GGb软件与高三数学教学的深度融合

刘健康

【摘要】GeoGebra（简称GGb），作为功能强大的数学制图工具，具有动态、可视化的特点，能够很好地将高中数学中比较抽象、空间思维强的知识点以一种真实的情景再现。动态的过程演变，可变化的形式展现，可以激发学生的学习兴趣，快速理解数学的本质。目前，GGb在我国得到广泛的运用和推广。本文根据高三数学教学的积累，从几个实例阐述GGb在高三数学教学上的应用，提高教学效率。

【关键词】GGb;高三数学;数学教学

信息技术与学科教学的融合，是改变传统教学模式的重要举措。目前的教学中，部分老师对教育信息化发展的重要性存在认识不足，个别老师还坚持“粉笔+教材”的传统模式，有的老师只会点击教辅的PPT，不做改动和选择，有的条件好的学校提供希沃白板设备，老师也就只是用来代替粉笔书写。这些缺乏主动意识的行为，导致课堂质量、效率及效果较低。随着国家“双减”政策的实施，提高课堂教学效率、效果势在必行。

GGb是一个动态几何软件。教师可以通过操作GGB 的滑动条、动点、制作动画让学生感受数学动态的过程，在掌握数学知识的过程中体会数形结合的乐趣。利用GGB 使学生经历数学知识的发生以及问题的发现、提出、分析以及解决的过程。利用3D 绘图区，增加立体几何教学的直观性，降低抽象难度，减少学生学习过程中的障碍，增加学生的学习兴趣，激发抽象思维的同时减少学生学习的畏难情绪。

一、GGb软件在高三数学概念教学中的应用

在高三教学中，概念复习教学特别重要，教师应该从多角度充分揭示概念的内涵和外延，引导学生对概念进行本质的理解和提升。众所周知，三角函数线这个概念是个教学难点，学生普遍感觉困难，新教材也意识到这一点。其实三角函数线就是三角函数的几何特征，体现了数学中代数与几何的交汇，有数形结合的思想运用。有了GGb，我们可以结合动态展现，根据学生已学向量知识，更清晰掌握这个概念。

第一，设计意图：角α的正弦值，余弦值，正切值都是“数”，而对应正弦线、余弦线、正切线都是“形”。通过 GGb 的动态呈现，步步有据，形象直观，可以得到结论：任意角α的三角函数线就是对应的向量，这些向量的数值就是对应的角α的三角函数值。

第二，技术操作。如图1所示：（1）用画圆工具做出单位圆;（2）用描点工具在单位圆上任取点B;（3）用直线工具做出射线OD，向量CB，OC，DG;（4）点击B点属性，开启动画。

图1

第三，操作点评。制图时要注意角α旋转到第二、三象限时，正切线是反向延长的相交。让学生密切注意动点所在的位置。对每一个象限的特征加以区别，让学生通过观察后，主动描述三角函数线的概念。

通过以上的教学过程，将数学概念动态化、直观化，有效帮助学生理解概念本质，有利于培养学生的直觉思维能力和主动探究意识。通过促进学生形象思维的培养，进一步发展逻辑思维。

二、GGb 软件在高三数学立体幾何教学中的应用

在高三教学中，立体几何一直是高考的重点。需要培养学生的空间想象能力，掌握空间里点、线、面的原理，表达和位置关系，熟悉柱体、锥体、台体和更多组合几何体的结构，还需要从坐标代数的角度进行各种距离、角度的计算，同时探索动态情况下的最值变化。学生空间思维能力不足，平面与空间的转换方面有困难，学生如果不能够正确理解立体几何各定理，不能梳理好他们之间的关系，会导致学生思维受局限，不能正确全面认识立体图形，就无法做出正确的证明和计算。以例1的教学为例。

例1：已知P，A，B，C，D是球O上的五个点，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，DC=PA=4，PA⊥面ABCD。求球O的体积。

学情分析：底面是等腰梯形，需要底面外接圆，部分学生无法正确作出，不能判断圆心位置，大部分学生没有寻找球心位置的正确方向，不会用球心和圆心的连线垂直外接圆面的关系。

解决办法：用GGb画出底面外接圆，让学生体会外接圆圆心的位置，引导学生证明圆心是BC的中点，再用GGb找出球心位置，让学生充分认识立体结构、线面关系，找到计算球半径的三角形。

技术操作：如图2所示：（1）在3D绘图区用描点工具找到五个点，用锥体工具连成棱锥;（2）用作圆工具点击A，B，C三点做出外接圆，确定圆心;（3）用垂线工具点击圆心，外接圆面，作出垂线，再过P点做刚才垂线的垂线;（4）用中点工具确定球心，用多边形工具连接球心，圆心，球面上点，连成三角形;（5）三角形中的计算球半径。

操作点评：在用GGb 展示知识重难点的同时，还要注意课件中的颜色搭配以及信息布局，让学生可以一眼就抓住课件中所要呈现的重要信息，形成记忆点。其次，还可以通过GGb的复原、重复、隐藏、显示、拖动和动画，配合生动有趣的语言对学生进行教学、反馈和探索。教学中，应把学生的直观感受摆在重要位置，充分调动学生的感觉器官，让学生能够将自己的直观感受作为出发点，概括出现象的本质及其规律。

三、GGb 软件在高三数学综合能力教学中的应用

新课标提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。其中，培养学生空间想象能力，发展形象思维、抽象思维是中学数学教学的重要内容。《高中数学新课程标准》《全日制义务教育数学课程标准》中提到注重信息技术和数学课程的有机整合，课堂上要尽可能使用多媒体设备、教学工具等，将抽象的数学问题直观展现，营造轻松愉悦的多媒体教学环境，引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，提高空间想象能力。以例2的教学为例。

例2：已知M为函数y=8/x 的图像上任意一点，过M作直线MA，MB分别与圆x+y=1相切于A，B两点，则原点O到直线AB的距离最大值为（    ）。

A.1/8 B.1/4   C. 根号2/2  D.根号2/24

学情分析：学生会习惯设M（x，y），做出圆的两条切线后，不能准确求出直线AB的方程，从而用点到直线的距离公式解决不了问题。或者会没有根据去猜测动点M的位置。

解决办法：用GGb做出动态图，在变化过程中显示原点O到直线AB的距离的变化状态和规律，体会M点的特殊位置，激发探索的兴趣。教师再从代数和几何两方面培养学生的综合能力，第一，用代数变换学习切点弦的求法，再用点到直线的距离公式，最后结合基本不等式知识。第二，从几何角度，发现直角三角形中的射影定理，得到点到直线的距离和OM长度的关系，利用M点在曲线上，基本不等式求出最值。

技术操作：如图3所示：（1）用画图工具做出单位圆;（2）直接输入函数y=8/x，可以立即显示曲线图像;（3）用描点工具在y=8/x图像上任取点M;（4）用作切线工具，点击点M和圆O可作两条切线;（5）用直线工具做出各条线段，标明垂直90度;（6）点击点M的属性，开启动画（也可以用滑动杆控制或者复选框）。

操作点评：GGb软件的视图工具、操作过程的功能，能够体现数学思维过程，活跃课堂氛围、提高学生参与度，但是课堂教学最后还是以学生为主体，信息技术是辅助手段，融合得很好，恰当的设计会效果显著。演示的同时，教师要注意及时引导和归纳，最后形成知识点的传授，培养学生的数学综合能力。

四、GGb 软件在高三数学教学中的应用意义和展望

多元表征理论提出：信息、资源（如数学概念或数学问题）通过建构心像码，担任“桥梁”角色，对信息进行编码和形成多种转译方式，从而呈现对信息的多元化的表征。高三数学教学是多个模块知识点的综合复习，可以用文字语言、符号语言以及图像来表征，这样通过多种表征方式能够促进学习者深刻理解增函数概念的本质，有利于培养学习者学会多角度、多方位、多种思路解决问题的习惯，在学习学科知识的同时，也可以进行美育的间接培养。

可视化技术通过将抽象的、复杂的知识或信息利用直观的图像或图形呈现出来，以帮助学生快速地理解内容、发现规律、交流信息。高三数学可视化教学就是将抽象的数学学习对象（概念原理、结构关系、思想方法等）用可看见的表征形式（图形、图像、动画等）清楚直白地呈现出来，使学生对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解。

最新的人教A版和人教B版高中数学教材中，以GGb软件为载体，介绍了如何利用计算机技术实现数学功能，并开展相应的教学活动。所以教师需要主动学习，通过论文、书籍、丰富的在线资源学习，还可以通过社交群体、区域教研、公开课等方式进一步学习GGb，各级教育部门非常重视，一批优秀老师通过实践取得了很好的成绩，各种培训推广活动颇有成效。在高三数学教学中，平面几何、函数、三角、立体几何、解析几何与GGb软件的融合应用比较多，在概率统计上相对不足。同时我们还需要注意现在的学生本身GGb知识不足够，而且暂时作为主体的参与度不高，学生只是感官上观察、体会，所以在课堂教学中，我们不能唯“技术论”，用好GGb软件这个辅助，全方位去提高课堂效率。

综上所述，高三数学就是几何、代数的组合体。在高三数学的学习当中，数形结合思想是学习数学的主要思想。GGb软件帮助数学教师丰富教学方法，通过有效的教学促进学生对数学本质的理解。应用GGB软件辅助高三數学教学，可以降低学习数学的难度，有利于培养学生的学习兴趣，激发求知欲，给数学教学改革注入了新的活力。

参考文献：

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[2] 彭淑琴.基于GGb的中学数学可视化研究[J] .陕西理工大学，2020.

[3] 刘怡轩.GGb在中学数学教学中的应用与展望[J] .中学数学教学参考，2021（5）.

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