一题多解 触类旁通——高三数学复习试题讲评研究

江苏南京外国语学校仙林分校（210023） 高 斌

高三数学第二轮复习有诸多考试，如周考、月考、期中考、阶段质量检测、联考、模拟考等。试卷讲评课成为常态化课型，其过程大概为：订正→讲评→错题再做→订正归类。试卷讲评课借助数据诊断为学生提供分析和纠错，教师需科学、合理地选择讲评内容和讲评方法，选择具有针对性和代表性的重点知识和题目，对学生已学过的数学知识、方法技巧等进行巩固、完善和提升。教师应提高试卷讲评的实效性，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。本文以一道试题为切入口，展开“与平面图形有关的数量积问题”的复习。

［例1］如图1，已知在Rt△ABC中∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心，且与边BC相切的 圆 上，则的 最大值为 。

图1

一、试卷分析

学生答题的正确率为28.6%。经过订正，发现学生出现如下问题。

原因分析：出现问题1、问题2、问题3 是由于P点是圆上的动点，PB和PC都是变化的，并且线段长度之间没有明显的几何量依存关系，不能轻易地做下去；出现问题4 是因为学生通过建系坐标法得到的结构涉及两个变量x，y，没有注意到x，y的依存关系，也没想到换元或者利用数形结合解决问题，导致半途而废。

二、试题解法

由题意知BC与圆A相切，切点为D，连接AD，如图2。

图2

易求半径PA=r=。

（可由等面积法或点到直线的距离求得）

图3

解法二（“距离型”求最值法）：如图4，建立直角坐标系，设P(x,y)，有

图4

解法四（三角函数法）：实际上可以认为是应用参数方程或者进行三角换元求最值。

图5

解法五（平面向量“极化恒等式”法）：

图6

三、试题变式

变式1：如图7，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心，且与边BC相切的圆上，则的取值范围为_________。

图7

解法一（向量法）：

图8

图9

小结：根据不同的已知条件，如何选择最优的解法？

（1）如果是含有直角的图形，图形本身具有对称性的图形（如长方形、正方形、圆等），图形已知夹角或边长，可以考虑使用基底法或者坐标法；

（2）如果图形不具备建系的条件，或者已知向量确定不变时，可以选择基底法或投影法；

（3）圆上动点与圆外定点、定直线的最值问题，转化为圆心与圆外定点、定直线的最值问题。

变式2：如图10，过点P(-1,1)作圆C：(x-t)2+(y-t+2)2=1(t∈R)的一条切线，切点为A，则的最小值是__________。

图10

变式2 设计为含参的题型，同样需要将几何问题转化为代数问题，选择合适的代数方法求解，这也是新高考常见的考查方向。从实际课堂互动来看，学生在这块确实存在困难，需要单独进行专题化复习讲解。

四、教学总结

1.让学生掌握基本的解法：将几何问题转化为代数模型，再利用几何意义解题，体现数形结合思想；由多变量问题向单变量问题转化（换元或者代换），变量统一，体现化归思想。

2.训练学生的思维。收集问题，进行题型归类、方法归类、知识拓展。通过一题多解、一题多变、一题多问，训练发散性思维；多题归一，训练整合思维。

3.让学生选择最优解法。在复习中，教师应根据学情，引导学生选择最优的方法。

4.试卷讲评课的基本做法：

（1）剖析问题，攻破难点。统计学生的答卷数据，将知识点、计算方法等归类。根据分析的数据，有选择地重点讲评试题，这样既能节省时间，又能攻破难点。

（2）内外牵引，齐头并进。一份试卷的讲评不能仅限于就题讲题，要有变式、拓展。一类方法，要串联尽可能多的知识；一个板块，要总结出常规方法、合适方法和技巧性方法，以供学生选择，这样学生都得到较好的提升。

（3）对中择优，对中觅简。试卷讲评过程中，一题多解要突出优解。试卷讲评不仅要讲评错题，也要选择性地讲评正确的题目；同一个知识点，不同题型，如选择题、填空题、解答题，方法往往因题而异，应做到“快、狠、准”。

（4）暴露错误，引导分析。利用多媒体展示学生的卷面和答题过程，突出常见错误和优秀解法，展示较难问题的分析与解决过程，对标评分细则，提要求、立规矩。

（5）试卷讲评要重视思路的分析和思维的锻炼。教师要多学习、多研究，知道“考什么，怎么考，怎么解，如何赋分”。教学中，教师要以微专题的形式各个击破，给学生思考和讨论的空间，扫除盲点、查漏补缺、增分数、提能力。

总之，教师应让学生在数学教学活动中发挥自身的内在潜能，对标高考评价体系的“一核、四层、四翼”，在深度思考中深化“四基”，在探究和发现中提高“四能”，在构建知识体系和综合应用知识的过程中发展数学学科核心素养。