时间调制阵列的方向调制信号综合算法研究

喻 波，梁 磊

(1.中国航空工业集团公司洛阳电光设备研究所，河南 洛阳 471000；2.南京航空航天大学电子信息工程学院，南京 211000)

0 引言

天线阵列的组阵方式多样，波束控制灵活，被广泛应用于雷达预警、气象水文、无线通信系统等诸多领域[1-3]。多波束天线可以从同一孔径产生多种方向图，是阵列天线的一个重要应用领域。最初，它们用于雷达系统中的监视和跟踪[4-5]。使用多个波束的优点在于可以从不同的空间方向管理更多的通信/服务并在多个频带上操作。在干扰机或干扰信号存在的情况下，利用不同形状的多波束方向图可用于自适应系统以保持可靠的无线链路，正确地处理不同的服务请求。

对于多波束阵列的实现方式，人们提出了许多策略来综合可切换阵列[6]和可重构阵列[7-9]。可切换阵列的激励是在预定的配置列表中选择的，而在可重构阵列中，激励是自适应控制的(通常只有相位权重以简化硬件实现)。由于整个阵列单元都经过优化以产生每一个方向图，所以即使每个时刻只能产生一个波束，也可以获得高的辐射性能。为了避免无法同时产生多波束的缺点，采用时间调制方式是一个有效的解决方案，虽然它的理论公式[10]和获得平均超低旁瓣方向图[11]的第一个实际实现可以追溯到20世纪60年代，但是得益于射频开关技术的不断发展，人们对这种解决方案的兴趣正在不断增长，这一点可在天线参考文献中以及时间阵列的成功应用中得到证实。这些系统的主要局限性与波束形成网络中射频开关的周期性通断、换相引起的边带辐射有关。然而，基于进化算法的优化策略(例如差分进化[12]、模拟退火[13]、粒子群优化[14])提供了有效的切换方案来解决这一问题。另外，时间调制阵列的理论已经以严格的数学方式进行了修订和形式化[15-16]，以推导出精确量化与边带相关的功率分布的解析关系，进一步的研究已经涉及到方向性和增益的评估[17]及其优化[18]。文献[19]通过合成一个二元时间调制阵列来评估精确的雷达定位和跟踪能力，在这种情况下，分别在中心和一次谐波处产生了两个波束。

针对时间调制稀疏阵列天线方向调制信号综合问题，本文首先在主瓣约束、旁瓣最大电平最低、阵元等激励约束条件下，建立方向调制信号优化模型；其次，通过分步迭代凸优化(Stepwise Iterative Convex,SI-CVX)算法进行射频开关开启时刻和开启时长的优化，解决了上述稀疏阵列的方向调制数学模型的非凸转凸的问题；最后，通过稀疏线阵的频域和时域仿真验证了所提算法的高效性。

1 阵列数学模型

由N个各向同性阵元组成的直线线阵如图1所示。

图1 N元直线阵列示意图Fig.1 Linear array of N-element antennas

没有噪声干扰的阵列的远场辐射电场强度可以表示为[20]

(1)

当该线阵受到调制周期为Tp的时间调制时，利用傅里叶级数展开将第n个阵元对应的以Tp为调制周期的周期性开关函数Un(t)从时域变换到频域中，展开式为

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

本文基于均匀间隔的时间调制线阵，优化阵列的静态激励和开关时序，抑制中心频带旁瓣的同时，使得边带在主辐射方向上形成零陷。首先分析旁瓣和边带优化模型的约束条件，假设归一化的阵元开启时长为τ′n=[b,1]，b为阵元开启时间的下限，由于射频开关导通和断开动作的时间消耗，通常取b=0.01。静态激励归一化幅值的绝对值为|In|∈[I0,1]，根据式(4)知，第n个阵元的开启时长取值范围为

(7)

τn∈τ′n∩τ″n=[τn,min,τn,max]⊂[0,1]

(8)

式中：τn,min=max(|w0n|,b)，τn,max=min(|w0n|/I0,1)，为了保证凸问题有解，需要满足I0b≤|w0n|,|w0n|≤1,n=1，2，…，N。由式(4)可知，|w0n|=Inτn，|w1n|=Inτnsinc πτn，令τmin={τ1,min,τ2,min,…,τn,min}，τmax={τ1,max,τ2,max,…,τn,max}，且sinc(·)在[0,π]的区间上单调递减，因此，W1取值范围为

|W0|sinc πτmax≤|W1|≤|W0|sinc πτmin。

(9)

基于上述分析，阵元等间距排列的时间调制线阵的方向调制数学模型为

(10)

式(10)是非凸的，可以通过对约束的松弛处理，使得非凸问题转化为可以求解的凸问题。对于一个复变量，其绝对值不小于实部的值，即|·|≥Re(·)。为了保证主波束指向期望方向，对绝对值函数的虚部进行约束，使得lm(·)=0。式(10)可转化为

(11)

由上述分析知，如果式(11)中W0是变量已知，在静态激励的幅值|In|已知的条件下，可以确定τmin和τmax的值，则约束4和约束5的上约束是凸的。因此，式(11)的优化问题可以分为两步处理，下面运用凸优化算法分两步求解式(11)的问题。

2 分步迭代凸优化算法

根据前文分析，第一步需要求解等效激励系数W0，式(11)被分解为求解中心频带性能的优化问题，其数学模型为

(12)

式(12)的目标函数和约束均是凸的，可以通过Matlab的CVX工具箱求解。优化后可得W0，同时求出旁瓣电平。在此基础上优化边带电平，使其在主辐射方向上形成零陷，优化模型为

(13)

(14)

3 仿真实验

为了验证本文SI-CVX算法对方向调制信号方向图综合的性能，对均匀间隔时间调制阵列进行了仿真，并与文献[21-22]的仿真结果进行了对比。本次仿真考虑一个初始阵元数量为16的以λ/2为初始间隔均匀布局的直线阵。阵列采用等幅同相激励，优化目标为在-30 dB的旁瓣约束条件下，得到方向调制信号。一阶边带和二阶边带在主辐射方向上的δ1,δ2设置为相等。文献[21-22]也做过类似的实验，但是采用的是以λ/2为间隔的阵元均匀布局。

3.1 频域特性分析

本文算法经过11次迭代后算法收敛，优化过程耗时4.837 s。优化后的方向调制信号方向图如图2所示，中心频带的主辐射方向为0°，半功率波束宽度(HPBW)为8.4°，旁瓣电平为-31.75 dB，低于文献[21]的-30 dB。一阶边带和二阶边带在主辐射方向的优化电平分别为-54.58 dB和-51.19 dB。第一边带电平为-16.43 dB，第二边带电平为-20.33 dB。边带电平均低于文献[21]。优化后的主辐射方向上，中心频带信号与边带信号的差值相差50 dB以上，较好地抑制了边带辐射。虽然文献[22]的边带峰值辐射电平较低，但是在主辐射方向上的一阶边带和二阶边带的辐射强度仅为-42 dB，与文献[21]和本文的优化结果相比较差。具体的参数对比情况见表1，表1中PSLL为最大峰值旁瓣电平，PSBL为峰值边带电平。

图2 中心频带、一阶边带和二阶边带构成的方向调制信号方向图Fig.2 Directional modulation pattern composed by main band,the first sideband and the second sideband

表1 SI-CVX算法优化的方向调制信号参数与PSO和GA算法的比较Table 1 Comparison of SI-CVX algorithm with PSO and GA algorithms

图3为阵列天线在0°，15°，30°及70°的频谱图(包含正负15个边带)。从图3中看出，在主辐射方向0°只有主频率，不受时间调制的影响，在其他角度上均存在频率各异的边带频谱，而且频谱的功率均大于主频率的功率，接收机很难从这些信号中筛选出载波信号，保证了信号传输的安全性。

图3 不同角度上的辐射频谱分布Fig.3 Spectrum distribution at different angles

3.2 时域特性分析

单独看一个调制周期内的每个时间段，都是一个传统的阵列天线，每个时间段均为均匀激励线阵。图4给出了7个时间段的功率方向图。在主辐射方向，7个时间段的辐射电平一致，而在旁瓣区域，由于边带电平的引入，各个时段的辐射强度各有差异。该结果验证了主辐射方向上仅存在中心频带信号，而且旁瓣区域的宽频带可以模拟噪声信号，防止非目标方向上的有用信息被窃取。

图4 不同时间段的时域方向图Fig.4 Time domain patterns in different time periods

线阵的阵元采用等间距排列，因此方向性系数即为阵元个数[23]。经过计算，期望方向上的方向性系数为D=10，而且并不随开关动作的变化而变化，其他方向上的方向性系数随着开关动作而变化，其方向性系数随时间的变化情况如图5所示。

图5 方向性系数随时间的变化情况Fig.5 The change of directional coefficient with time

图5中为对不同的方位角θ进行采样得到的各个时间段的阵列方向性系数，可看出，当θ=0°时，整个调制周期内，阵列因子方向性系数始终为10，在其他辐射方向上，随着时间推移，θ分别为15°,30°,70°时的方向性系数随阵元开关的切换而跳变，范围在-5～5之间，远小于θ=0°时的增益。该结果进一步说明期望方向上的阵列增益稳定，没有边带干扰。

4 结束语

针对时间调制稀疏阵列的边带利用问题，本文提出了一种分步迭代凸优化算法，在满足主/旁瓣约束和阵元等激励条件下降低了主辐射方向上的边带电平，有效抑制边带辐射给主辐射方向带来的信号干扰，并通过对边带信号的方向调制，在旁瓣区域形成方向性系数随时间可变的辐射信号，提升了无线通信的安全性。本文将上述算法应用于稀疏线阵的仿真分析，并与PSO，GA算法进行了比较。结果表明，本文SI-CVX算法优化的旁瓣电平比采用PSO,GA算法优化的旁瓣电平均降低了1.75 dB。同时，旁瓣方向上能够形成有效的干扰信号，而且该算法优化结果比进化算法所得优化结果稳定，从而验证了算法的稳定性和高效性。