小学阶段数学模型思想的培养——“简单的周期”教学与思考

沈红萍 江苏省苏州市吴中区人民教育出版社附属实验小学

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。本文中逐一阐述了模型思想的内涵、培养学生模型思想的意义和培养的路径。基于生活情境，实现模型的起始；提倡多元表征，促进模型生成；采用多次对比，不断修正和完善模型；设计变式，应用模型解决实际问题。

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》将“初步形成模型思想”作为学生的十大核心素养之一，并明确指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”模型思想作为数学的三大基本思想之一，它是每个学生必备的，对学生今后的学习和生活有深远的影响。

一、模型思想的内涵

数学模型是通过对具体问题和研究对象的基本属性、功能和特征进行理解和认识，用简洁的语言抽象出描述客观现象的运动变化规律。数学模型具备了原型对象的本质属性，但是不能反映原型的所有方面。数学中的各种概念、数学公式和具体算法等都可以认为是数学模型，它们都有各自具体的原型。但是，从狭义的理解看，只有用于反映一个特定问题和一个特定的具体事物系统的数学关系结构才叫作数学模型。比如，“速度×时间=路程”是用来研究行程问题的数学模型。在具体的实际运用中，还可能会把这个数学模型转化成：“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”。

数学建模就是构建数学模型的过程。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中明确指出：“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”数学教学的实质就是帮助学生建构数学模型。

二、小学阶段模型思想培养的意义

（一）有利于为以后的学习奠定基础

模型思想的建立是一个长期的过程，从小学、初中到高中各个阶段的学习内容和建模的要求都不相同，它是循序渐进发展的。而小学阶段是培养模型思想的关键时期，对以后的学习有重要的影响。学生在刚开始接触数学时，学到的数学内容都是简单的、零散的。但是只有掌握了这些基础知识，才能为后续学习提供可能。

根据皮亚杰的认知发展阶段理论，小学阶段的学生处于具体运算阶段，他们已经发展出思维的完整性、逻辑性的体系，是培养数学思维能力的重要时期。当学习到一定程度后，学生会主动对知识进行重组和建构，形成知识体系。这样从简单到复杂，从片面到系统，螺旋上升，符合学生逻辑思维能力发展的特点。

（二）有利于综合素养的提高

“让学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”，达到了这样的要求，才真正实现了数学教学的最终目的。其中，数学的语言就是数学模型。利用数学建模把数学和现实生活紧密地联系在一起，使得学生切切实实感受到数学来源于生活，利用模型解决问题实际上就是把这些数学知识很好地应用到生活中，实现了数学学习的意义和价值，也就是培养了学生热爱生活的思想和情感。

数学模型是学生在经历了观察、分析、假设、归纳等充分的探索活动后，抽象出的相应的数学关系。所以，模型思想建立的过程也是学生综合素养提高的过程。利用数学模型解决实际问题就是应用意识的培养。如今，小学阶段的学生普遍存在数学应用意识比较弱、应用能力比较差的现象，而数学建模是实现这一目的的有效方法。同时，学生在建模的活动中也培养了创新思维，提高了数学素养。

三、小学数学模型思想培养的路径

小学数学模型思想的培养是学生在面对现实问题时，根据已有的经验和认知规律，通过数学活动建构合理的数学模型，并且运用数学模型解答与检验具体情境中的数学问题。小学数学的建模包括模型起始、模型生成、模型完善和模型的应用。笔者将以苏教版教材数学四年级上册“简单的周期”为例，谈谈如何培养学生的模型思想。

（一）基于具体情境，实现模型起始

数学学科是与生活联系最紧密的学科，它来源于生活，并服务于生活。教师在进行教学设计时，关注数学学习的特点，重视教学内容与具体的生活情境相结合，挖掘生活中的数学因子，让学生在生活化的情境中探索数学知识，通过自主探究、合作交流等学习活动建构数学模型。数学知识和内容一旦脱离了具体情境，就会变得枯燥、乏味，难以激起学生学习的兴趣。同时，数学内容具有一定的抽象性，如果不加以具体化，也不容易被学生接受或理解。所以，数学建模要从生活原型出发，贴近学生的生活实际，适应时代的发展。只有这样的具体情境，才能让学生产生共鸣，激活已有的认知经验，真正提高课堂教学效率。

数学建模的本质是从一些复杂的问题或现象中，抽象出数学模型，这些模型是具有普适性的，能应用其解决与之相关的一系列实际问题。教师创设的教学情境应符合数学教学的本质，紧紧围绕教学内容展开。以内容为核心的情境，才有利于模型的顺利建构，大大提升教学的效果。实践表明，有效的具体情境，能让学生产生数学建模的意识，并为后续的进一步研究奠定基础。

片段1：课件出示两种盆花摆放的情境图，一种杂乱无章地摆放，一种有规律地摆放。提出：国庆节快到了，王大叔和张大叔准备用盆花布置校园。同学们，你们更喜欢哪种摆法？学生的想法是一致的，都喜欢有规律的盆花摆放。

教师提供盆花的两种不同摆放形式，给了学生强烈的视觉冲击，让他们初步感受到了周期现象的特点，像这样摆放，是有规律的，是有一定的研究价值的。在这样的具体情境中，教师适时地提问，激发了学生探究的欲望，初步产生了数学建模的意识。

（二）多元表征，生成模型

小学数学多元表征是数学表征能力多样化的表现，有效的表征可以将抽象的数学知识直观、简单地呈现出来。数学的多元表征包括外在表征和内在表征，其中外在表征的形式包括语言、文字、符号、图形、具体活动等。学生的已有经验和认知水平各不相同，面对同一个问题时，思考的角度不同，得到的结果也不一定相同。教育面向的是全体学生，让不同的人在数学上得到不同的发展。所以，教师在课堂上要鼓励学生用自己喜欢的方法解决问题，只有这样，才能有效地促进数学模型的生成。

片段2：盆花的排列规律。

师：同学们，你喜欢用什么方式表示王大叔摆放盆花的规律呢？把你们想到的记录下来。

生1：蓝黄红，蓝黄红，蓝黄红……

师追问：盆花是按怎样的规律排列的？

生1：每3 盆为1 组，每组按蓝花、黄花、红花的顺序，依次重复出现。

师：对比以上两种表示方法，它们有什么不同？

生3：第二种加了方框，把“蓝黄红”为1 组表示得更清楚了！

师追问：这里的“△”“○”“□”分别表示什么？

生4：“△”表示蓝花，“○”表示黄花，“□”表示红花。

师追问：你又是怎样想的？

……

小结：不管用文字、符号还是字母等，它们都表示相同的规律。

师：按照这样的排列规律，第19 盆花是什么颜色？

学生用到了文字列举、符号列举，也想到了列算式。

生1：19÷3=6（组）……1（盆）。

师追问：第19 盆是第几组的第几盆？

生1：第19 盆花是第7 组的第1 盆，是蓝花。

生2：每3 盆为1 组，第1 盆都是蓝花，第2 盆都是黄花，第3 盆都是红花。

师：观察这个除法算式，你觉得余数还可能是几？

生3：除数是3，余数还可能是2，表示某组的第2盆，是黄花。

师：第42 盆花是什么颜色？

学生都感受到了画一画带来的困难，所以选择用除法算式。

生4：42÷3=14（组）。

师追问：这个算式表示什么意思？

生4：有42 盆花，每3 盆为1 组，共有14 组。

师追问：是什么颜色呢？

生4：第42 盆是第14 组的最后一盆，是红花。

小结：用除法算式判断，可能出现有余数和没有余数这两种情况。

教师在学生动手操作、合作交流的基础上，引导学生发现在不同表征下，表示盆花的摆放规律是一样的，逐步建立起周期规律的数学模型。这样不同的表征符合学生的认知规律，顺应了学生的发展，把学生的思维打开了。求“第19 盆花是什么颜色”时，学生也想到了这样的多元表征，更有学生想到了用除法算式，此时教师并没有指出不同表征的优劣性，而是都认可。但是，在求“第42 盆花是什么颜色”时，学生自然而然都用了除法算式，感受到了除法算式解决这类问题的普适性，初步建立了解决盆花问题的数学模型。这样的过程是由具体到抽象的一次重大飞跃，学生的建模能力得到了真正的提升。

（三）多次对比，完善模型

模型完善是教师引导学生认识数学知识体系，从不同的角度分析和理解知识，从部分到整体，达到解决问题的过程。著名教育家乌申斯基说过：“比较乃是各种认识和各种思维的基础。”这种比较就是把两种或两种以上的同类知识或有联系的数学知识放在一起研究，从差异中找相同，从相同中又分辨差异，从而掌握知识的本质。通过这样的比较，能帮助学生更好地理解和掌握知识，进一步促进模型的完善。

片段3：彩灯和彩旗也有这样的周期现象。

师：照这样排下去，第21 盏彩灯和第21 面彩旗分别是什么颜色？

生1：21÷4=5（组）……1（盏），21÷4=5（组）……1（面），它们的第21 个都是红色。

师追问：彩灯和彩旗的排列不同，为什么都除以4？

生1：因为它们都是每4 个为1 组依次重复出现。

变式：彩灯前面加1 盏紫色彩灯。

师：这样的摆法还存在周期现象吗？

生2：存在。每4 盏为1 组，每组按“紫红紫绿”的顺序依次重复。

师：第21 盏是什么颜色？

生2：21÷4=5（组）……1（盏），第21 盏是紫色的彩灯。

师追问：为什么都是余1 盏，一种是红色，另一种是紫色？

生2：因为排列的规律不同。第一种是每组按“红紫绿紫”的顺序排列，第二种是按“紫红紫绿”的顺序排列。

生3：余1 表示每组中的第1 盏，它们的颜色不同。

小结：研究周期现象，不仅要关注每几个为1 组，更要关注每组是按怎样的顺序排列的。

研究彩灯和彩旗的周期现象时，教师进行了两次对比：彩灯和彩旗的排列不同，为什么都除以4？为什么都是余1 盏，一种是红色，另一种是紫色？对比的过程中，进一步让学生感受到，对于周期现象，不仅要关注几个为1组，也要关注排列的顺序，进而完善数学模型，能在以后的模型应用中做到游刃有余。课堂教学中，教师要把握节奏，由浅入深，由个例到一般，层层递进，螺旋上升。

（四）设计变式，应用模型

学生真正理解了数学模型，主动将其他知识与建构的模型联系起来，有效地解决并呈现问题结果，最终解决或检验了现实生活中的实际问题。教学中，问题的设计要符合数学模型，让学生在新的情境中，尝试用已有模型解决问题，体验数学模型的应用价值。同时，问题的设计要具有创新性，避免简单的重复，只有形式多样的、极具挑战性的问题，才能引起学生学习的兴趣，提高综合解决问题的能力。

片段4：自己设计一个周期排列的活动。

你能用△、□和○这三种图形设计一个按周期规律排列的图形序列吗？

（1）你准备设计几个图形为1 组？

（2）如何让其他同学一眼看出你的周期规律？

通过这样开放性的问题，尝试用符号表示周期现象，让学生感受到数学建模的特点。从模型的起始到建立模型，再到完善模型，最后到应用模型解决问题，这是一个从具体到抽象，又从抽象到具体的过程。学生在设计的过程中，进一步加深对数学模型的认识，灵活地运用模型，实现数学知识的重组与建构。学生应用模型解决问题的过程中，数学核心素养也得到了提升。

学生经历了数学模型起始、模型生成、模型完善、应用模型解决问题的过程，感受到了数学建模与实际生活的紧密联系，培养了模型思想。同时，更有效地激发了学生学习的积极性，提高了学生的应用意识，提升了学生的核心素养。在教学中，模型思想不能作为一个具体知识点或数学内容。它的构建渗透到整个学习过程中，学生在具体的数学活动中通过自主探究、合作交流、动手操作等逐渐感悟，从而获得数学思想。这是一个长期的、连续的、复杂的过程，需要教师在日常教学中逐渐培养，进而促进数学能力和数学素养的发展。