GeoGebra辅助立体几何教学的原则和策略

张渊博 福建省晋江市英林中学

信息时代的到来，革新了人们的生活，转变了人们的理念。这种理念不仅彰显在人们的生活中，而且展现在教育领域中。其中包括教育理念的转变、人才培养观点的转变、教育质量评价观念的转变及学习方式的转变。结合计算机技术处理革新过程中所产生的各种问题，推动了信息技术辅助教学这一手段的进展，构建了信息技术辅助教育产生和发展的社会基础。依托新课程标准的要求，高中数学课堂应该强化技术的运用，重视教育技术和数学教育内容的整合，提升教学效率，深化教学质量。

而教师对GeoGebra软件的应用，既迎合了信息时代的变革，又满足了课程标准的要求。GeoGebra由“Geometry”和“Algebra”两个英文单词构成，它是一种动态数学软件，几何、代数、表格、图形、微积分等都包含在其中，高中数学课程相关的图形都能够轻易画出。在信息技术不断发展的今天，“智慧课堂”基于素质教育深化的要求得到了广泛推广。高中数学课堂也在此背景下，逐步转变了教学方式。GeoGebra绘图的基本选项包含点、线段、多边形、函数、圆锥曲线等，提供了便捷性的动态性演示，可以向学生展示轨迹的生成过程，能够带领学生探索轨迹的动态性。立足于“动态”的特征，展现几何图形内在关系的环境，变抽象为具体、变枯燥为生动。

一、GeoGebra辅助立体几何教学的特征和优势

（一）使用的便捷性

GeoGebra能够跨多个平台，供应桌面程序、手机程序、平板电脑程序和网页程序。对教师来说，GeoGebra5桌面程序是他们最常使用的程序，其只需要进行简易化的安装，应用的时候，也不需要网络的支撑。当然，GeoGebra6安装起来更为简易，其视图也更为完善，不仅支持移动版，而且支持网页版。和其他动态几何软件及硬件不同的是，GeoGebra开源软件不收取任何费用，辅助运用层面，非常适合推广。

（二）功能的全面性

和其他的几何软件及硬件相比，GeoGebra5的功能相对比较全面，它是一个带有捆绑包的软件，把几何、表格、概率及统计整合在了一起，对视图进行了六个层面的划分，即代数、表格、运算、绘图、3D绘图和概率统计。不同的区域拥有不同的功能价值，且不同区域能够进行一致性的交流和互动，以展现更多的功能，实现更为高效的教学任务和探究目标。由此可见，动态几何软件为学生提供了交互形式的几何环境，其中的运算、表格、概率统计、微积分等功能让其超越了其他几何软件和几何硬件的陈旧功能，面向的领域更加全面。

（三）拓展的兼容性

GeoGebra为使用者提供立足于此软件的脚本和编程语言的高级选项，支持使用者进一步开发和追求新的应用，GeoGebra支持输出多种样式的文件。在输入和编写数学公式的部分，GeoGebra支持输入和输出LaTeX格式的公式。所谓LaTeX，指的就是对文件进行编制的软件系统，它被广泛运用在多个范畴的科学物品中。

二、应用GeoGebra辅助高中数学立体几何教学的现状

信息技术的不断发展，让当下数学课程革新的趋势发生了转变，由传统的数学课堂转变为融合信息技术的数学课堂。在最新人教版的高中数学教材中，创作者以GeoGebra 软件为载体，向学生介绍如何利用计算机技术完成数学功能，并组织对应的教学活动。GeoGebra 软件的覆盖范围比较广泛，不仅适用于小学时期的数学教学，而且适用于大学时期的高数教育。基础教育时期的很多主题教学内容都能够依靠GeoGebra 完成，其功能也能够让数学课堂教学得到丰富。在以往的数学课堂教学中，教师一般以黑板为主要教学工具，在几何教学中，教师会运用部分教学模型进行演示，但无法完全实现动态化的图形演示，学生在面对抽象问题时，也无法轻易地理解问题的呈现。但对GeoGebra 动态几何软件的应用，能够实现动态化的图形演示，并提高学生数形结合的理念，加强学生的直观想象能力和素养，完成多元特征的展现和衔接。

对GeoGebra 等信息技术的利用，能够完成循环式的证明，学生能够在GeoGebra 的帮助下，进入到探索、猜想、验证、论证的循环中。比如，人教A 版教材选择性必修第二册，就指出了对GeoGebra 软件的利用，意在画出函数图像，并让学生基于图像进行概念分析、定义猜想，探索函数的性质。在解析函数性质时，学生所运用的第一步就是导数，学生在用导数研究函数性质时，就可以借助GeoGebra 软件实施直观性的验证。

三、GeoGebra 辅助高中数学立体几何教学的应用原则

（一）整合性

高中数学教师在应用GeoGebra 软件辅助立体几何教学时，应该和传统的讲述、板书、PPT 课件结合在一起，消除教学手段不断切换的繁杂性，简要设计教学流程，防止在实践教学中因为教学手段的丰富性而影响教学成效的提升。与此同时，教师也应该对教材进行充分研究，并在研究的基础上，把关联性比较强的知识点总结在一起，制定原理、界面、操作过程都比较简单的GeoGebra 课件，这样，教师的操作就比较便捷，学生也更容易观察和理解。

（二）科学性

高中数学教师在制定GeoGebra 课堂方案时，应该重视课堂方案的科学性。其一，教师课件中的内容应该是教材内容的统筹，教师要把相关信息当作一个完整体，使学生可以用联系的观念整合问题，更好地把新知渗透到已有的经验中。其二，教师在展示GeoGebra 课件的时候，应该重视数学规律的展现，促进数学思想的掌握，促使学生在潜移默化的过程中，加强自身的数学综合素养。

（三）动态性

GeoGebra 软件有一个相对突出的功能，即3D 功能，因此，教师在对其进行运用的时候，应该延展其优点，把静态的数学立体化、动态化，在讲述一些抽象理念时，教师可以对GeoGebra 软件进行利用，借此设计出动态化的具象式课件，进而提高学生的直观想象能力。在实施变式教学时，教师可以通过滑动条的拖动，改变相应的参数，具体展现几何体的动态转变过程。

四、在高中数学课程中利用GeoGebra 软件辅助立体几何教学的具体策略

（一）抓住GeoGebra 软件和教学内容的融合点

依托人教版教材高中数学的内容，能够发现高中立体几何主要包含基本立体图形和基本图形位置关系的内容，学生在学习此类问题时，总会因为立体几何的空间性，直观感受到几何题型的复杂。为此，学生需要拥有相对比较高的直观想象能力和逻辑推理能力。而这也对教师提出了相应的要求，教师需要在备课的时候，对教材内容进行充分的研究和探索，通过对教材基本构造的分析，沿着宏观的视角明晰知识之间的逻辑性，融合学生的认知理念、基础数学思维、心理情况及学习方式，调节教学内容，完善教学设计和方案，借助精细化的研究和深入，对教材内容进行探索和分析，抓住GeoGebra 软件和教学内容之间的融合点，用GeoGebra 软件引导学生进入到恰当的情境中，进而更高效地培养学生的直观想象能力，提高学生的逻辑推理能力。

以高中数学人教版教材高一数学必修第二册第八章第三节“简单几何体的表面积和体积”为例。在解析球的体积计算公式时，教师可以抓住GeoGebra软件和教学内容的融合点，向学生展示自己制作的GeoGebra课件。

导入：已知球的表面积计算公式是S=4πR2，其中球的半径为R，那么你能够通过已知的表面积计算公式和已经内化的知识，对球的体积计算公式进行推导吗？

情境引入：教师可以向学生显示GeoGebra课件“圆的面积和正n边形”，然后借助滑动条的拖动，改变n的数值，学生可以借此直观看到圆n等分时分数持续改变的过程。

知识回顾：在进入圆体积的推导之前，教师可以引导学生回顾圆面积计算公式的推导过程，促使学生明确对应的知识点。在推导这个知识的过程中，学生要先分割、然后求近似的和、之后取极限。这是一种推导的思想方式，这种思想方式十分重要，学生可以在之后的深化学习中运用这种思想。而在推导体积计算公式时，学生可以在教师的主导下，切实体验这个过程。

探究球的体积：在类比表面积推导过程时，教师要将球的表面分成n 个网格，球体要被分割成n 个小锥体。随着n 的值的变大，这些以小球面为底、球心为定点的小锥体的底面会变得越来越平整。这种锥体和棱锥相似，高和球的半径R 近似。此后，教师可以运用GeoGebra 软件把类似于棱锥的小锥体进行移动，然后结合板书，将公式的推导过程展现出来。

学生能够在教师的引导下，明确求体积的运算就是计算这n个小锥体的体积之和，而n 个小锥体的底面积之和可以被看作球的表面积，所以，就能够得出球的体积计算公式。

在这个推导过程中，教师带领学生，用极限的思想方法，对球的体积计算公式进行推导。GeoGebra软件能够基于学生的感受，进行图形层面的细化分割，通过学生直观想象、空间想象能力及素养的提升，降低学生的认知负担，让细化的过程转变为公式的推导过程。

（二）对网络资源的合理利用

在当前这个阶段，国内各个高中对GeoGebra 软件的使用率比较低。但在网络上依旧拥有很多的课件信息资源。教师能够通过搜寻收集到教材内容的数字化资源，以及软件的免费网络资源。教师可以对其进行利用，然后进行高效化的、辅助性的数学教育。但在运用的过程中，需要集中自己的意识认知到自己要合理利用这些网络资源，通过合作式开展弥补自身的缺点，发挥相应的优势。除了课件资源，平台网站上还有很多供给教师学习运用GeoGebra 软件的资源内容，教师能够通过网络平台的学习，提高自身的软件应用能力，为学生呈现更好的视觉效果，让其由抽象变得更为具象。

（三）结合例题进行变式训练

高中数学教师在结合GeoGebra 软件辅助立体几何教学时，不仅要凸显学生的主体地位，还要关注学生的认知负担。通过信息元素的筛选，构建连接学生认知过程的教学体系。除此之外，教师还可以结合例题进行变式训练，促使学生能够举一反三地解析立体几何问题。

以人教版教材高一数学必修第二册第八章第四节“空间点、直线、平面之间的位置关系”为例。教师在讲述柱体、锥体、台体三者的体积计算公式时，可以依托学生的认知规律，进行GeoGebra 课件的设计，促使学生结合动态化的关系转变，探索出对应的答案内容。而在讲述位置关系时，教师需要结合例题进行变式训练。例题：如果a、b 是异面直线，直线c∥a，那么b 和c 的位置关系是？例题的变式：已知三条直线a、b、c 满足a 和c 平行，a 和b 异面，那么b 和c不可能？学生能够通过例题的训练过程，提高自身的直观想象能力和数学素养。

五、结束语

综上所述，在立体几何的教学过程中，特别是在动点、动直线问题的教学过程中，高中数学教师如果对GeoGebra 的现代信息技术进行运用，不仅能够让学生基于猜想的演示，强化自身的感性认知，而且能够对学生进行引导，使学生基于数学逻辑，践行推理过程，进行知识论证，让抽象化的问题变得具象化。借助本文的探索和研究，学生能够在高中数学教师的引导下，了解几何问题之间的共性，如椭圆和双曲线之间就存在一定的类似性规律，当学生在解析曲线几何中获得了一个规律后，一般情况下，就能够对其进行推广，获得更为普遍、更为广泛的规律。所以在解析立体几何问题的过程中，教师应该重视题型的多样，以及同等题目的探究和拓展，促使学生基于典型的例题进行深层的探索和研究，发掘其中的内涵，促使学生在探索和研究的过程中，获取解答题目的成就感，深化学生数学思维的同时，提高学生的数学综合素养。