参数方程在抛物线弦长问题中的应用

张甲 郝建梅

[摘 要]抛物线弦长问题同椭圆和双曲线的弦长问题很相似，它是圆锥曲线的一类基本问题。文章以焦点在[x]轴正半轴上的抛物线为例，利用抛物线的参数方程推导出了当直线斜率存在与不存在两种情况下相对应的直线与抛物线相交时弦长的一般计算公式，并结合四个具体实例强化两个公式的应用。

[关键词]参数方程;抛物线;弦长问题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）02-0017-03

圆锥曲线是由一平面去截二次锥面所得的一类曲线，包含椭圆、双曲线和抛物线三类[1]。一直以来，有关圆锥曲线的问题均是高考的热门考点，特别是有关圆锥曲线的弦长问题。《求椭圆弦长，方法知多少？》[2]一文给出了椭圆弦长的一般计算公式。如果抛物线弦长问题也有一般的计算公式，则计算量将会大大减少。抛物线同椭圆和双曲线一样，也可用教材中给出的求圆锥曲线弦长的常用公式[d=1+k2x1+x22-4x1x2]（[k]表示直线的斜率，[x1]和[x2]分别表示直线与抛物线相交时两交点的横坐标）来求解弦长问题，但是想要求出公式中的[x1+x2]和[x1x2]，就要联立直线与抛物线的方程，再运用韦达定理求解[3]，因此计算量较大。此外，在解决过抛物线焦点的弦长问题时，根据抛物线的定义，常用焦点弦长公式，即[d=x1+x2+p]（[p]表示抛物线的焦点到准线的距离）。但是在使用该公式时必须要知道直线与抛物线两交点横坐标的和，即[x1+x2]，所以，如果能推导出已知直线方程和抛物线方程，就能求出直线与抛物线相交时的弦长，使得问题迎刃而解。

高中数学系列选修教材中引入了参数方程，参数方程的应用是解决动点轨迹等问题常用的一类解题方法。一般地，曲线参数方程的定义可表述为，若某一曲线[l]上任意一点的坐标[（x， y）]可表示为某一变量[t]的函数，其中

[x=ft，y=gt，] （1）

在[t]的允许取值范围内，每一个[t]所对应的点[M（x， y）]都在曲线[l]上，则称式（1）为曲线 [l]的参数方程。根据以上叙述，本文考虑用抛物线的参数方程去求解抛物线的弦长问题，为叙述方便，本文先给出抛物线[y2=2px]（[p>0]）的参数方程[4]：

[x=2pt2，y=2pt ，] （2）

[t∈（-∞， 0）⋃（0，+∞）]，参数[t]表示抛物线上除原点以外的任何一点与原点连线斜率的倒数。

一、抛物线弦长的一般计算公式

（一）当直线斜率存在且不等于0时

如图1，已知直线[y=kx+m]（[k]为直线斜率，且[k≠0]）与抛物线[y2=2px（p>0）]交于[A]，[B]两点，[C-mk， 0]为直线与[x]轴的交点，求弦长[AB]。

可根据上述抛物线的参数方程，求解抛物线弦长问题，具体过程如下：

首先，设[A]，[B]两点的坐标为[A2ptan2A，2ptan A]，[B2ptan2B，2ptanB]，则线段[AB]的斜率可表示为

[k=2ptan A-2ptan B2ptan2A-2ptan2B]，

即[1k2ptan A-2ptan B=2ptan2A-2ptan2B]。

根据平面上两点间的距离公式，得

[AB=2ptan B-2ptan A2+2ptan2B-2ptan2A2]

[=2ptan B-2ptan A2+1k22ptan A-2ptan B2]

[=1+1k22ptan B-2ptan A2]    （3）

又因为线段[AB]与[AC]有相同的斜率，所以

[k=2ptan A2ptan2A+mk]，即[2kptan2A-2ptan A+m=0]，

将上式看作关于[1tan A]的一元二次方程，解得

[1tan A=2p±4pp-2km4kp]     （4）

因为直线与抛物线交于[A]，[B]两点，所以[4pp-2km>0]，即式（4）中的两个值一定是[A]，[B]两点与原点连线斜率的倒数，将其代入式（3），得

[AB=]

[1+1k22p2p+4pp-2km4kp-2p2p-4pp-2km4kp2]

[=2k21+k2pp-2km]     （5）

（二）当直线斜率不存在时

如图2，已知直线[x=m]与抛物线交于[A]，[B]两点，求弦长[AB]。

设[A]，[B]兩点的坐标为[A2ptan2A ， 2ptan A]，[B2ptan2B，2ptan B]。因为直线方程为[x=m]，所以[AB⊥x轴]，即[2ptan2A=m⇒tan2A=2pm]，从而[AB2=4AC2=16p2tan2A=8pm]，即[AB=22pm]。 （6）

二、例题解析

[例1]设抛物线[y2=4x]与直线[y=2x-4]相交于[A]，[B]两点，求弦长[AB]。

解法一：由[y2=4x，y=2x-4，]联立得[4x2-20x+16=0]，化简得[x2-5x+4=0]。

设[A]，[B]两点的坐标为[（x1， y1）]，[（x2， y2）]，根据韦达定理，得[x1+x2=5]，[x1x2=4]，

所以，弦长[AB=1+2252-4×4=35]。

解法二：根据式（5），可得

弦长[AB=2k21+k2pp-2km=]

[2221+22×2×2-2×2×-4=35]。

点评：本题抛物线方程和直线方程均已给出，是一道常规的求抛物线弦长的题目。传统的方法需要联立两个方程来求解，在联立方程利用韦达定理计算时比较容易出错。

[例2]过抛物线[y2=2px（p>0）]的焦点[F]作一条直线，且直线的倾斜角为[π4]，该直线与抛物线所交的弦为[AB]，已知弦长[AB=8]，求[p]。

解法一：由[y2=2px ，y=x-p2，]联立得[x2-3px+p24=0]。解得[x1=3p+22p2]，[x2=3p-22p2]，分别为两交点的横坐标，代入焦点弦长公式[d=x1+x2+p]得：[8=3p+22p2+3p-22p2+p]，即[p=2]。

解法二：该直线方程为[y=x-p2]，根据式（5），可得弦长[AB=2k21+k2pp-2km=] [21+1pp-2×1×-p2=8]，解得[p=2]。

点评：本题是已知抛物线与直线相交的弦長，求抛物线的方程。虽然例1和例2的解题思路都一样，但例2引入了未知数[p]，利用圆锥曲线的弦长公式计算时难度会更大一些。比较两种计算方法，发现解法二利用式（5）更简便。

[例3]求抛物线[y2=2px（p>0）]的通径长[AB]。

解法一：由[y2=2px ，x=p2，]得[y2=p2]，所以两交点的坐标分别为[p2， p]，[p2，-p]，即通径长[AB=p-（-p）=2p]。

解法二：根据式（6）可求得通径长[AB=22pm=22p×p2=2p]。

点评：本题涉及抛物线通径长度的求解。解法一是根据抛物线通径的相关性质，联立抛物线方程和通径所在的直线方程求解。解法二是根据式（6）直接计算，进一步显示出抛物线弦长的一般计算公式的简便性。

[例4]如图3所示，抛物线[y2=2px（p>0）]的焦点[F]为圆[x2+y2-4x=0]的圆心，斜率为2且过焦点[F]的直线与抛物线交于[A]，[D]两点，与圆交于[B]，[C]两点，求[AB+CD]。

解法一：已知抛物线的焦点为圆[x2+y2-4x=0]的圆心，所以抛物线方程为[y2=8x];斜率为2的直线过抛物线的焦点，所以直线方程为[y=2x-4]。联立直线方程和抛物线方程可得[4x2-24x+16=0]，化简得[x2-6x+4=0]。设[A]，[D]两点的坐标为[（x1， y1）]，[（x2， y2）]，根据韦达定理，得[x1+x2=6]，所以弦长[AD=6+4=10]，即[AB+CD=10-4=6]。

解法二：根据题干求出抛物线的方程[y2=8x]和直线方程[y=2x-4]，由式（5）得，[AD=241+4×4×4+2×2×4=10]，所以[AB+CD=10-4=6]。

点评：通过仔细读题并结合图形可知，本题的解题关键是求出抛物线与直线相交的弦长。题目让计算[AB+CD]，实际就是计算抛物线弦长减去圆直径的长度。

以上4个例题涵盖了直线与抛物线相交时，直线斜率存在和直线斜率不存在且刚好过抛物线焦点的情况。通过分析以上4个例题可知，将式（5）和式（6）用于求解抛物线弦长问题可避免在联立直线方程和抛物线方程的过程中可能出现的计算失误，同时达到简化计算的效果。若将以上两个公式用于选择题等小题的计算，则可以快速地解决问题。参数方程思想贯穿整个高中数学，是解决许多复杂问题的重要工具。对于许多复杂问题，引入参数方程进行求解可大大降低解题难度。圆锥曲线的参数方程虽然在高考中占比不是很大，但如果能作为一种重要工具加以熟练运用将会有不少的收获。

抛物线的弦长问题，看上去似乎不太复杂，可是一旦抛物线方程或者直线方程比较复杂时，再将两个方程联立用韦达定理求解会非常麻烦，大多数学生很难在较短时间内准确求解。本文将抛物线的参数方程应用于抛物线弦长问题，推导出了抛物线弦长的一般计算公式，即式（5）和式（6）。这两个公式涵盖了直线与抛物线相交的所有情况。当抛物线的焦点在[x]轴负半轴或者[y]轴的正半轴或负半轴时，推导方法与式（5）和式（6）类似，本文不再一一赘述。《求抛物线弦长的一个公式》[3]一文利用抛物线的一般方程也给出了该公式的推导过程。对高中生而言，在解题的过程中运用参数方程可能稍有难度，但经过不断努力熟练掌握该方法，在解题时就可以取得事半功倍的效果。训练学生应用抛物线的参数方程求抛物线的弦长，可有效发展学生的解题思维。

[   参   考   文   献   ]

[1]  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书·数学：选修2-1[M].北京： 人民教育出版社，2007.

[2]  钟德光，蔡方明，陈宇鹏.求椭圆弦长，方法知多少？[J].理科考试研究，2018（7）：21-23.

[3]  廖炳江.求抛物线弦长的一个公式[J].数学教学研究，1999（4）：22-23.

[4]  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书·数学：选修4-4[M].北京： 人民教育出版社，2003.

（责任编辑 黄春香）

3536501908262