[△APD]都是等腰三角形的条件时，只考虑点[P]使[△BPC]是等腰三角形即可。综上两个关键点，我们可以建立“两圆一线”模型来解决这个问题。

解：对于[CB=CP]、[BC=BP]、[BP=CP]三种情况时，分别构造[⊙C]、[⊙B]、[BC]的垂直平分线（如图6），设点[P（1， y）]。

①当[CB=CP]时，[⊙C]与直线交于[P1]，[P2]两点，由[CB=42]，可知[CP=42]。根據两点间距离公式列出方程[y+32+25=422]，得到[P11，7-3]，[P21，-7-3]。

②当[BC=BP]时，[⊙B]与直线交于[P3]，[P4]两点，同理构造方程[y-12+1=422]，可得[P31， 1+31]，[P41， 1-31]。

③当[BP=CP]时，[BC]的垂直平分线与直线交于点[P5]，构造方程[y+32+25=y-12+1]，得到[P51，-4]。

综上所述，有5个点符合要求。

求解这一类等腰三角形的存在性问题，只要对问题进行层层分析，将关键点分析到位，就能知道它们属于同一类题，解题方法都是类似的。先根据题意分情况讨论，再构造“两圆一线”模型，最后利用勾股定理和两点间距离公式求解点[P]。只要熟练掌握这一类解题技巧，那么这类问题也就迎刃而解了。

（二）构造“两线一圆”求解直角三角形存在性问题

[例4]在平面直角坐标系中，点[A1，1]，[B5， 3]，在[x]轴上找一点P使得[△ABP]是直角三角形，求点[P]的坐标。

[分析]：本题中三角形的目标形状是直角三角形，那么必有[∠A=90°]、[∠B=90°]、[∠P=90°]三种情况。

解：如图7（“两线一圆”模型）所示，[AB=25]，设[P（x， 0）]。

①当[∠A=90°]时，过点[A]作[AB]的垂线交[x]轴于点[P]，利用勾股定理[AB2+AP2=BP2]，列方程为[20+x-12+1=5-x2+9]，即得[P132， 0]。

②当[∠B=90°]时，过点[B]作[AB]的垂线交[x]轴于点[P]，此时有[AB2+BP2=AP2]，列方程为[20+x-52+9=x-12+1]，即得[P2132， 0]。

③当[∠P= 90°]时，点[P]在以[AB]为直径的圆上，此时[AB]作为斜边，同样利用勾股定理[BP2+AP2=AB2]，列方程为[x-52+9+x-12+1=20]，即得[P32， 0， P44， 0]。

综上所述，共有4个点符合要求。

[例5]在平面直角坐标系中，点[M（1， 4）]，[A（3， 0）]，点[P]是[y]轴上一点。若使得[△PAM]是直角三角形，那么有几个满足条件的点[P]？求出该点坐标。

解：如图8（“两线一圆”模型）所示，[AM=25]，设[P（0， y）]。

①当[∠M=90°]时，过点[M]作[AM]的垂线交[y]轴于点[P]，由[PM2+MA2=AP2]，列方程为[4-y2+1+20=y2+9]，即得[P10， 72]。

②当[∠A=90°]时，过点[A]作[AM]的垂线交[y]轴于点[P]，由[MA2+AP2=PM2]，列方程为[y2+9+20=4-y2+1]，即得[P20，-32]。

③当[∠P=90°]时，以[AM]为直径构造圆，其与[y]轴有两个交点，由[MP2+AP2=AM2]，列方程为[y2+9+4-y2+1=20]，即得[P30，1]，[P40， 3]。

综上所述，共有4个点满足题意。

[例6]在平面直角坐标系中，点[A-2， 2]，[B（3， 2）]，[P]是坐标轴上一点，若[△ABP]是直角三角形。问：满足条件的点共有几个？

分析：本题增加了点[P]的位置范围，即在坐标轴上。但是方法不变，我们依然可借助“两线一圆”来解决这个问题。本题只用求点[P]的个数，不要求坐标，降低了解题难度。

解：如图9所示，构造“两线一圆”模型。

①当[∠A=90°]时，过点[A]作[AB]的垂线与[x]轴交于点[P1];

②当[∠B=90°]时，过点[B]作[AB]的垂线与[x]轴交于点[P2];

③当[∠P=90°]时，以[AB]为直径构造圆，其与[x]轴分别交于点[P3]，[P4]，与[y]轴分别交于点[P5]，[P6]。

综上所述，共存在6个点使得[△ABP]是直角三角形。

求解直角三角形的存在性问题，学生需要把握题目的本质，精准分析题目。先考虑到有三种直角的情况，再构造“两线一圆”模型，利用勾股定理列出方程即可。只要做到这一步，学生就能通过做一题会一类。通过日常的学习训练，学生求解直角三角形存在性问题的能力就会明显取得进步。

解题能力是数学学习能力的一大组成部分。数学题目种类多、范围广，知识点之间联系紧密。如果学生缺乏“多题一解”思想，很容易被困在题海中，找不到学习数学的有效方法，丧失学习数学的兴趣。本文以解决特殊三角形的存在性问题为例，将不同内容的练习题编织在一起，进行层层分析后，采用同一类方法求解，充分体现了“多题一解”的重要思想。在日常教学中，培养学生的“多题一解”思想，有利于加强学生对知识的熟悉程度，有利于学生对数学思想方法的掌握和运用，达到强化训练的目的，形成解题技巧，提升学生自身的数学素养。因此，“多题一解”在初中数学学习中具有显著作用，应当成为学生学习数学的重要思想。

[   参   考   文   献   ]

[1]  姜静.浅谈“一题多解”与“多题一解”在初中数学教学中的应用[J].科幻画报，2018（4）：102-104.

[2]  吴乃才.“两圆一线”与“两线一圆”[J].课程教育研究（新教师教学），2012（22）：262.

[3]  徐秀连.应用类比思想提高数学解题效率[J].广西教育，2020（5）：142-143.

（责任编辑 黄桂坚）

3643501908289