高中数学学业质量视角下的数学问题及其解决策略

●幸世强

数学学业质量是应该达成的数学学科核心素养的目标，是相应考试命题的依据。解决数学问题的水平是数学学业质量水平评价的重要指标。在实际命题中， 命题者会选择合适的问题情境为载体考查学生的数学核心素养。问题情境包括现实情境、数学情境、科学情境，每种问题情境可以分为熟悉的、关联的、综合的；数学问题是在问题情境中提出的问题，从学生认识的角度分为简单问题、较复杂问题、复杂问题[1]。对每一个数学核心素养的考查，都要体现情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思，这是教学和命题必须体现的。对于承载相应数学核心素养知识与技能的数学问题，可以分为了解、理解、掌握（低阶思维或低认知目标）、综合、分析、评价、创造（高阶思维或高认知目标）水平层次。数学问题的设计应结合情境突出内容主线，反映数学本质的核心概念、主要结论、通性通法、数学应用和实际应用。解决数学问题要特别关注数学学习过程中思维品质的形成（基本经验），关注学生学习数学的能力（阅读、语言、表达）。在实际教学工作中，数学教师都知道数学是思维的体操，数学问题是训练思维的法宝，数学问题的解决质量是评价教与学水平的标尺。但有的数学教师对数学问题及解决问题的内涵认知不足，理念有待厘清。

一、数学问题的内涵

（一）数学问题就是一个系统

一个系统的全部元素、元素的性质和元素之间的关系都是确定的，那么这个系统就是稳定的系统。如果这个系统缺少一个元素、性质或关系，那么这个系统就是问题系统，这个问题系统就是一个问题。如果这个问题系统的元素、性质和关系都是与数学有关的，那么它就是一个数学问题。数学问题有结构完善的问题和结构不良的问题， 新课程改革背景下高考数学问题中呈现出多元开放的数学情境问题，对学生综合素养的考查要求较高。

（二）数学问题的特征是形式化

通过情境和问题，与数学知识、方法以及数学模型建立联系，联系的水平则表现了数学素养的水平。当实际情境问题变成数学问题后， 都抽去了具体情境的物质性，变成了纯粹的形式化问题，形式化的数学问题的建立过程就是数学模型建立的过程。学生在学习时不但要解决纯粹形式化的数学情境问题，还要解决一些具有现实情境和科学情境的问题，具有现实情境和科学情境的问题需要学生阅读、提取信息、归纳信息、建立模型，这种抽象有利于数学概念和数学命题的形成， 有利于学生理解和认识数学本质。

二、数学问题的结构

数学问题由条件、运算和目标或者条件信息、运算信息和目标信息三部分构成。

（一）数学问题的条件

条件或条件信息是指问题构成数学知识的对象、关系和模型或者是问题的状态。数学最为关心的是数学关系，数学关系是指数量关系、图形关系、运算法则和随机规律等条件的限制，它可以是已知条件之间的关系，可以是已知条件与未知条件的关系。问题的状态就是问题的最初表达形式， 它是问题所涉及的范围内，解决问题过程中某一时刻的表达形式。对问题状态的不同理解和认知，就决定了解决问题的方法不同，得到的结果就可能不同。在很多情况下，数学问题的条件不是明确给出来的，尤其是数学关系是隐蔽的，需要学生自己去挖掘、寻找。理解知识的复杂度和深度，以及解决问题的难度和创新性等反映了数学核心素养水平。

（二）数学问题的目标

目标或目标信息就是要解决的数学对象，数学问题解决的过程就是问题的中间状态，数学对象一旦解决，数学问题就达到了稳定状态。数学问题通常有两种目标状态：在数学证明题中，目标状态是完全给定的，解决的中间过程没给定，需要学生严谨和准确的表述；在其他求解题中，目标状态不是完全给定的，求解过程也是没给定的，这种问题更多的是考查学生开放多元的数学思维和经验积累。

（三）数学问题的运算信息

运算或运算信息就是逻辑运算、数学推理和数学推导的根据。在证明题中，运算或运算信息是指用于推理的法则、定义、定理、公理、数学公式和法则等算理。在问题解决过程中，运算可以改变数学问题的状态，把数学运算运用于解题的各个状态，就可改变问题的状态，逐渐向目标状态过渡。运算或运算信息是解决数学问题的基础， 是问题由初始状态向目标状态转化的理论依据。

运用数学语言和数学方法来理解数学理论，构建数学模型和解决问题。数学问题是由条件、运算、目标三部分组成，也就是构成数学问题的三要素。解决数学问题时，全面认识数学问题的组成，对最终完成数学问题的解决具有非常重要的意义。

三、数学问题解决的策略

数学问题解决是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，渐次地靠近目标，最终达到目标。在数学问题解决的过程中，要用到观察、分析、思辨、抽象、归纳、类比、演绎、特殊化、一般化等逻辑思维形式，又要用到直觉、顿悟等非逻辑形式来探索寻求数学问题的解决路径。数学问题的解决过程，就是寻求解决问题的方案，是一个数学思维的策略问题，其内容是寻找对策，突出“如何思考”，基于此，思维策略是促进探索、促进发现的方法，它是达到目标的正确计划和方向。数学问题解决的策略包含以下几个方面：

（一）理解探索解题方法的基本要素

1.展开联想，初步探索

我们解题时，阅读问题情境，与数学知识、方法、数学模型建立联系，有序联想一些问题：见过这个问题吗？ 见过类似的（图形类似，条件类似，结论类似）问题吗？ 能联想起有关的定义、定理或公式吗？ 已知是什么？ 未知是什么？[2]能够用哪些数学的概念、结论、思想方法来解决问题？

2.目标导航，选择路径

解决数学问题要始终盯住问题目标，把握问题解决的方向。把探求过程中得到的中间状态不断与目标状态加以比较，逐渐减小已知和目标的差异，及时调整自己的思考路径。如果把注意力集中于问题目标，我们就会想方设法达到它：有什么方法能够达到目标？达到目标的前提条件或信息是什么？能否先解决其中的某个前提条件？ 解决这个前提条件通常应该做什么？ （再看看目标，换一个方式来叙述这道题。回到定义、定理、公式、法则或者是学过的典型问题去看看，先试试解决一个特例。这个问题的一般形式是什么？你能解决问题的一部分吗？你用了全部条件吗？[2]）

（二）理解探索解题的主要方法

探索解决数学问题的主要方法是“变更问题”，也就是利用“等价的叙述”恰当地把问题转化，使“已知的数学对象”和“所求的数学对象”越来越近。实现问题转化的基本方法包括：改变问题的已知和结论；使问题特殊化；使问题一般化；找到恰当的辅助问题；把已知条件重新关联和组合。这些方法在解决数学问题时一般都会被综合使用到。

四、数学问题解决的思维过程

解决数学问题的思维活动是一个观察问题、分析问题、问题识别、归纳、假设和验证的过程。心理学研究表明， 解决数学问题首先是对问题加以识别，根据数学问题的特征进行归类， 便于使用恰当的数学解题方法解决数学问题。在数学问题解决中，识别和归类包括提出假设和验证假设的过程。对那些不易识别和归类的问题， 就要认真阅读和分析题目的条件和结论，结合自己积累的基本数学经验，联系已学数学原理和已解决的不同类型的问题提出新的解题设想，然后对此设想进行验证。如果提出的解题设想经过验证是正确的，问题就会得以解决；否则就要重新审视问题，提出新的方案，继续对新的方案进行验证，直至问题解决。对数学问题的识别和归类的基本方法就是对数学模式的辨认。学生如果能够从所给的问题情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，那就能提出相应的解决问题的方法。学生如果不能完成对数学问题的“模式”识别和归类，可能是学生本身知识欠缺，也可能是关联不畅通，这就需要教师去弥补，去改进教学方式。

对数学“模式”的识别和归类，与学生积累的数学经验和数学问题本身的复杂程度有关。就代数结构和几何图形的“模式”而言，是否是简单的常态的代数结构或图形， 是否是变化后的较复杂的代数结构或图形， 是否是多个代数结构或图形交错重叠的组合的代数结构或图形等，都会给数学“模式”识别与归类带来不同的影响。因此，要形成正确而迅速的数学“模式”识别和辨认能力，需要培养学生的抽象概括能力，善于从问题情境中提炼出数学信息，将有关的数学要素组织起来， 从不同的角度和各种关联要素中去考察，实现数学“模式”的辨认。

学生从问题情境中识别数学“模式”，是一个积极主动的思维过程，需要学生积累正确的经验和正确的方法。通常采用“顺推”和“逆推”的思维探索策略，从所给的条件和所求的结论两方面进行分析，辨认出有关的数学“模式”。对简单或较为熟悉的数学问题宜采用“顺推”策略，对复杂或不熟悉的数学问题宜采用“逆推”的策略。在实际解决数学问题的过程中，学生主要采用的是分析与综合方法，分析与综合总是相生相伴的。解决一个数学问题，首先是对问题的结构进行分析，看题目的条件是什么、结论是什么，然后比较条件和结论，寻找条件和结论之间的联系和差异，寻找消除差异的方法，也就是综合。分析是“执果索因”，综合是“由因导果”，是“剖析”和“组合”的意思。

在数学问题解决的思维过程中，学生首先要认真阅读数学题，理解题意，全面认识和把握问题的条件和运算推理信息，提出解题的各种设想并选择最佳的路径，制定解题方案，也就是通过分析和综合，提出解题设想，制定解题计划，揭示条件和结论之间的本质联系，形成新的结构，孕育新的解题途径。

一个数学问题的解决受问题情境（问题的不同类型及难度、问题陈述方式及图式认知的难易程度）、个人特点（知识经验基础、个性品质、数学关键能力）和认知策略（能否突破常规，能否克服套路改变思考的方向，能否多角度多方位思考问题，能否准确抓住问题的要点，能否回到有关的数学概念、公式、法则去思考问题）等诸多因素的影响。教师在数学教学中要重视用思维来架构承载数学核心素养的知识和技能的学习，渗透数学思想方法，帮助学生积累良好的数学活动经验，帮助学生克服刻板的习惯、固定的模式等解决数学问题的认知障碍，优化学生的思维品质，提高学业质量水平。