高中数学教学中学生建模思维和能力的培养

苏盈盈

（江苏省涟水县外国语高级中学，江苏 涟水 223400）

建模并不是数学当中多么难以理解的内容。简单来说，在数学应用题当中就有建模的身影存在。它体现在让学生在应用题当中搜集有效信息，并通过这些信息构建模型，解答问题。其实这些年来，随着素质教育的不断深入，现阶段的数学教学对于学生建模思维的培养也越来越重视。为了强化学生对于建模知识的理解，帮助学生更好地将所学的知识融会贯通，笔者就从以下几点探讨在高中阶段开展数学建模教学的具体作用及其策略。

一、培养高中生建模思维和能力的意义

（一）符合当前素质教育的主流方向

在当前的教育环境下，素质教育的理念早已深入人心。而如何提升学生的数学综合素养，完善学生的数学思维，一直都是当前数学教师应当思考的方向。通过建模教学的开展培养学生建模思维，将学生带入到模型的建构当中，从建模活动当中激发学生创新和创造意识，让学生能够向着更高层次发展，是教师应当培养的目标，也是当前素质教育的一种主流趋势。纵观当前的数学教学而言，由于受到以往教育理念的冲击，我国的教育在较长的一段时间内未能重视学生综合水平的提升，只在乎教会学生有用的知识，忽略了学生主体意识的培养。这种情况的产生，不仅会使得当前教学的效率逐渐下降，也无法让学生体会到学习数学的快乐。而现如今新课程改革当中明确提出了“要切实培养学生解决实际问题的能力”。因此，数学建模教学应当受到当前高中数学教师的重视，并及时地探索有效的方式满足学生的学习需求，保证学生能够养成相应的学科思维。

（二）是培养学生应用数学的有效方法

数学的教学不仅需要学生了解数学当中的重要公式理念、方法或者是结论，还要让学生能够探索这些本源知识的存在，在提高学生思维能力的基础上培养学生自主运用数学解决实际问题的能力，以及解决实际问题的意识。而通过数学建模教学就能够有效地培养学生的这些能力。在数学建模教学当中，需要学生从已知的条件出发，将题目当中所给的数字以及数量之间的关系转化为实际数学模型。在进行创设模型解答问题的过程当中，不仅需要学生观察模型创设是否合理、解答问题是否正确，还要让学生在检查之后带到现实当中观看结果是否符合实际生活。这样既考查了学生收集信息处理加工的能力，又考查了学生应用数学获取新知识的技巧。在拓宽学生知识面和能力面的基础上改善了当前教学的方式，突出学生在课堂上的主体地位，真正提升了学生的数学综合能力。

二、培养高中生建模思维和能力的必要性

高中数学涉及的内容相对较广泛，并且难度较高。学生在学习的过程当中如果不能够掌握一定的技巧和方法，很容易陷入学困或者是对数学难以提起兴趣的境地。而开展数学建模教学，既能够让学生在趣味性的情境当中获取知识，又能够培养学生的学习兴趣，还能够让学生养成乐于思考、不怕吃苦，以及坚持不懈的意志。同时，教师可巧妙地发挥数学建模的作用，帮助学生找到和认清解决数学问题的一般方法和规律。最重要的是，在开展建模教学的过程中，教师还能够有机地将学生进行分组，让学生以小组合作的方式进行学习，培养学生团结互助的优秀品质。数学来源于学生的实际生活，也必须要运用到学生的实际生活当中才会显得更有价值和意义。以往的学习只是学生单纯地理解和掌握，而真正到数学建模教学中，不仅需要学生理解和掌握，还要学生通过分析推理证明和验证。因此，需要学生具有较强的联想洞察力以及自主管理能力。特别是在新高考的模式下，新情境题以及数学文化类题目日益增多，统计案例和其他应用题文字繁长，更加急需培养学生的数学建模能力，将文字冗长的实际问题转化为数学问题，建立适当的数学模型进而解决该题目。由此可见，在高中阶段开展建模教学，是必要且迫切的课题。

三、培养高中生建模思维和能力的策略

（一）融入生活实际，渗透建模思想

建模本质上就是将生活当中与数学有关的问题，以数字为媒介构建相应的情境模型，然后再深入到情境当中进行解决的一个过程。在高中阶段，教师将建模的思维融入生活实际当中，通过实际的一些问题引发学生的注意，接着带领学生建模思维融入其中，合理地选择生活化的素材进行模型建造。最后再与学生一起解决，让学生观察教师在进行建模和解决问题过程中的数学建模方法，能够有效地提高学生的数学思维。

生活中实际的例子有很多，教师要善于发现适合建模的真实案例，以此激发学生的学习兴趣。例如，在进行讲解《二次函数与一元二次方程》这一章节时，教师就可以通过举出一些学生能够理解的例子，让学生进行思考。比如在商店大促销时，某件商品的进价为25 元，如果按照原价卖出的话，可以卖出800件。但是如果商品每次涨价一元之后，商品的单次销量就会减少20 件。那么，如果想要获取最高的利润，在定价为多少的时候最合理呢？通过这么一个最基本、最接近于生活的事例，可以让学生进行思考，让学生先明确方程当中的未知数，并思考方程当中商品单价和总营业额之间的关系。比如将定价设为X 元，那么这个X 一定要大于25 元才能盈利。而盈利的金额为X-25。也可以设涨价的金额为x，这样设出来的方程最简单。学生可用各种方法、各种思路，以不同的观点看待这个数学模型。最后教师可以选出一个简单的方程，先给学生列举出来，比如(25-20+x)(800-20 x)=y。也可以让学生转换思路，用另一种方法列举方程。通过这种方式，形象地为学生提出了生活中实际的建模例子，帮助学生更加直观地体会建模的概念。

（二）联系历史文化，培养建模兴趣

兴趣是最好的老师。为了培养学生数学建模的兴趣，课堂上教师可以联系我国传统的数学文化知识勾起学生的好奇心，培养学生的求知欲，更能让学生体会到古人的数学思维，和古人在数学建模领域碰撞出思想的火花。

例如，在讲解《等差数列的通项公式》这一章节时，为了能让学生练习通项公式的运用，激发学生的学习兴趣，并能培养和提高学生的数学建模思维和能力，教师可以引入这样一个例题：《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问各得几何。”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，乙所得为多少钱？当学生看到《九章算术》的时候就会引发学生对此题的兴趣，毕竟是我国历史中的数学瑰宝。教师再结合文言文的出现，更能抓住学生的眼球。此题需要建立等差数列的模型，设所成等差数列的首项为a1，公差为d，则依题意，列出关于首项a1和公差d的方程组，求解之后进而求出a2即可。

同样，在讲解《等比数列的前n项和》这一章节时，教师可以引入这样一个例题：《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381 盏灯，则该塔中间一层有多少盏灯？此题需要建立等比数列的模型，设所成等比数列的首项为a1，公比为2，则由等比数列前n项和公式解出a1，再利用等比数列通项公式求解即可。

通过这种形式，让学生体会到我国文化的伟大，激发了学生数学学习的兴趣，又培养了数学建模的思维能力。

（三）创设模型情境，探究建模技巧

为了帮助学生理解数学实际问题，强化学生对于数学问题的体会。教师就可以在课堂的开始，利用各种途径为学生创设情境。在用语言创设情境激发学生兴趣的基础上，可以通过媒体信息技术将实际数学情境给学生构建出来，让学生仔细观察并体会其中的数字代表的实际意思。以这种方式在满足学生学习兴趣的基础上，帮助学生收获成功的喜悦。

例如，在进行讲解《函数的应用》这一章节的过程中，也能够让学生在掌握数学知识的过程当中养成相应的建模能力。教师可以在课堂的开始就利用语言引出这么一个情境：“同学们，在疫情期间科研人员正在培养一株病毒原株，已知这个病毒原株其有2000 个病原体构成，每个病原体经过一个小时可以分裂三次，每次分裂都会增加一倍，那么两个小时之后能够得到多少株病毒株？”在给学生创设完情境之后，教师可以引导学生利用信息设备模拟出病毒的分裂，让学生先理解题目表达的含义，再让学生将其建构成数学模型进行思考。对这类模型题目而言，需要学生找到数量之间变量的关系，学会将其转化为数学知识。比如，需要学生发现其中的幂函数关系，以2000 为起始点，每次增加一倍。那么第一次就是2000（2）¹……第二次分裂以此类推。在给学生指明学习方向之后，让学生进行思考，能够有效地提升学生的数学建模能力。

（四）贴近教材内容，模拟建模问题

教材作为学生能够接触到的最直观的学习资源，其中涉及的知识内容是最符合学生认知的资源。教师应当充分利用好这部分知识，基于教材当中的例题进行改编，让学生站在新的角度上思考实际问题，以合适的题目作为问题的背景，模拟建模的问题。在丰富学生所学内容的基础上，提高学生的建模思维。

如果充分将教材当中的模型素材进行运用，会起到意想不到的教学效果。例如，在讲解《正弦定理》这一部分的知识点时，教师可以在课堂的开始，从书本当中给学生挖掘这么一个题目。比如“在海面上，以灯塔为基准点，在正向60°的方向，有一艘正在以30海里每小时航行的渔船。渔船的正前方的30 海里，有一处暗礁。为了提醒这艘渔船在暗礁之前停下，灯塔处出动了一艘航海快艇，打算在暗礁之前拦下渔船。现在已知，渔船到灯塔的距离为30 海里，渔船与灯塔的夹角为30°那么快艇的速度需要达到多少？”这个题目相对较困难，其中的难点在于学生能否将此图形进行合理地转换，通过建模的思维将这些具体的坐标和事物联系起来。为了强化学生对这一部分知识的理解，教师可以鼓励学生动起手来，画出相应的图形。最后以正弦定理当中的比值公式算出灯塔到暗礁的距离，然后再除以一个小时，就能得出结果。

（五）开展课后活动，强化建模能力

真正培养学生的建模习惯，让学生养成用数学眼光看待事物的能力是教师应当努力的方向。为此教师可以在课堂的开始给学生着重讲解一些重要的知识点，然后再让学生针对某些问题从零开始进行建模，将实际的生活现象建构出一个合适的模型，加强学生解决数学问题的能力。

例如，在进行教学《计数原理》这一章节的时候，由于本章节重点是让学生掌握计算原理在实际生活当中的应用，强化学生的模型建构能力，教师就可以在教学当中，先给学生提出一个较简单的数学模型问题。比如“书架的第1 层放着4 本不同的计算机书，第2 层放着三本不同的文艺书，第3 层放着两本不同的体育书”那么随机地在每层选择一本书，一共有多少种搭配？先以这个最简单的例子，让学生利用手中现有的书本资源进行模拟练习，将其进行归类。经过学生的实践探索，能够得出一共有24 种不同的搭配方法。这时候教师则可以引出一些值得学生课下思考的活动，比如“如果第1 层的书不选择第1 本，第2 层的书不选择最后一本。那么一共有多少种选法？”这个模型类的题目较以上而言难度更高，更值得学生在课下进行活动探索。以这种问题引发学生建模的兴趣，提高学生应用数学的能力。

学校也可以在课后以班级为单位组织开展数学建模竞赛，让更多的学生积极参与到数学建模中来，从而激发学生进行数学建模的兴趣，进而提高对数学学习的兴趣，形成良好的数学学习氛围，提高数学成绩。这样更有利于让学生将数学知识与生活、与大自然，与物理化学等学科联系在一起，体现数学在各个领域作为基础学科的重要性。

（六）有效进行总结，巩固培养成果

高中的数学学习过程较快，课程非常紧凑。所以，教师不能忽视了对学生学习成果的分析与总结，否则学生的数学思维能力不能得到有效地巩固和提升。为了培养和巩固学生数学建模思维和能力，教师要每隔一个阶段，例如一次大型考试结束过后，对学生近期存在的问题进行分析总结，对一些存在的问题用数学建模的方法进行解决，达到巩固的目的。

四、结语

总而言之，对于现阶段的高中数学建模教学而言，如何让学生认识到建模的实质，提高学生的建模思维是教师应当努力的方向。为了深化学生的建模思维，让学生能够将数学运用到实际的生活当中，教师应该在课堂的开始，为学生创设合理的模型情境，带领学生深入到情境当中找到其中数量与实际意义的关系。接着再深度挖掘教材背后的知识，让学生能在建模的过程中感受到数学的趣味性、实用性，以此提高学生学习数学的兴趣。