强化数学概念运用 提高问题解决能力

【摘 要】数学概念是学生进行数学思维的核心。在课堂教学中，教师可以通过习题讲解深化学生对概念的理解，提高学生把握题目本质的能力、简化数学运算的能力、转化与化归的能力，从而提高学生学习数学的信心和解决实际问题的能力。

【关键词】数学概念;解题教学;解决问题

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）11-0044-03

【作者简介】李青，南京市第一中学（南京，210001）教师，一级教师。

数学概念是数学的基础，是学生认识数学并进行数学思考的起点，在数学教与学中具有举足轻重的地位。正确理解概念，可以让学生在问题解决的过程中很快地把握问题的本质，熟练掌握数学知识，提高处理问题的能力。因此，在平时的教学过程中，要以数学知识为载体，重视对数学概念的运用，以此提高学生解决实际问题的能力。

函数是高中数学的基础和重要内容，贯穿高中数学的始终，是高考的重点考查内容之一。学好函数知识有助于发展学生的思维能力，为其他数学内容的学习打下坚实的基础。而深刻理解函数中的相关概念对学好函数至关重要，理解数学概念往往是解决问题的第一步。掌握概念不应该仅仅是对定义、定理的死记硬背，更应该是对解题工具的深刻理解与灵活应用。在教学中，应让学生亲身经历并感受建立函数相关概念的过程，准确把握函数的本质，熟练掌握并运用函数思想去分析和处理实际问题，培养学生的发现与探究、理性思维、分析和解决问题等数学能力。

本文以函数问题的解题教学为例，说明如何在教学解题方法的过程中强化学生对数学概念的运用，提高其解决问题的能力。

一、引导学生观察问题结构，提高其准确把握题目本质的能力

对于一个数学问题，看清题目的本质往往比问题本身的结果更重要。而只有认真读题，仔细观察问题结构，才能深刻领悟题意，理解问题背后的数学本质，快速找到切入点。下面，笔者以一道例题的讲解，说明在习题讲解的过程中如何引导学生提高把握问题本质的能力。

例1：已知函数f（x）满足f（x）+f（x+1）+f（x+2）=0，且f（2）=1，求f（2021）。

师：大家观察题目可以发现，数字2021较大，通过一次次迭代求得f（2021）的值这个想法不现实。既然条件中没有函数解析式，只有递推式，而f（2021）又可求，那么f（2021）有没有可能等于某个较小的x处的函数值？

生：有可能！那么函数f（x）应该是一个周期函数，只要找到它的最小正周期即可。

师：请同学们回顾一下函数周期性的定义，结合定义想一想如何从题目中的已知条件推出f（x）是周期函数？它的最小正周期又是多少呢？

生：由f（x）+f（x+1）+f（x+2）=0可得f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）=0，进而得到f（x）=f（x+3），所以函数f（x）为周期函数，它的最小正周期为3，因此f（2021）=f（3×673+2）=f（2）=1。

师：此题的本质是求f（x）的最小正周期，只要根据函数周期性的定义，转化已知条件，问题便可迎刃而解。

对数学概念的理解，要在不断对其内涵与外延的比较与辨别中，得到理性的思悟，从具体问题中理解其抽象性，从实践中理解其简洁性，从问题解决中欣赏其解法的灵活性，培养学生洞察问题的敏感度与思维的主体性。

在此基础上，教师可以将题目中的有关条件推广到具有一般性的f（x+m）=-f（x）、f（x+m）= [1f（x）]、 f（x+m）= - [1f（x）]，都可以得出f（x+2m）= f（x），即函数f（x）为周期函数，并可求得其最小正周期。在之后的解题中，学生便可以从函数题隐式条件的恒等变形中发现函数是周期函数，并且求得最小正周期。

解决此类问题的实质，就是要对已知条件中的函数恒等式进行变形，快速找出隐藏在条件中的函数特点（即周期性），从而把待求的函数值转化为已知条件中的值的组合。如此解决，可提高学生准确把握题目本质的能力。

二、激活学生的数学知识，发展其简化运算过程的能力

运算能力是学生所要掌握的数学能力之一，也是解决数学问题必备的基本能力。函数问题常与大量的计算相关，直接计算会导致时间的浪费和准确率的下降。所以，教师在函数习题的教学中，应引导学生掌握并熟练运用函数的相关概念，让运算过程得以简化，提升做题的速度和正确率。

例2：已知函数f（x）=（2x2-4x+3）（ex-1-e1-x）-2x+1在[0，2]上的最大值為M，最小值为m，则M+m=   。

师：由于函数f（x）的解析式较为复杂，我们无法通过画图来解决问题，观察到条件中ex-1和e1-x这一结构以及函数f（x）的定义域，我们可不可以试着把解析式中的x-1看成一个整体t，利用换元，得到一个形式上简单一点的新函数？

生：可以！这时f（x）可转化为f（x）=[2（x-1）2+1]（ex-1-e1-x）-2（x-1）-1。令t=x-1，则t的取值范围为[-1，1]，于是得到新函数g（t）=（2t2+1）（et-e-t）-2t-1，t∈[-1，1]。

师：请同学们仔细观察这个函数有何特点。

生：这个函数的定义域关于原点对称，我们可以尝试从函数的奇偶性这一性质入手来解决问题。令G（t）=（2t2+1）（et-e-t）-2t，则G（t）=g（t）+1。因为G（-t）=-G（t），根据函数奇偶性的定义可得G（t）为奇函数，所以G（t）在[-1，1]上的最大值与最小值之和为零，即得M+m=-2。

师：函数的奇偶性是函数的一个重要性质，解决与此有关的问题时要特别注意观察题目中所给函数的特点，进行适当的变形，挖掘隐藏条件，还原函数原本的面目。因此，同学们处理数学问题时一定要学会透过现象看本质，这样往往可以避免烦琐的计算。

在这个问题中，教师激活了学生关于函数奇偶性的知识，通过换元以及恒等变形，简化了运算，同时也强化了学生对概念的运用。数学解题的关键在于解题方法的选择、过程的简洁和答案的正确。运算能力的提高，一直是中学数学教学中的重点目标，教师可以通过设置各种不同的问题情境，不断强化学生的数学思维意识，从不同的途径和渠道提高学生的运算能力。

三、帮助学生建构数学概念，实现其转化与化归的能力

数学概念的形成经历了归纳、概括、抽象的过程，呈螺旋上升性。因此，在问题中呈现概念将会使学生对概念的理解上升到一个新的高度，从感性到理性，从对书本的静态认识到直观、动态化思维，更好地领悟并建构数学概念，进而在探究分析问题时灵活应用，化非常规为常规，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，提高解决问题的能力。

例3：已知函数f（x）=x-asinx，对任意的x1，x2∈（-∞，+∞），且x1≠x2，不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a恒成立，则实数a的取值范围是    。

师：题目已知条件中的不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a是一个含双变量的不等式，请大家观察它的结构特点，想一想，你准备如何转化这个条件？

生：因为对任意的x1≠x2，这个不等式恒成立，我们不妨设x1>x2，则不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a可变形为f（x1）-ax1>f（x2）-ax2。

师：这样变形的目的是什么？

生：这样我们就可以构造出新函数g（x）=f（x）-ax=x-ax-asinx，因为对任意的x1>x2都有g（x1）>g（x2），所以g（x）在R上为增函数，即g′（x）=1-a-acosx≥0恒成立，整理得（1+cosx）a≤1，再用分类讨论和参变分离的方法即可求出a的范围。

师：本题我们利用双变量同形构造出了一个新函数g（x），由函数单调性的定义得到该函数在R上单调递增，再根据定义的等价形式将所求问题转化成“g′（x）≥0在单调区间上恒成立”的问题来求解，利用导数来研究函数的单调性。

诸如此类的问题在数学教学中很多，由于数学具有应用广泛性以及思维灵活性等特点，对问题的解决方法就不局限于一种，但总的思维模式是应用相关概念来对欲求解的问题进行转化，化为有利于问题解决的一面。

在课堂教学中，利用练习题深化学生对数学概念的理解，有助于引导学生进行深度学习，从解题、听题的过程中获得学习的乐趣;从多方面、多渠道进行思考，使学生的思维获得全面的发展;教师帮助学生从不同的角度重新审视数学的应用性与分析问题、解决问题的灵活性，使学生在问题的解决中获得心理满足感，进而提升学习数学的信心与问题解决的能力。

【参考文献】

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[3]刘春桃.例谈初中数学中问题转化思想的有效运用[J].中学数学，2018（20）：16-18.

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