相机选用“有挑战的问题”驱动新知探究

李庾南　刘东升

【摘 要】在课堂教学中要基于学情相机提出一些“有挑战的问题”，把学生的思维卷入新的问题中，激发学生探索新知的兴趣。初中阶段反比例函数图象和性质的教学进程中，找准学生“最近发展区”，相机改变之前研究函数图象的“序”，让学生先由“式”想“形”，再举例画图、验证猜想。实践表明，这样教学是符合九年级学生认知特点的，有利于对学生高阶思维的培养。

【关键词】反比例函数;单元教学起始课;教学设计

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）03-0030-03

【作者简介】1.李庾南，江苏省南通市启秀中学（江苏南通，226600）教师，正高级教师，江苏省特级教师;2.刘东升，江苏省南通市教育科学研究院（江苏南通，226600）教研员，高级教师。

“反比例函数”的单元教学起始课是很多教研活动经常选用的一个课题。基于对“重组教材”的认识，很多教师都不再“照本宣科”（只讲教材上“反比例函数”的概念及相关概念，然后安排一些价值不大的练习），而是运用几个情境问题快速引出反比例函数的概念之后，就组织学生进入对反比例函数图象和性质的研究。那样做固然很好，但有没有更好的方法呢？笔者曾提出反比例函数图象的教学不必再模仿八年级初学函数图象时“列表、描点、连线”的机械做法，可以让学生先举例研究一个特殊的反比例函数（如y=[6x]），学生认真观察反比例函数解析式的特点，由“式”想“形”，画出图象，验证猜想，然后再结合几何画板验证反比例系数对反比例函数图象的影响，最后梳理、完善反比例函数的图象和性质。[1]

最近一次教研活动中，我们基于承办学校南通市启秀中学的学情，对教学设计又做了一些改进。下面，笔者从本节课的教学设计及过程出发，进一步阐释在课堂中设计“有挑战的问题”的教学立意，希望可以与广大教师进行探讨。

一、反比例函数单元教学起始课教学设计

1.教学目标。

（1）认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型;（2）自主运用研究函数的经验和方法，探究反比例函数的图象和性质;（3）理解反比例函数的图象和性质。

2.教学重点与难点。

重点与难点：探究反比例函数的图象和性质。

3.教学过程。

活动1：结合具体情境，构建反比例函数的概念。

师：请同学们分析下列问题中的两个变量之间的关系。

问题1：距离为100 km，平均速度v与运行时间t之间的关系。

问题2：矩形面积为6，矩形长y与宽x之间的关系。

【教学组织】安排学生说出上述问题中两个变量之间的关系：对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与它对应。这说明两个变量之间具有函数关系，函数解析式可列为y= [k/x]（k为常数，且k≠0），引出反比例函数的概念。

活动2：探究反比例函数的图象特征和性质。

师：同学们之前已研究过正比例函数、一次函数、二次函数的图象特征和性质。接下来该如何研究反比例函数的图象和性质呢？

生：列表、描点、连线。

师：这样做当然是可行的，但为了让我们对反比例函数图象的研究更加高效，可以先观察反比例函数解析式的特点，由“数”猜想“形”，最后再来画图验证。观察反比例函数的解析式，同学们有什么发现呢？

（学生进行自主探究与思考。）

生1：我发现了解析式y=[k/x]（k为常数，且k≠0）的自变量x和函数y的取值范围及相互关系。其中x≠0且y≠0，k>0时，x和y同号;k<0时，x和y异号。

生2：从“以（x，y）为坐标的点”的位置可以看出，反比例函数的图象应该不会经过原点，而且这些点不可能在坐标轴上，k>0时，点分别位于第一或第三象限。

生3：k<0时，点分别位于第二或第四象限。

生4：连接这些点所成的图形是断开的。

生5：反比例函数的图象应该是关于原点对称的。

师（追问）：你是如何想到的？

生5：我是举例验证的，比如y= [6/x]中，当x=1时，y=6;当x=-1时，y=-6;它们对应的点（1，6）和（-1，-6）就是关于原点对称的。

师：同学们的发现太丰富了！接下来我们来实践操作，验证同学们的分析与猜想。在k>0时，就取学生刚刚提到的k=6，用描点法研究y= [6/x]的图象和性质。请同学们完成下面的表格。（见表1）

【教学组织】教师在学生列表之后引导学生观察表格中数据的特点，验证学生的分析和猜想。之后，教师进一步引导学生分析表格中的数据，得出结论：在k>0的前提下，x<0时，y随x的增大而减小;x>0时，y随x的增大而减小。对应着图象特征：在k>0的前提下，反比例函数图象分别位于第一和第三象限内，并且在每一个象限内，图象从左向右的趋势是下降的，并且越来越靠近坐标轴，但不与坐标轴相交。接下来再安排学生描点、连线，得到反比例函数的图象。（见图1）

教师归纳反比例函数y=[6/x]的图象和性质，板书“双曲线”的概念。再运用几何画板演示k为其他正数时函数的图象，让学生发现、确认双曲线的变与不变。最后概括、完善反比例函数y=[k/x]（k>0）的图象和性质，并完善板书。完成以上教学内容后，教师可安排学生探究反比例函数y=- [6/x]的图象和性质，这个过程可以根据学情快速推进，结合几何画板演示，帮助学生快速掌握反比例函数y=[k/x]（k<0）的图象和性质。

活动3：课堂小结与布置作业

【教学组织】在这一环节，教师引导学生回顾本节课所学的内容，特别强调研究顺序与以前学习一次函数时并不一致，总结研究函数图象和性质的一般方法：分析函数解析式，研究自变量和函数的取值范围，根据自变量和对应的函数值的特点，研究函数图象的大致位置和特征，确定函数的增减性。最后完善并总结关于反比例函数的图象和性质的“结构化板书”。（限于版面，板书及作业略）

二、对于教学立意的进一步阐释

1.基于理解数学和理解学情，预设教学活动。

数学是一门前后联系、逻辑连贯的学科，函数作为一个重要的数学分支，在初、高中数学教学中都是很重要的一部分。对函数的图象和性质的学习，初中阶段相对形象直观，只要求学生能够用“列表、描点、连线”的方法画出“系数明确”的函数图象，然后结合图象说出该函数的特征和性质;而高中阶段则比较抽象，函数解析式中的参数较多，这时教师需要引导学生认真观察解析式的特点，先想象、推定函数的图象和部分性质，最后再赋值验证得出结论。基于上述对不同学段所学的函数的理解和承办校学生的学习情况，教师从理解数学、理解学情出发，预设反比例函数单元教学策略，将教材中前两个课时的内容重组为一个课时，并且在课堂上根据学情“相机”呈现反比例函数图象和性质的研究“顺序”。

2.设计“有挑战的问题”，发展学生数学思维。

从教学实际看，在两个情境问题的引导下，学生类比一次函数、二次函数的定义，能概括出反比例函数的定义及其图象和性质。这样“很顺利的开课”却不利于学生真正理解并掌握反比例函数，所以我们决定适当放慢教学节奏：没有让学生继续类比一次函数的图象研究顺序（“列表、描点、连线”），而是提出“研究函数图象的顺序能否改变”这一问题，让学生仔细观察反比例函数解析式的特点，想象、猜想出反比例函数的图象特征和部分性质后，再举例验证，减少了直接“列表、描点、连线”的方法的盲目性，提高了课堂教学的效率和质量。

单墫教授在《数学是思维的科学》一文中指出，“数学是思维的科学，应当在培养‘会思想’方面起更大的作用”[2]，并认为“不一定追求形式上的新，原有的内容也可以用新的观点去考查，特别是应当进一步挖掘它们在培养思维方面的作用”。我们关于反比例函數单元教学的实践表明：对于初中阶段很多经典教学内容，如果用“新的观点去考查”，就能发挥它们在培养学生思维方面的积极作用，让学生学会思考，变得更有智慧。【参考文献】

[1]李庾南，刘东升.反比例函数单元教学起始课教学研究[J].中学数学，2018（12）：3-5.

[2]单墫.单墫数学与教育文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021：615-620.

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