DoS攻击下异质多智能体系统二分包含控制

张静怡，苗国英,2，纪 龙

(1.南京信息工程大学自动化学院,南京 210000;2.南京信息工程大学江苏大气环境与装备技术协同创新中心，南京 210000)

0 引言

随着传感技术和通信网络技术的飞速发展，以及对控制理论研究的不断深入，多智能体系统的工程应用已逐渐延伸到众多领域。当系统中存在多领导者时，文献[1]为使跟随者移动至领导者形成的几何区域，提出包含控制思想。

现有包含控制理论研究，大多考虑智能体间只存在合作关系的理想条件。而在许多现实场景中可能存在连边权重既有正值也有负值的情形，将边权重正负并存的网络称为符号网络[2-3]。本文考虑智能体间合作-对抗关系并存的情况。

另一方面，分布式控制系统由于缺乏信息流集中的反馈机制，智能体状态无法得到有效的监督和控制，系统容易遭受到网络攻击下传感器或执行器的故障影响。目前在控制理论领域，关于DoS攻击的研究主要分为攻击信号检测和安全控制两种。文献[4]考虑已知DoS攻击周期时长和最短休眠时间，结合事件触发驱动机制设计一种网络化切换系统模型。文献[5]研究DoS攻击下的网络化控制系统，提出基于切换系统的Luenberger观测器和控制算法；文献[6]研究一类具有时变控制输入的多智能体系统，提出随机双端网络攻击下的弹性一致性控制算法，保证系统的稳定性；文献[7-8]为了克服攻击造成的传感器和执行器故障，提出一种分布式弹性控制算法，保证闭环系统的最终有界性。

本文的创新点在于研究符号网络下的离散时间异质多智能体系统。考虑在DoS攻击信号干扰下，部分智能体状态不能及时获取，构造分布式状态观测器；基于输出调节方法和状态观测器设计反馈控制算法，引入历史时刻信息，使得系统中的跟随者能够有效跟踪领导者状态。

1 预备知识

以下列举几个重要的定义、假设和引理。

假设1[9]调节器存在的必要条件：(Ai,Bi,Ci)可控可观，且对于任意跟随者智能体，调节器方程

(1)

有对应的解(Πi,Γi)，Πi∈Rni×m，Γi∈Rpi×m，i=1,…,n;Ai，Bi，Ci,S,R为维数相容的常数矩阵。

假设2[10]对于任意给定矩阵W∈Rm×m，满足W=WT>0，向量ω:{l1,l1+1,…,l2}→Rm的行和为

(2)

引理2[12]对于任意两个向量x∈Rn，y∈Rn和任意方阵φ∈Rn×n且φ>0，都有不等式

±2xTy≤xTφx+yTφ-1y

(3)

成立。

引理3[13]假设DoS攻击有界，通过引入非线性函数δ(Λ(k))约束攻击信号，满足‖δ(Λ(k))‖2≤‖GΛ(k)‖2,其中,G表示约束非线性函数上限的常数矩阵。

2 问题描述

考虑多智能体系统网络中有n个跟随者和m个领导者，假设所有跟随者的状态维数各不相同，则系统动力学方程为

(4)

式中：xi(k)∈RP，yi(k)∈Rq和ui(k)∈Rn(i=1,2,…,n)分别是第i个跟随者的位置、输出和控制输入;领导者系统看作外部系统的跟踪参考输入，动力学方程为

(5)

式中:xr(k)∈Rq和yr(k)∈Rq(r=n+1,…，n+m)分别是领导者的位置和输出；D为常数系统矩阵。

定义第i个跟随者的包含控制跟踪误差为

(6)

将式(6)进行相应的模型转换，整理后得

(7)

考虑多智能体系统分布式的工作环境缺乏全局感知能力，当智能体受到网络攻击的渗透时，基于最近一次收到的正常通信信息更新自身状态。定义上述情况下的包含控制跟踪误差方程为

(8)

式中，τi(k)表示在智能体间通信传输储存的历史信息，受DoS攻击信号影响，历史信息是时变的且满足τm≤τ(k)≤τM，τm，τM是已知常数。本文采用Bernoulli分布序列来模拟拒绝服务攻击发生的随机性，取αi(k)为0或1的值，则攻击发生的概率为

(9)

当αi(k)=1，系统遭受DoS攻击；当αi(k)=0，系统正常通信。

3 异质多智能体系统包含控制

3.1 观测器设计

DoS攻击具有攻击所有通信通道的能力，更改智能体间的传输信号，使得智能体无法接收实时数据，导致系统性能降低。本文假设已知攻击发生概率，引入非线性函数δ(Λi(k))约束DoS攻击上限，构造分布式状态观测器为

φi(k+1)=Aiφi(k)+Biui(k)-Fi[(1-αi(k))·
Λi(k)+αi(k)(Λi(k)-δ(Λi(k)))]

(10)

定义观测器跟踪状态误差为

(11)

结合式(10)观测器和式(4)系统方程，可得

(12)

整理上述式子，得到增广矩阵为

(13)

(14)

(15)

考虑构造如下李雅普诺夫函数

(16)

沿式(14)对V0(k)求差分，可得

(17)

根据引理2，引理3，整理成如下形式

(18)

进一步得到

(19)

(20)

3.2 控制器设计

本节设计一种弹性控制算法，在包含控制算法中加入历史时刻信息，解决在未知DoS攻击下多智能系统稳定性问题。在式(10)观测器的基础上，提出调节补偿器和分布式控制协议为

(21)

式中，Hi，Ki为待设计的增益矩阵。

构造调节补偿器误差为

θi(k)=xi(k)-Πiξi(k)。

(22)

将式(4)和式(21)代入式(22)，整理可得

θ(k+1)=diag(ΠiHi)[(1-α)ey(k)+

αey(k-τ(k))]+diag(Ai+BiKi)θ(k)。

(23)

定义包含控制输出调节误差为

(24)

结合式(7)，进一步变形得到

(25)

将式(25)代入式(24)，化简为增广矩阵可得

(26)

(27)

3.3 多智能体系统稳定性分析

本节基于式(21)控制算法，对DoS攻击下多智能体系统进行安全包含控制分析。

(28)

(29)

可知在式(10)观测器和式(18)控制算法的作用下，式(4)、式(5)多智能体系统渐近稳定，能够实现二分包含控制。

证明过程如下。构造Lyapunov-Krasovskii函数

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)

(30)

其中

V1(k)=εT(k)P1ε(k)

(31)

(32)

(33)

(34)

对V1和V2求差分，将式(27)代入式(31)、式(32)可得

(35)

ΔV2(k)=εT(k)Q1ε(k)-εT(k-τm)(Q2-Q1)·
ε(k-τm)-εT(k-τM)Q2ε(k-τM)。

(36)

对V3(k)求差分，将式(34)代入式(33)可得

(37)

根据假设2，代入式(37)可得

(38)

根据引理2，代入式(37)可得

(39)

当τ(k)=τM时，整理上述方程，可得

(40)

整理可得

ΔV(k)=ΔV1(k)+ΔV2(k)+ΔV3(k)≤μT(k)Σ1μ(k)

(41)

式中,μ(k)=(εT(k)εT(k-τ(k))εT(k-τm)εT(k-τM))T。

当τ(k)=τm时，整理上述方程，可得

(42)

两个边界缩放得到的值代入式(31)～(33)，可得

ΔV(k)=ΔV1(k)+ΔV2(k)+ΔV3(k)≤μT(k)Σ2μ(k)

(43)

文献[15-16]考虑异质系统的输出调节问题，本文进一步推广到符号拓扑网络下系统遭受DoS攻击的情况，分析系统的稳定性问题。

4 数值仿真

图1 有向符号图Fig.1 Directed signed graph

首先考虑DoS攻击率为0，观测跟踪误差曲线和智能体状态轨迹如图2所示。可以看出，观测器在8 s后有效估计智能体状态，多智能体系统在3 s左右实现包含控制，验证观测器和算法的有效性。

图3-图5分别给出DoS攻击率为0.26，0.52和0.93时观测器跟踪误差曲线和智能体运动位置轨迹，假设τ(k)=0.1。

图3 攻击率为0.26时观测器跟踪误差和输出位置轨迹Fig.3 Observer tracking errors and output position trajectories with attack rate of 0.26

图4 攻击率为0.52时观测器跟踪误差和输出位置轨迹Fig.4 Observer tracking errors and output position trajectories with attack rate of 0.52

图5 攻击率为0.93时观测器跟踪误差和输出位置轨迹Fig.5 Observer tracking errors and output position trajectories with attack rate of 0.93

由上述仿真结果可以看出，随着DoS攻击率增加，本文设计的观测器和弹性控制算法可以有效保证异质多智能体系统二分包含控制的实现。

5 结论

本文将一般线性多智能体系统拓展到具有合作-对抗作用的有向符号网络。研究DoS攻击下异质多智能体系统的包含控制问题。首先,考虑DoS攻击对系统通信产生的影响，设计观测器有效估计智能体状态;在跟随者控制器中引入历史时刻信息，设计分布式状态反馈弹性控制方案;结合图论、分段Lyapunov泛函和矩阵不等式等得到系统渐近稳定的充分条件;最后,通过仿真验证算法的有效性。