渗透几何直观 优化概念教学——以《有余数的除法》教学为例

张 艳

（湖北省武汉市江夏区明熙小学，湖北 武汉 430299）

《数学课程标准（2022 年版）》中明确提出：加强中小学学生几何直观。所谓几何直观，主要表现为用图表描述、分析问题，能感知多种几何图形及其构成要素，根据图形特征对它们进行归类；按语言描述画出它们对应的图形、分析它们的属性；用图表分析实际情境及数学问题、探究解题思路等。几何直观能起到以简驭繁、化抽象为具体的作用。在小学数学教学中，教师巧妙地运用几何直观有助于学生透过表象抓住问题实质，明晰思维路径和预测问题结果。

数学概念教学在小学数学教学中历来都是个难题，低年级小学生的思维还处在具体形象思维的阶段，如何让小学生掌握好抽象问题呢？这是教师需要思考的一个重要课题。解决这一难题的有效途径就是将几何直观和以形助数等思想贯穿于概念教学之中，有助于学生对数概念认识的深化。

《有余数的除法》内容是表内除法内容的拓展与扩充。在日常生活中，通常只有少数能被完全整除，而其中有的除法有余数则占据了大部分，这也是今后深入地认识分划法时的一种重要依据，同时这一类内容也越来越广泛地应用在了人们日常生活当中。所以，学习这些基础知识，有着承上启下、举足轻重的意义。

在实际教学中，教师除了要提供足够多的较形象的素材，使得学生能够形成清晰的外观之外，还要以此为基础，指导学生进行分析与对比，适时抽象地揭示概念的本质，从而使得学生能够在积极构建数学概念的过程中加强对于有关概念的认知。现以《有余数的除法——例1》一课为主要案例，说明在数学课堂的教学过程中怎样利用简单直观教学方法将传统数学教育中那些抽象而又不易掌握的概念、定理，更直接地呈现给学习者，将其具体内容内涵更加完整地表达，以及在求解时的灵活性应用，使数学能更加生动而有趣，以此提高学习效率。

一、运用几何直观，使学习于不知不觉中开始

人教版数学教科书二年级下册第六单元《有余数的除法——例1》一课为本单元起始课程。例1 前有一张单元主题图（如下图1 所示），展示了学生用十一根小棒分别摆正方形、三角形和五边形，提出各能摆多少个？这一设计是将主题图设计成“前置学习单”，让学生通过自己作业将摆出来的结果写在学习单上，他们头一天便在家里独立完成了作业，并且通过自己探究动手作业、亲历、感受知识的生成过程等。最后，应用所学的理论知识处理现实问题，学以致用。这一环节虽然容易，但能起到承上启下、便于操作、激发兴趣、作好铺垫等作用。

图1 有余数的除法单元主题图

在练习中，同学们兴趣盎然，主动积极地完成这项前置作业，提升了完成率。同时通过动手、口讲、眼看、动脑思考、拼摆等方式，观察和呈现分别剩三根、两根和一根小棒的情况，强化“有剩余”意义上的认识，促进同学们多元表征能力培养。

二、充分利用几何直观，使学生在潜移默化中理解

孩子怎样认识知识？孩子们思维过程有什么规律？心理学研究证明，小学阶段的孩子认知水平正处在由具体直观阶段到抽象阶段的过渡阶段，他们的最大特点是，一定不能脱离形象具体事物作为支撑突破难点。如在《有余数的除法——例1》课堂教学中，通过两次“课中学习单”的运用，让学生在直观操作后思考，实现概念的理解。

首先让学生解决如下生活实际问题：“6 个草莓，每2 个摆一盘，能摆几盘？”利用教师“课中学习单”上的指引，即动手操作摆一摆、把算式写一写、各部分名称说一说的教学活动，让学生自主思索、共同沟通后,写出算式6÷2=3（盘），以此回顾“正好分完”。在这个过程中，教师相机将图片、文字“正好分完”和算式都板书在黑板上，最后全班互动，通过问题“怎么用除法？”“这个算式表示什么意思”“这个意思还在哪里看到了？”通过对图片、文字、摆置过程与算式对应关系的观察、分析、交流，从而诱发学生的思维，体验从直观到抽象再从抽象返回直观，落实“有来有回”教学。

接下来继续借助操作“将7 个草莓，每2 个摆一盘，能摆几盘？”，第二次运用“课中学习单。

1.画一画：将7 个草莓，每2 个摆一盘，可以摆（ ）盘，还剩（ ）个。

2.写一写：用算式表示分草莓的整个过程与结果。

3.说一说：算式中每个数的名称。

用直观的方式，看到“平均分仍有余量”，有利于学生对所学内容的理解，建立起多元表征的关联，达到学生对数学概念真正地深入理解。解决“商”和“余数”单位名称这一教学重难点。（见下图2）

图2 有余数的除法情景图

学生可能会有的想法：

1.7÷2=3

2.7÷2=3 多1

3.7÷2=3 剩1

4.7÷2=3……1

师生一起交流各表示法优劣，最后确定：余数要表示出来，在数学上这样规定（板书）

7÷2=3（盘）……1（个）

要做到使每个学生在潜移默化中掌握内容，既要求教师对教学经验内容的整体掌握，更要求教师在课堂过程中精心设计和指导所学内容，使每个学生在遵循自身思维规律的数学知识进程中认知和归纳、抽象思考和总结，进而掌握知识点间的纵横内在联系，进而形成他们对数学知识的本质性认知。

三、借助几何直观，促使学生在循序渐进中掌握知识并形成技能

由理解知识转变为掌握技能是学生在数学学习道路上的必经之路。掌握本领的过程不是一朝一夕就能完成的，更不是机械重复和单调操练的结果，它要使学生通过层层深入逐步掌握方法，形成本领。教师在教学中应充分利用直观和比较的方法，对有余数除法和刚学过的表内除法两种情形不断进行比较展示。

如在探究活动结束后，教师趁热打铁引导学生对比观察，归纳总结并提出问题：“今天分了两次草莓，有什么异同？”通过独立思考、小组交流，全班汇报，让学生发现在现实情境中分物时的不同，以及今天学习的有余数的除法与以前学习的表内除法算式的横式的对比，并通过追问“这两种情况都是平均分吗？余数表示了什么？”“进一步理解余数除法的含义。更引发了学生的数学思考，让学生感受到原来数学知识并不是割裂的，而是相互之间存在着内在联系。从而为合理建构知识网络作支撑，而且也培养了他们的分析、比较和归纳能力。

以上内容，发挥了直观模型图示的功能，使抽象的余数知识更加简单易懂，也有利于孩子对感性认识的积累，为他们进行抽象概念“余数”的含义做好了基础。通过在之后的分析小结中，再通过直观形象指导学生开展分析、对比和推论的练习，从而归纳概括出有余数除法的真正含义是什么。这样不但可以带动学生观察力、分析抽象和迁移能力的提高，而且对于培养学生的直觉与洞察能力，也大有裨益。

四、借助几何直观，使知识技能在春风化雨中得到巩固提高

构建了数学模式以后，要想让他们对初建模式有较丰富的积淀，就必须让他们懂得应用数学模型的方法解答，同时在解决的实践中不断地累积关于数学教育方面的知识，从而获得关于数理建模方面的努力方法，并最终养成了运用数学模式方面的有关技巧，从而提高了数学知识水平和提高了数学素质。

例如，例题之后“做一做”的两道题，第1 题的呈现由实物抽象成了图形，学生几何直观持续在抽象、发展。第2 题的展示涉及平均分（含等分）的事物的2种情况，除了不断巩固有关知识之外，还能让学生更深刻地感受到有余数除法中商与余数单位的用法。从而借助于“做一做”交流不同的表征方式以加深学生的理解。（见下图3）

图3 基础训练

课堂总结时教师可提问：“今天有什么收获？”“对自已与同伴的表现怎样评价？”“还有什么想了解的？”在学生总结时借助黑板上的直观板书，能够更好地帮助学生从知识上升为方法，从方法提升为思想，从思想拓展为素养。

在下节课《有余数的除法——例2》教学余数与除法的关系时，例2 借助于逐步加入小棒根数摆正方形这一活动，方便学生观察、对比和进一步分析得出余数和除数之间有什么联系——余数小于除数。尤其要在特定情境下理解“余数小于除数”的原理，并遵循“实践—认知—再实践”的认识规律，引导学生在亲自动手中探究余数小于除数。摆的过程也可以作为前置作业，同时也是这节课的“课后学习单”。如表1：

表1 课后学习单

在下节课上，教师提问：9 根小棒，每4 根分一组，结果怎样表示？

生：9÷4。

师：结合图形来看，我们可以说说这道题中除法算式中的商的大小是多少呢？

生：2，分成两组后又多出了一根小棒。

师反馈板书：9÷4=2……1，说明基本算理。

此时教师再适时抽象出带余数除法中的横、竖式两部分，让学生交流图中各组成部分，从而使学生在表象能力的支撑下获得真实经历的体会，能对本来抽象的算理产生直观清晰的认识。

例1——例3 的教学内容都是充分利用直观和对比，帮助学生理解含义及关系，为后面的笔算教学领悟实质、奠定基础。

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”数形结合的思维方式能恰到好处地将数与形之间互相转换，将一个看似无从解答的提问简洁化、明确化，给人“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感。利用几何直观教学法可以让一个问题，从不同方面相互衬托、相互转化，实现教学过程优化。基于此，运用几何直观有助于学习者认识并把握更抽象的数学范畴，乃至对后面高度抽象概括的数学规律、复杂的数量关系，有着举足轻重的意义。

五、总结

几何直观是《数学课程标准》中提出的核心概念之一。碰到较复杂和抽象的物体时，运用直观方法，借助图形对其进行描述刻画，可更加易懂，这也是现代社会要培养的学生具备运用几何直观。在数学启蒙教育过程中，教师尤其需要引导学生把握好数学问题解决策略，需要从小学生的认识规律入手，并从积极参与中获得关于形状的基本认识。在课堂教学中教师要注重学生最基本的生活经历和生活经验，注意引导孩子在实际生活中建构起关于形状的经验及其与认知间的联系，要让学生主动积极地投入到教学过程当中，借助一组又一组的直观画面从视觉上给予他们直观上的理解，借助直观画面发展他们的思维能力、想象能力以及数学思考方法等，从而为其可持续发展奠定坚实的根基。